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全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初[1]..

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全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初[1]..

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試題

一、選擇題(共8小題,每小題5分,滿分40分)

1.某校學(xué)生100人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,其中至少有女生9人,又知參賽者中任何10人中至少有1名男生,則參賽男生人數(shù)為()

(A)89(B)91(C)82(D)63

22.記x1212121212,則x1是()

48256(A)一個(gè)奇數(shù)(B)一個(gè)質(zhì)數(shù)(C)一個(gè)整數(shù)的平方(D)一個(gè)整數(shù)的立方3.已知y|x1|2|x||x2|,且2x1,則y的最大值與最小值的和是()(A)1(B)2(C)4(D)54.在△ABC中,AB=AC=7,BC=4,點(diǎn)M在AB上,且BM=于E,交CA延長(zhǎng)線于F,則EF的長(zhǎng)為()(A)55(B)

1AB,過(guò)M做EF⊥AB,交BC3533(C)45(D)6535.拋物線yax2與直線x1,x2,y1,y2圍成的正方形有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()(A)

1111a1(B)a2(C)a1(D)a242246.如圖,直線l1∥l2∥l3∥l4,相鄰兩條平行線間的距離都等于h,若正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上,則它的面積等于()

(A)4h2(B)5h2(C)42h2(D)52h2

7.一個(gè)正方體的表面涂滿了顏色,按如圖所示將它切成27個(gè)

大小相等的小立方塊,設(shè)其中僅有i個(gè)面(i=1,2,3)涂有顏色的小立方塊的個(gè)數(shù)為xi則x1,x2,x3之間的關(guān)系為()(A)x1-x2+x3=1(B)x1+x2-x3=1(C)x1+x2-x3=2(D)x1-x2+x3=2

8.已知x是無(wú)理數(shù),且x1x3是有理數(shù),在上述假設(shè)下,有人提出了以

下四個(gè)結(jié)論:(1)x2是有理數(shù);(2)x1x3是無(wú)理數(shù);(3)x1是有理數(shù);(4)x122是無(wú)理數(shù)并說(shuō)它們中有且只有n個(gè)正確的,那么n等于()

(A)2(B)1(C)2(D)4二、填空題(共6小題,每小題5分,滿分30分)

9.從-2,-1,1,2這四個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)不同的數(shù)作為一次函數(shù)ykxb的系數(shù)k,b,

則一次函數(shù)ykxb的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的概率是________;

10.有一張矩形紙片ABCD,AD=9,AB=12,將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合,那么折痕長(zhǎng)是;

11.已知xx10,則x2x201*=;

12.已知AB是半徑為1的圓O的直徑,CD是過(guò)OB中點(diǎn)的弦,且CD⊥AB,以CD為直徑的圓交AB于E,DE的延長(zhǎng)線交圓O于F,連結(jié)CF,則CF=.;

232x1x2aa0且a,則413.設(shè)2的值為;22xx1xx114.已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為A(8,8),B(-4,3),C(-2,-5),D(10,-2),則四邊形在第一象限內(nèi)的部分的面積是。

三、解答題(共4題,分值依次為12分、12分、12分和14分,滿分50分)

15.已知:如圖,在△ABC中,D為AB邊上一點(diǎn),∠A=36,AC=BC,AC=ABAD。

(1)若AB=1,求AC的值;

(2)試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形,該梯形連同它的兩條對(duì)角線,得到了8個(gè)三角形,要求構(gòu)造出的

圖形中有盡可能多的等腰三角形。(標(biāo)明各角的度數(shù))

C2A

DB

16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=

2

4,求x+y的值.17.有A、B、C、D、E五位同學(xué)依次站在某圓周上,每人手上分別拿有小旗16、8、12、4、15面,現(xiàn)要使每人手中的小旗數(shù)相等.要求相鄰的同學(xué)之間相互調(diào)整(不相鄰的不作相互調(diào)整),設(shè)A給B有x1面(x1>0時(shí)即為A給B有x1面;x1

擴(kuò)展閱讀:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初1)第01講 有理數(shù)的巧算

第一講有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ).它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上,能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算.不僅如此,還要善于根據(jù)題目條件,將推理與計(jì)算相結(jié)合,靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題,從而提高運(yùn)算能力,發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.

1.括號(hào)的使用

在代數(shù)運(yùn)算中,可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律,去掉或者添上括號(hào),以此來(lái)改變運(yùn)算的次序,使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單.例1計(jì)算:

分析中學(xué)數(shù)學(xué)中,由于負(fù)數(shù)的引入,符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義,它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào),也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào).因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí),一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則,尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化.

注意在本例中的乘除運(yùn)算中,常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù),把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù),這樣便于計(jì)算.例2計(jì)算下式的值:

211×555+445×789+555×789+211×445.

