學習復變心得

學習復變函數心得

在這一學期，我學了復變函數這門課程，使我受益良多，也有挺多的學習心

得感受。所以，接下來，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。

我認為，在接觸一門新的課程時，不妨先了解其發(fā)展歷史，這樣，對以后的深入學習也有一定的幫助，而且，在學了之后，也不至于連這一學科怎么來的，為何會產生都不清楚。所以，在老師的講解下及上網看的一些資料后，我也了解了一點點有關復變這門課程的發(fā)展歷史。

復變函數，又稱為復分析，是分析學的一個分支。它產生于十八世紀，其中，歐拉、拉普拉斯等幾位數學家對這門學科的產生做出了重大的貢獻。而到了十九世紀，這時，可以說是復變函數這門學科的黃金時期，在這段時期，它得到了全面的發(fā)展，是當時公認的最豐饒的一個數學分支，也是當時的一個數學享受。其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy這三位數學家為此作做了突出的貢獻。到了二十世紀，復變函數繼續(xù)發(fā)展，其研究領域也更加廣泛了。而我國的老一輩的數學家也是在這一方面做出了一些重大貢獻。

知道了復變函數這一學科簡單的發(fā)展歷程后，那么接下來，我給大家說說我在學習這門課程的一些感受吧。

復變函數這門課程是將數從實數域拓展到復數域，在一開始書中介紹了什么是復數及其一些簡單的四則運算，而這些在中學時就已經有過接觸了，所以，在一開始還是挺容易上手的。而接下來，講的就是復平面及復數的模跟輻角，還有就是復變函數的概念及其極限與連續(xù)。需要說一下的是，復變函數的概念跟實變函數概念的不同，實變函數是單值函數，而復變函數可以是單值函數也可以是多值函數，這對以后的深入學習還算比較重要的。

在學習接下來的第二章，主要講的是解析函數及初等多值函數。而在學習解析函數時，我覺得，最主要的就是掌握柯西黎曼方程，它對于解析函數的微分及解析的判定都有著重要作用，就是到了第三章的復變函數的積分也是會用到的，所以掌握它還是挺重要的。接下來就是初等多值函數，這一部分比較難，但也挺有意思的。在老師講解下及自己的研究后，對這一部分還是有點收獲的。學習這一部分的內容，首先要理解為什么要對平面進行切割，接著，就是要學會尋找支點及切割方法，還有就是那些輻角的變化也要搞清楚，只要將這幾點掌握了，

應該就沒有大問題了。

而接下來的第三、第四章中，我覺得，第三章最主要的就是掌握柯西積分定理及其柯西積分公式，其中，柯西積分定理及其推理等能使我們免去繁瑣的計算過程，直接就知道答案。而柯西積分公式也是經常會用到的，所以也是比較重要的。至于第四章的解析函數的冪級數表示法，首先，就是要了解復級數的一些基本性質，學會求冪級數的收斂性及其收斂半徑。還有，就是要了解一些初等函數的泰勒展式并利用它來求其他一些函數的泰勒展式。

在學習了復變函數的這些知識后，使我的知識范圍得到了拓展，學到了很多，我覺得，復變函數這門課程真的是很不錯。

擴展閱讀：學習復變函數的體會

淺談

復變函數在平面靜電場中的應用

系別：電氣與電子工程系專業(yè)：電氣工程及其自動化

班級：0912091學號：091209151姓名：許志強

摘要

復變函數理論推動了許多學科的發(fā)展，在解決某些實際問題中也是強有力的工具，它的基礎內容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復變函數的主要內容包括復數與復變函數、復變函數的積分、級數、留數理論及其應用、共形映射。在電磁學中，我們對電場的問題總是在一個三維的空間進行討論，而電場中諸多的對稱性讓我們想到在一個剖切面進行考慮問題，復變函數有時在平面解決問題的一個很好的工具。本文正是把電場中的問題變換成復變函數模型，進而進行分析。

關鍵詞：復變函數工具電磁學模型

1、電場中的一些問題化為復變函數模型

般的平面靜電場，我們選取一個有代表性的平面作為z平面，設D是電場中的一大單連通區(qū)域，如果D內每一點電場強度

EExiEyEy0(1)的散度：divEEx

xy以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且由格林公式：

QEydxExdy(c

(x,y)ExEy)0xy上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數：

z(2)稱為電場的力函數，等值線Φ（x、y）=a（常數）叫電力線

電場的旋度:EE(3)rotEyx0類似有：

c(x,y)EydxExdyz0xyExdxEydy(EyxEx)0y上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數:

(x,y)zExdxEydy(4)

