高中數學函數知識點總結

高中數學函數知識點總結

（1）高中函數公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

（2）一次函數：①若兩個變量,間的關系式可以表示成

（為

常數，不等于0）的形式，則稱是的一次函數。②當=0時，稱是的正比例函數。

（3）高中函數的一次函數的圖象及性質

①把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。②正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當0，O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0，0時，則經1、3、4象限；當0，0時，則經1、2、3象限。

④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。

（4）高中函數的二次函數：①一般式：

(

)，對稱軸是

頂點是②頂點式：③交點式：

；((

)，對稱軸是)，其中（

頂點是），（

；）是拋物線

與x軸的交點

（5）高中函數的二次函數的性質①函數

的圖象關于直線

對稱。

②時，在對稱軸（）左側，值隨值的增大而減少；在對

稱軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值

③時，在對稱軸（）左側，值隨值的增大而增大；在對

稱軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時，取

得最大值

9高中函數的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

擴展閱讀：高中數學三角函數知識點總結實用版[1]

高中數學第四章-三角函數

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數值大小關系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：360k⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：360k902.角度與弧度的互換關系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長公式：l2||r.扇形面積公式：s扇形lr||r

12124、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則siny；rya的終邊P（x,y)ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.幾個重要結論:(1)y6、三角函數線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

高三數學總復習三角函數

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函數的定義域：三角函數f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數的基本關系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導公式：

把k的三角函數化為的三角函數，概括為：2“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三數學總復習三角函數tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：定義域值域周期性奇偶性單調性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RR[1,1]RA,A當0,非奇非偶當0,奇函數2k2k2(A),12(A)2奇函數22偶函數[2k1,2k]奇函數k,k22奇函數[22k,；k,k1上為減函數（kZ）22k]上為增函數；[2k,232k]2上為增函數[2k,2k1]上為減函數（kZ）上為增函數（kZ）上為增函數；2k上為減函數（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數高三數學總復習三角函數（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調性正好相反；ycosx與ycosx的單調性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2x)的對稱軸方程是xk④ysin(2(cs（kZ），對稱中心（k,0）；yox)的

對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；yant(2（x)的對稱中心

k.,0）2ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數,而y(x)是偶函數，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數ytanx在R上為增函數.（×）[只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：f(x)f(x)，奇函數：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關于原點對稱）

奇函數特有性質：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質）

▲⑨ysinx不是周期函數；ysinx為周期函數（T）；y▲yx1/2x高三數學總復習三角函數

y=cos|x|圖象y=|cos2x+1/2|圖象；ycosx為周期函數（T）；ycosx是周期函數（如圖）

ycos2x1的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函數圖象的作法：１）、幾何法：

b有a2b2y.a２）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數圖象．

三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數：函數y＝sinx，的反函數叫做反正弦函數，記作x2，2y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

22函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反余弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數y＝tanx，記作的反函數叫做反正切函數，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

高三數學總復習三角函數函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反余切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競賽知識要點

一、反三角函數.

1.反三角函數：反正弦函數yarcsinx是奇函數，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對應，故ysinx無反函數）注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數.反正切函數：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

22,），ynatcrax是奇函數，

注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數：yarccotx，定義域(,)，值域（arotc，yc,）

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函數的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1=1x|x2karcsai,nkZ＜1x|xk1karcsina,kZ

aa＞1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③coxta的解集：x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三數學總復習三角函數cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三數學總復習三角函數

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