分析直接計(jì)算很麻煩,根據(jù)運(yùn)算規(guī)則,添加括號(hào)改變運(yùn)算次序,可使計(jì)算簡(jiǎn)單.本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算.解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1000000.

說(shuō)明加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”,它是有理數(shù)巧算中的常用技巧.

例3計(jì)算:S=1-2+3-4++(-1)n+1n.

分析不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”.如果按照將第一、第二項(xiàng),第三、第四項(xiàng),,分別配對(duì)的方式計(jì)算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣,而取“添括號(hào)”之法.

解S=(1-2)+(3-4)++(-1)n+1n.下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論:

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),上式是n/2個(gè)(-1)的和,所以有

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),上式是(n-1)/2個(gè)(-1)的和,再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n,所以有

例4在數(shù)1,2,3,,1998前添符號(hào)“+”和“-”,并依次運(yùn)算,所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?

分析與解因?yàn)槿舾蓚(gè)整數(shù)和的奇偶性,只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān),所以在1,2,3,,1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”,不會(huì)改變和的奇偶性.在1,2,3,,1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù),即有999個(gè)奇數(shù),所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后,所得的代數(shù)和總為奇數(shù),故最小非負(fù)數(shù)不小于1.

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”,顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.

這啟發(fā)我們將1,2,3,,1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組,再按上述規(guī)則添加符號(hào),即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)++(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非負(fù)數(shù)是1.

說(shuō)明本例中,添括號(hào)是為了造出一系列的“零”,這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化.2.用字母表示數(shù)

我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值:

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算,若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2,①

這個(gè)公式叫平方差公式,以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí),不必重復(fù)公式的證明過(guò)程,可直接利用該公式計(jì)算.例5計(jì)算3001×2999的值.解3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999.

例6計(jì)算103×97×10009的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919.

例7計(jì)算:

分析與解直接計(jì)算繁.仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù):12345,12346,12347.可設(shè)字母n=12346,那么12345=n-1,12347=n+1,于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1).應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,

即原式分母的值是1,所以原式=24690.例8計(jì)算:

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析式子中2,22,24,每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方,若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1),就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了.解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)==(232-1)(232+1)=264-1.例9計(jì)算:

分析在前面的例題中,應(yīng)用過(guò)公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個(gè)公式也可以反著使用,即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本題就是一個(gè)例子.

通過(guò)以上例題可以看到,用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處.下面再看一個(gè)例題,從中可以看到用字母表示一個(gè)式子,也可使計(jì)算簡(jiǎn)化.

例10計(jì)算:

我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算.

3.觀察算式找規(guī)律

例11某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦,?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分.

87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

分析與解若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái),顯然運(yùn)算量較大,粗略地估計(jì)一下,這些數(shù)均在90上下,所以可取90為基準(zhǔn)數(shù),大于90的數(shù)取“正”,小于90的數(shù)取“負(fù)”,考察這20個(gè)數(shù)與90的差,這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,

平均分為90+(-1)÷20=89.95.

例12計(jì)算1+3+5+7++1997+1999的值.

分析觀察發(fā)現(xiàn):首先算式中,從第二項(xiàng)開(kāi)始,后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2;其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于201*,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式,即

S=1+3+5++1997+1999.①

再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)為

S=1999+1997+1995++3+1.②

將①,②兩式左右分別相加,得

2S=(1+1999)+(3+1997)++(1997+3)+(1999+1)=201*+201*++201*+201*(500個(gè)201*)=201*×500.從而有S=500000.

說(shuō)明一般地,一列數(shù),如果從第二項(xiàng)開(kāi)始,后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5==1999-1997,都等于2),那么,這列數(shù)的求和問(wèn)題,都可以用上例中的“倒寫(xiě)相加”的方法解決.例13計(jì)算1+5+52+53++599+5100的值.

分析觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍.如果將和式各項(xiàng)都乘以5,所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外,其余與原和式中的項(xiàng)相同,于是兩式相減將使差易于計(jì)算.解設(shè)

S=1+5+52++599+5100,①

所以

5S=5+52+53++5100+5101.②

②①得

4S=5101-1,

說(shuō)明如果一列數(shù),從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5),那么這列數(shù)的求和問(wèn)題,均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決.例14計(jì)算:

分析一般情況下,分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.本題通分計(jì)算將很繁,所以我們不但不通分,反而利用如下一個(gè)關(guān)系式

來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,然后再計(jì)算,這種方法叫做拆項(xiàng)法.

解由于

所以

說(shuō)明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng),這種方法在有理數(shù)巧算中很常用.

練習(xí)一

1.計(jì)算下列各式的值:

(1)-1+3-5+7-9+11--1997+1999;(2)11+12-13-14+15+16-17-18++99+100;(3)1991×1999-1990×201*;

(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636;

(6)1+4+7++244;

2.某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦,試?jì)算他們的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

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