0zΦ（x、y）稱為電場的勢函數，其等值線Φ（x、y）=b（常數）叫電勢線。

由(1)(3)得

Ex(Ey)xy(Ey)Exyx(5)

滿足C-R方程，故xiEy是D內的全純函數EEf(zz))是D內的全純函數同理，復勢)(i(z

且知f(z)與E滿足如下關系:

)iEyiEiE(z)(6)f"(zxxx應當指出:在多連同區(qū)域內,復勢可能是一個多值函數,對于

此區(qū)域內任意一條光滑曲線C,有iQc(Exyidy)cE(z)dz(7)iE)(dx其中ГQ分別是平面靜電場沿C的所做的功與電通量.2簡單初等函數表示平面靜電場的幾個例子

（一）考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產生的電場,以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個平面為平

面,且原點在平面上,現來求此平面靜電場的電場強度和復勢.

分析如下:

庫倫定理知，點電荷q在相距其r處產生的電場:

則本題中:

Eq4r21|dE|1其中λ是點電荷的線密度，dh是直線上的長度微元，是真空介電常數,所以，|dE|在z平面的投影為:推出

|E|4(r2h2)dhz|z|kcosdh(r2h2)kcosdh2kr(rh)22由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場強度E的初等復變函數的表示為:

Erz(8)|z||z|22kz2kz2k而根據(6)復勢為：(Ref(z)2(9)z)kargzza（常數）表示電力線(虛線)arg

(z)Imf(z)2klnz為勢函數.表示等勢線（實線）.（如下圖所示）

|z|b

以C表示一原點為中心的一個圓周,則由(7)式得令即易知:

2k22iQE(z)dzdzkiicciQreid4kiiEre，則0zreiiQ0,Q因此,該點電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.

(二)在Z平面的點..…處分別有電量為……的點電荷.求這些點電荷所形成的電場的電場強度和復勢.

分析如下:由上計算知：

Ej2kqjzzj,j1,2......,nfj(z)2kqjiln(zzj),j1,2......,nEEjj1j1nn根據電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場的電場強度為:

復勢為：當

2kqjzzjnwf(z)fj(z)2kiqjln(zzj)j1j1n

z1ia(a0)

z1ia,z2q,q

（即電偶極子），且在的點電荷的電量為，則由這兩異性的點電荷所形成的復勢為：

而力函數

ziawf(z)2kiqLnziazia(z)2kqargziaziaa當argz(a為常數)，電力線是經過的圓周iaz1,z2又勢函數當b為常數），等勢圓周.（見下圖）

(z)2qLn|zz1|zz線是2以

z1,z2

|zz1zia|||b,zzzia2為對稱

的Appolonius

3.用復變的方法處理靜電場的具體問題---平行板電容器所形成的電場.

考慮在平行板電容器內部,而不是兩端附近的靜電場,那么可

以近似的把電場看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場,可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個半平面的形狀,下圖就是垂直與一平行板的剖面圖.以表示平行板間的距離2h,又設它們的電勢分別為正負b（b大于0）

因此,要求出此平面靜電場的復勢wf(z),只有解如下邊值問題.即上圖中所示區(qū)域內的解析函數,使它滿足邊界條件：且使

lim(z),lim(z),(z)Ref(z).zCzAzDzD

,zCEA(z)Imf(z){bb,zCBA實際上,這只要找出區(qū)域D到W平面上寬為2b的帶形區(qū)域G的共形映射（見下圖）

zf2()hh111dhh(Ln)

這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數：

wh將上式分成實部和虛部得：

zebwbb

分別在上式中取Φ=b常數，與ψ=a常數，便得電力線和等勢線的參數方程

由上式及(6)還求的電場強度：

hbxebb

dw1b1Eif"(z)iidziwdzhdw在此平行板電容器的內部,即z接近A點，又w接近，故電

1eb場強度也就是接近勻強電場.當z在平行板電容器一端Eih附近,即接近B或Ewbi時E趨于。上式的E值反映了電容器所形成的電場強度的大小情況.

參考文獻

西安交大，復變函數，第四版，高等教育出版社張玉民,戚伯云,電磁學.科學出版社中國科學技術大學出版社201*

鄭建華,復變函數.清華大學出版社.201*.1

聞國椿,殷慰萍,復變函數的應用.首都師范大學出版社.1999.7

b

總結

本文先把平面靜電場的一些問題化為復變函數的問題,然后用共形映射與邊值問題的方法處理這些問題.

通過著篇論文我學到了很多知識，對電場問題有了更多地了解，也更深刻地了解到變函數這個工具的強大力量。

同時也感謝秦老師給我提供這一鍛煉的機會，以及在寫論文初期同學給予的建議。

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