構造函數(shù)在導數(shù)解證不等式中的應用

汕頭市潮南區(qū)臚溪中學 胡小霞

解決不等式問題是中學數(shù)學中的一個難點，有些不等式問題采用常規(guī)方法難以解決，若能巧妙地構造函數(shù)將不等式問題轉化為函數(shù)問題，使問題獲得較好解決。本文就近幾年高考題中與不等式有關的幾道試題予以簡要剖析，以此體會導數(shù)法解決不等式證明問題及恒成立問題有效性.通過構造新函數(shù)成為解證不等式的良好“載體”，以下通過具體實例加以說明。

一、利用導數(shù)證明不等式

根據(jù)不等式的特點構造函數(shù)，通過新函數(shù)的導數(shù)來證明單調(diào)性,然后再利用新函數(shù)的最值達到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉化為函數(shù)問題。具體有如下幾種形式：

1、 直接作差“構造函數(shù)”證明不等式

題目：已知函數(shù)，求證：當時，恒有

分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構造函數(shù)，從其導數(shù)入手即可證明。

證明：

∴當時，，即在上為增函數(shù)；

當時，，即在上為減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間。于是函數(shù)在上的最大值為。

因此，當時，，即∴（右邊得證），

現(xiàn)證左面，構造新函數(shù)

時，；時，。即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，

∴當時，，即∴（左邊得證）

綜上可知，當

本題首先根據(jù)題意作差“構造函數(shù)”，通過導數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，利用最值，從而達到證明不等式的目的。

2、適當放縮后再“構造函數(shù)”證明不等式

題目：已知函數(shù)其中n∈N*,為常數(shù).當時，證明：當n為奇數(shù)時,當時，有.

分析：對當n為奇數(shù)時的進行放縮處理，再移項作差“構造函數(shù)”，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性。

證明：因為a=1,所以 因為n為奇數(shù)，時，＜0，

要證, 所以只需證,令,

,所以當時，單調(diào)遞增，

又， 所以當時，恒有,

即命題成立. 綜上所述，當n為奇數(shù)時,當時，有.

本題與直接“構造函數(shù)”不同，在當n為奇數(shù)時,先進行了適當放縮后再進行構造，使本來復雜的函數(shù)變得簡單容易處理，較為簡捷；但放縮要注意恰到好處。

3、利用式子的相似來“構造函數(shù)”證明不等式

題目：對任意實數(shù)a和b,成立不等式

分析：根據(jù)不等式中式子的結構特點,形狀相似于函數(shù)在相應幾個點的函數(shù)值

證明：構造函數(shù)

所以內(nèi)嚴格遞增。于是

由得

即，又因為

即證得

這個分式不等式中的絕對值不便于去掉，所以通過分析不等式左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構造的函數(shù)的兩個取值點，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。

二、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉化為(或)恒成立，從而把不等式恒成立問題轉化為函數(shù)求最值問題．因此，利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法

題目：已知函數(shù)的最大值為0，若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求的最大值.

解析:不等式等價于不等式

由知,所以 ,換元令，

構造函數(shù)：

由已知得構造函數(shù)，

所以當?shù)迷谏蠟闇p函數(shù).

故函數(shù)在上的最小值為，所以的最大值為。

本題主要是先兩邊取對數(shù)再進行參數(shù)分離并進行構造新函數(shù)轉化利用單調(diào)性求最小值解決問題；值得注意的是本題在當導數(shù)的符號難以直接判斷時可以考慮進行二次構造新函數(shù)，是典型的用“構造函數(shù)”轉化并解決問題的好例。

總之，不論是證明不等式還是解不等式恒成立問題，只要我們仔細研究不等式的結構特征，聯(lián)想到“構造函數(shù)”再結合導數(shù)的知識來證明不等式或解決恒成立問題，這類問題的解決就會變得輕車熟路。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要體現(xiàn)。

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