構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)解證不等式中的應(yīng)用

汕頭市潮南區(qū)臚溪中學(xué) 胡小霞

解決不等式問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，有些不等式問題采用常規(guī)方法難以解決，若能巧妙地構(gòu)造函數(shù)將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使問題獲得較好解決。本文就近幾年高考題中與不等式有關(guān)的幾道試題予以簡(jiǎn)要剖析，以此體會(huì)導(dǎo)數(shù)法解決不等式證明問題及恒成立問題有效性.通過構(gòu)造新函數(shù)成為解證不等式的良好“載體”，以下通過具體實(shí)例加以說明。

一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，通過新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來證明單調(diào)性,然后再利用新函數(shù)的最值達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。具體有如下幾種形式：

1、 直接作差“構(gòu)造函數(shù)”證明不等式

題目：已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，恒有

分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。

證明：

∴當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間。于是函數(shù)在上的最大值為。

因此，當(dāng)時(shí)，，即∴（右邊得證），

現(xiàn)證左面，構(gòu)造新函數(shù)

時(shí)，；時(shí)，。即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，

∴當(dāng)時(shí)，，即∴（左邊得證）

綜上可知，當(dāng)

本題首先根據(jù)題意作差“構(gòu)造函數(shù)”，通過導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，利用最值，從而達(dá)到證明不等式的目的。

2、適當(dāng)放縮后再“構(gòu)造函數(shù)”證明不等式

題目：已知函數(shù)其中n∈N*,為常數(shù).當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)時(shí)，有.

分析：對(duì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)的進(jìn)行放縮處理，再移項(xiàng)作差“構(gòu)造函數(shù)”，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性。

證明：因?yàn)閍=1,所以 因?yàn)閚為奇數(shù)，時(shí)，＜0，

要證, 所以只需證,令,

,所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

又， 所以當(dāng)時(shí)，恒有,

即命題成立. 綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)時(shí)，有.

本題與直接“構(gòu)造函數(shù)”不同，在當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),先進(jìn)行了適當(dāng)放縮后再進(jìn)行構(gòu)造，使本來復(fù)雜的函數(shù)變得簡(jiǎn)單容易處理，較為簡(jiǎn)捷；但放縮要注意恰到好處。

3、利用式子的相似來“構(gòu)造函數(shù)”證明不等式

題目：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,成立不等式

分析：根據(jù)不等式中式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),形狀相似于函數(shù)在相應(yīng)幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值

證明：構(gòu)造函數(shù)

所以內(nèi)嚴(yán)格遞增。于是

由得

即，又因?yàn)?/p>

即證得

這個(gè)分式不等式中的絕對(duì)值不便于去掉，所以通過分析不等式左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當(dāng)做是所構(gòu)造的函數(shù)的兩個(gè)取值點(diǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。

二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為(或)恒成立，從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法

題目：已知函數(shù)的最大值為0，若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.求的最大值.

解析:不等式等價(jià)于不等式

由知,所以 ,換元令，

構(gòu)造函數(shù)：

由已知得構(gòu)造函數(shù)，

所以當(dāng)?shù)迷谏蠟闇p函數(shù).

故函數(shù)在上的最小值為，所以的最大值為。

本題主要是先兩邊取對(duì)數(shù)再進(jìn)行參數(shù)分離并進(jìn)行構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化利用單調(diào)性求最小值解決問題；值得注意的是本題在當(dāng)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)難以直接判斷時(shí)可以考慮進(jìn)行二次構(gòu)造新函數(shù)，是典型的用“構(gòu)造函數(shù)”轉(zhuǎn)化并解決問題的好例。

總之，不論是證明不等式還是解不等式恒成立問題，只要我們仔細(xì)研究不等式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到“構(gòu)造函數(shù)”再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來證明不等式或解決恒成立問題，這類問題的解決就會(huì)變得輕車熟路。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。

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