初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(48)

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初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(48)

非負數(shù)

甲內(nèi)容提要

1.非負數(shù)的意義：在實數(shù)集合里，正數(shù)和零稱為非負數(shù).

a是非負數(shù)，可記作a≥0,讀作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中學(xué)過的幾種非負數(shù)：

⑴實數(shù)的絕對值是非負數(shù).若a是實數(shù)，則a≥0.

⑵實數(shù)的偶數(shù)次冪是非負數(shù).若a是實數(shù)，則a2n≥0（n是正整數(shù)）.⑶算術(shù)平方根是非負數(shù)，且被開方數(shù)也是非負數(shù).若a是二次根式，則a≥0，a≥0.

⑷一元二次方程有實數(shù)根時，根的判別式是非負數(shù)，反過來也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，則b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，則二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根.

⑸數(shù)軸上，原點和它的右邊所表示的數(shù)是非負數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負數(shù).3.非負數(shù)的性質(zhì)：

⑴非負數(shù)集合里，有一個最小值，它就是零.

例如：a2有最小值0（當(dāng)a=0時），x1也有最小值0（當(dāng)x=－1時）.⑵如果一個數(shù)和它的相反數(shù)都是非負數(shù)，則這個數(shù)就是零.若a≥0且－a≥0，則a=0；

如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限個非負數(shù)的和或積仍是非負數(shù).

例如：若a，b，x都是實數(shù)數(shù)，則a2+b2≥0,a×b≥0,a2x≥0.⑷若幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)也都只能是零.例如若a1（b＋3）2+2c1=0

a10a10a12那么(b3)0即b30∴b3.

2c10c0.52c10

乙例題

例1.求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根證明：把方程左邊分組配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4

∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，

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∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右邊是－4.

∴不論x取什么實數(shù)值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根.例2.

a取什么值時，根式(a2)(a1)(a2)(1a)有意義？

解：∵二次根式的被開方數(shù)（a－2）(a1)與(a－2)(1－a)都是非負數(shù)，

且（a－2）(a1)與(a－2)(1－a)是互為相反數(shù)，∴（a－2）(a1)＝0.（非負數(shù)性質(zhì)2）∴a－2=0；或a1=0.

∴a1=2,a2=1,a3=－1.

答：當(dāng)a=2或a=1或a=－1時，原二次根式有意義.例3.

x2168x12

要使等式（2－x）+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.

x43（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）

x2168x12

解：要使原等式成立∵（2－x）≥0，∴≤0.

x43x4x2168x∴＝＝－1，(x－4≠0)

x4x4∴（2－

1x）2＝1，且x－4免費教學(xué)資源網(wǎng)站無需注冊，免費下載，關(guān)注課件、試題、教案的打包下載和參考

∴只有當(dāng)（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同時成立.答：當(dāng)a=1且b=－丙練習(xí)48

1.已知在實數(shù)集合里x33x有意義，則x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，實數(shù)a=_____.

3.已知a1b2b1＝0，則a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.4.把根號外因式移到根號里：

①－aa=＿＿＿，②bb=＿＿＿＿，③－c35.如果a

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非負數(shù)

甲內(nèi)容提要

1.非負數(shù)的意義：在實數(shù)集合里，正數(shù)和零稱為非負數(shù).

a是非負數(shù)，可記作a≥0,讀作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中學(xué)過的幾種非負數(shù)：

⑴實數(shù)的絕對值是非負數(shù).若a是實數(shù)，則a≥0.

⑵實數(shù)的偶數(shù)次冪是非負數(shù).若a是實數(shù)，則a2n≥0（n是正整數(shù)）.⑶算術(shù)平方根是非負數(shù)，且被開方數(shù)也是非負數(shù).若a是二次根式，則a≥0，a≥0.

⑷一元二次方程有實數(shù)根時，根的判別式是非負數(shù)，反過來也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，則b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，則二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根.

⑸數(shù)軸上，原點和它的右邊所表示的數(shù)是非負數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負數(shù).3.非負數(shù)的性質(zhì)：

⑴非負數(shù)集合里，有一個最小值，它就是零.

例如：a2有最小值0（當(dāng)a=0時），x1也有最小值0（當(dāng)x=－1時）.⑵如果一個數(shù)和它的相反數(shù)都是非負數(shù)，則這個數(shù)就是零.若a≥0且－a≥0，則a=0；

如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限個非負數(shù)的和或積仍是非負數(shù).

例如：若a，b，x都是實數(shù)數(shù)，則a2+b2≥0,a×b≥0,a2x≥0.⑷若幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)也都只能是零.例如若a1（b＋3）2+2c1=0

a10a10a12那么(b3)0即b30∴b3.

2c10c0.52c10

乙例題

例1.求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根證明：把方程左邊分組配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4

∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，

1∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右邊是－4.

∴不論x取什么實數(shù)值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根.例2.

a取什么值時，根式(a2)(a1)(a2)(1a)有意義？

解：∵二次根式的被開方數(shù)（a－2）(a1)與(a－2)(1－a)都是非負數(shù)，

且（a－2）(a1)與(a－2)(1－a)是互為相反數(shù)，∴（a－2）(a1)＝0.（非負數(shù)性質(zhì)2）∴a－2=0；或a1=0.

∴a1=2,a2=1,a3=－1.

答：當(dāng)a=2或a=1或a=－1時，原二次根式有意義.例3.

x2168x12

要使等式（2－x）+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.

x43（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）

x2168x12

解：要使原等式成立∵（2－x）≥0，∴≤0.

x43x4x2168x∴＝＝－1，(x－4≠0)

x4x4∴（2－

1x）2＝1，且x－4∴只有當(dāng)（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同時成立.答：當(dāng)a=1且b=－丙練習(xí)48

1.已知在實數(shù)集合里x33x有意義，則x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，實數(shù)a=_____.

3.已知a1b2b1＝0，則a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.4.把根號外因式移到根號里：

①－aa=＿＿＿，②bb=＿＿＿＿，③－c35.如果a

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