高中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1、角的表示2.角度與弧度3、弧長(zhǎng)公式：l||r.扇形面積公式：s扇形112lr2||r24、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取（異于y原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則a的終邊siny；rP（x,y)rcosx；tany；rxcotx；ysecr；.xcscr.

yox5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)y6、三角函數(shù)線

PT正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

OMAx7、三角函數(shù)的定義域：

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

sin2cos21tansin1coscottan

sec1csc1csc2sincot21

cos

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”10、角與角之間的互換

cos()coscossinsinsin()sincoscossintan()tantan1tantansin2;cos2sin2;cos2;tan2;tan2;積化和差：

sincos12sinsincossin12sinsincoscos112coscossinsin2coscos和差化積：

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

;

sinsin2sin22coscos2coscos222tancossinsin2cos22sin2coscos2sinsin2

21tan2cos1tan2222tan2tan2sin1tan21tan22

11.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域

ysinxycosx周期性

ytanxycotx單調(diào)性

yAsinx（A、＞0）值域奇偶性

x)的對(duì)稱軸方程是，對(duì)稱中心；ycos(x)的對(duì)稱軸方程1ysin(○

是，對(duì)稱中心；ytan(x)的對(duì)稱中心.

tan1,k(kZ)；tantan1,k(kZ).2當(dāng)tan○223奇偶性的兩個(gè)條件：一是，二是○

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）

4ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；○

；ycosx是周期函數(shù)；ycosx為周期函數(shù)（T）

ycos2x1的周期為。25yacosbsin○

12、三角函數(shù)圖象的作法：

1）、幾何法：

a2b2sin()tanb.a2）、描點(diǎn)法及其特例五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象：三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

13、函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），4、反三角函數(shù)：

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

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高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：360k⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長(zhǎng)公式：l2||r.扇形面積公式：s扇形lr||r

12124、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任�。ó愑谠�點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則siny；rya的終邊P（x,y)ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.幾個(gè)重要結(jié)論:(1)y6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導(dǎo)公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RR[1,1]RA,A當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)2奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22奇函數(shù)[22k,；k,k1上為減函數(shù)（kZ）22k]上為增函數(shù)；[2k,232k]2上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無(wú)效）.

2x)的對(duì)稱軸方程是xk④ysin(2(cs（kZ），對(duì)稱中心（k,0）；yox)的

對(duì)稱軸方程是xk（kZ），對(duì)稱中心（k1,0）；yant(2（x)的對(duì)稱中心

k.,0）2ycos2x原點(diǎn)對(duì)稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當(dāng)tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù)，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2x高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

y=cos|x|圖象y=|cos2x+1/2|圖象；ycosx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）

ycos2x1的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函數(shù)圖象的作法：１）、幾何法：

b有a2b2y.a２）、描點(diǎn)法及其特例五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來(lái)的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作x2，2y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

22函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，記作的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)yarcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對(duì)應(yīng)，故ysinx無(wú)反函數(shù)）注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數(shù)yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數(shù)，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數(shù).反正切函數(shù)：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

22,），ynatcrax是奇函數(shù)，

注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數(shù)：yarccotx，定義域(,)，值域（arotc，yc,）

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數(shù)，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1=1x|x2karcsai,nkZ＜1x|xk1karcsina,kZ

aa＞1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③coxta的解集：x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數(shù)不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù)x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

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