高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分知識點總結(jié)

1.函數(shù)的奇偶性

（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(－x);

（2）若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)=0（可用于求參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性；

（5）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域為［a，b］,其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）；研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對稱性）

(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函數(shù)y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；（6）函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x=對稱；4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；

（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域)；

6.a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;7.（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判斷對應(yīng)是否為映射時，抓住兩點：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

9.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。10.對于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系；

12.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題

13.恒成立問題的處理方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；

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高中數(shù)學(xué)必考知識點(集合與簡易邏輯)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2如：集合Ax|x2x30，Bx|ax1

若BA，則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為3.注意下列性質(zhì)：

1（答：1，0，）

3（1）集合a1，a2，，an的所有子集的個數(shù)是2n；

（2）真子集個數(shù)是（3）非空真子集個數(shù)是

4.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”，“且”和“非”().

若p且q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真若p或q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

5.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6.充要條件是什么？

一．選擇題：

1.（全國二2）設(shè)集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，則MN（B）A．01，

B．101，，

C．01，，2

D．101，，，2

2.(安徽卷1）若A位全體實數(shù)的集合，B2,1,1,2則下列結(jié)論正確的是（D）

A．AB2,1B．(CRA)B(,0)C．AB(0,)

D．(CRA)B2,1

3.（安徽卷4）a0是方程ax22x10至少有一個負(fù)數(shù)根的（B）

A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

B{x|x1或x4}，4.(北京卷1)若集合A{x|2≤x≤3}，則集合AB等于（D）

A．x|x≤3或x4C．x|3≤x4

B．x|1x≤3D．x|2≤x1

5.（福建卷1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},則A∩B等于AA.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？例：函數(shù)yx4xlgx32的定義域是

（答：0，22，33，4）10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是a，b，ba0，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的定義域是_____________。

（答：a，a）

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？如：f令tx1exx，求f(x).

x1，則t0∴xt21∴f(t)et221t21

∴f(x)ex1x21x0

12.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)且為滿射）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

1x如：求函數(shù)f(x)2xx0x1x11的反函數(shù)（答：f(x)）x0xx013.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；③設(shè)yf(x)的定義域為A，值域為C，aA，bC，則f(a)=bf1(b)af1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

（yf(u)，u(x)，則yf(x)（外層）（內(nèi)層）

f(x)log1(x2axa)2當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f(x)為增函數(shù)，否則f(x)為減函數(shù)。）

如：求ylog1x2x的單調(diào)區(qū)間

222（設(shè)ux2x，由u0則0x2且log1u，ux11，如圖：

22uO12x

當(dāng)x(0，1]時，u，又log1u，∴y

2當(dāng)x[1，2)時，u，又log1u，∴y

2已知f(x)log1(x2axa)的值域為R，f（x）在(,13)上是增函數(shù)，則a的取值是2

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間a，b內(nèi)，若總有f"(x)0則f(x)為增函數(shù)。（在個別點上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f"(x)0呢？

如：已知a0，函數(shù)f(x)xax在1，上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）A.0

3

2B.1C.2D.3

（令f"(x)3xa3xaax033則xaa或x33a1，即a33由已知f(x)在[1，)上為增函數(shù)，則∴a的最大值為3）

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）

若f(x)f(x)總成立f(x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f(x)f(x)總成立f(x)為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)0。

a2xa2為奇函數(shù)，則實數(shù)a如：若f(x)x21（∵f(x)為奇函數(shù)，xR，又0R，∴f(0)0

a20a20，∴a1）即2

2x，又如：f(x)為定義在(1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x(0，1)時，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，則x0，1，f(x)x

412x2x又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)x

4114xx(1，0)x24x1又f(0)0，∴f(x)x0）x2x0，1x4117.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（若存在實數(shù)T（T0），在定義域內(nèi)總有fxTf(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是一個周期。）

如：若fxaf(x)，則

（答：f(x)是周期函數(shù)，T2a為f(x)的一個周期）又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)則f(x)是周期函數(shù)，2ab為一個周期如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱f(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱f(x)與f1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱

左移a(a0)個單位yf(xa)

將yf(x)圖象右移a(a0)個單位yf(xa)注意如下“翻折”變換：

上移b(b0)個單位下移b(b0)個單位yf(xa)byf(xa)b

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的圖象

yy=log2xO1x19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a

（1）一次函數(shù)：ykxbk0（2）反比例函數(shù)：y的雙曲線。

kkk0推廣為ybk0是中心O"(a，b)xxa2b4acb2（3）二次函數(shù)yaxbxca0ax圖象為拋物線2a4a2b4acb2b頂點坐標(biāo)為，，對稱軸x4a2a2a開口方向：a0，向上，函數(shù)ymin4acb24acb2a0，向下，ymax

4a4a應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程

ax2bxc0，0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

0b2如：二次方程axbxc0的兩根都大于kk

2af(k)0y(a>0)Okx1x2x

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指數(shù)函數(shù)：yaxa0，a1（5）對數(shù)函數(shù)ylogaxa0，a1由圖象記性質(zhì)！（注意底數(shù)的限定�。�

yy=ax(a>1)(0

（先令xytf(t)(t)f(tt)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(t)）

（3）證明單調(diào)性：f(x2)fx2x1x2

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）如求下列函數(shù)的最值：

（1）y2x3134x（2）y2x4x32x22（3）x3，y（4）yx49x設(shè)x3cos，0，

x3（5）y4x

9，x(0，1]x

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