八年級(jí)上冊(cè)期中考試知識(shí)點(diǎn)歸納(北師大版)

北師大版《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2根據(jù)勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2

∵BD=0.5，∴CD=2

222.2222.25在RtECD中，ECEDCD25∴EC=1.5

（2）勾股定理的驗(yàn)證：測(cè)量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法（通過面積的不同表示方法得到驗(yàn)證，也叫等面積法或等積法）

（3）勾股定理的適用范圍：盡限于直角三角形2、勾股定理的逆定理

AEACEC215.05.

答：梯子頂端下滑了0.5米。點(diǎn)撥：要考慮梯子的長(zhǎng)度不變。

例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，算術(shù)平方根定義如果一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即x2a那么這個(gè)非負(fù)數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為a，算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)a0正數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)平方根0的平方根是0負(fù)數(shù)沒有平方根2.無(wú)理數(shù)的表示定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，即x2a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，記為a正數(shù)的立方根是正數(shù)立方根負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)0的立方根是0如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）

規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時(shí)，如果b+c=a2

那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）

（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是：2n,n2

-1,n2

+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常見題型應(yīng)用：

（1）已知任意兩條邊的長(zhǎng)度，求第三邊/斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積（2）已知任意一條的邊長(zhǎng)以及另外兩條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，求各邊的長(zhǎng)度//斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積

（3）判定三角形形狀：a2

+b2

＞c2

銳角~，a2

+b2

=c2

直角~，a2

+b2

＜c2

鈍角~

判定直角三角形a..找最長(zhǎng)邊；b.比較長(zhǎng)邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間

的大小關(guān)系；c.確定形狀

（4）構(gòu)建直角三角形解題

例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。

解：設(shè)兩直角邊為3x，4x，由題意知：

(3x)2(4x)2100，9x216x2100，25x2100，x24

∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。中考突破

（1）中考典題

例.如圖（1）所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，如圖（2）所示，測(cè)得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

AAECBCBD（1）（2）

思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長(zhǎng)。已知AB和BC，

求這塊地的面積。

ADCB

思維入門指導(dǎo)：求面積時(shí)一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD，似乎不得要領(lǐng)，連結(jié)AC，求出SABCSACD即可。

解：連結(jié)AC，在Rt△ADC中，

ADCB

AC2CD2AD212292225AC15

在△ABC中，AB2=1521AC2BC21523621521

AB2AC2BC2，ACB90°

SABCSACD12ACBC12ADCD

1

1536112927054216(m222)

答：這塊地的面積是216平方米。

點(diǎn)撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角形判定條件。

第二章實(shí)數(shù)

基本知識(shí)回顧

1.無(wú)理數(shù)的引入。無(wú)理數(shù)的定義無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

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定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根，記為3a.

概念有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)分類有理數(shù)正數(shù)無(wú)理數(shù)或03.實(shí)數(shù)及其相關(guān)概念負(fù)數(shù)絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律與有理數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算規(guī)律相同。

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類

正有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)

正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)

2、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來(lái)有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如π/3+8等；（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。

2、絕對(duì)值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。（|a|≥0）。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

5、估算

利用非負(fù)數(shù)解題的常見類型例1.

已知x5|y3|0，求x22y的值。

解：x50，|y3|0，且x5|y3|0x50，|y3|0x50，y30

x5，y3

x22y25619

點(diǎn)撥：利用算術(shù)平方根，絕對(duì)值非負(fù)性解題。

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號(hào)a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2

=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。注意a的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)。即a≥0，3、立方根

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：3a3a，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、實(shí)數(shù)比較大�。赫龜�(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

ab1ab;ab1ab;ab1ab;（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則abab。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則a2b2ab。

（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負(fù)，如果1/a＞1/b，則a＞b

五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）

1、含有二次根號(hào)“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：

（1）(a)2a(a0)（2）a2aa(a0)a(a0)

（3）abab(a0,b0)（abab(a0,b0)）（4）abab(a0,b0)（abab(a0,b0)）

3、運(yùn)算結(jié)果若含有“a”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。（3）運(yùn)算律

加法交換律abba

加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對(duì)加法的分配律a(bc)abac

例.計(jì)算：

（1）2121；

（2）3232；

（3）2323；

（4）5252.

第2頁(yè)共4頁(yè)

通過以上計(jì)算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示上面規(guī)律的等式___________。

22解：211；3221；4321；5241

規(guī)律：

n1nn1n1

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移

1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。

2、要素（或條件）：方向，即前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線方向；距離，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離

3、性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等。4、平移作圖：

線段的平移作法：

作法1：將線段兩端點(diǎn)分別平移，然后將兩個(gè)平移后的點(diǎn)連成線段，即為原線段平移后的線段；

作法2：將線段一端點(diǎn)平移，然后過平移后的點(diǎn)作原線段的平行線，在該平行線適當(dāng)方向截取長(zhǎng)度為指定線段長(zhǎng)度，則所得線段為所求.

二、旋轉(zhuǎn)

1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、要素（或條件）：旋轉(zhuǎn)中心（定點(diǎn)）、旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針/逆時(shí)針）、旋轉(zhuǎn)角度（0~3600）

3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。4、旋轉(zhuǎn)作圖：

（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關(guān)鍵點(diǎn)）確定旋轉(zhuǎn)的三要素找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)作答

（2）旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點(diǎn)依次與旋轉(zhuǎn)中心連接2、按要求向順時(shí)針/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度3、截取對(duì)應(yīng)線段4、連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)

5、作答

三、簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)：

第四章四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。

2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)*180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形。多邊形的對(duì)角線共有n(n3)條。

2二、平行四邊形1、平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處相等）

兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah三、菱形1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積

S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半四、矩形

1、矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角相等，都是直角（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長(zhǎng)×寬=ab五、正方形（3~10分）1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為bS正方形=2a2b

2例1.菱形的周長(zhǎng)為20cm，相鄰兩內(nèi)角的比為1：2，求菱形的面積？

解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長(zhǎng)為20cm，∴AB=5cm

ADBEC

又A：B2：1，A120°，B60°

過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°

BE12AB52

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22AEAB2BE5255223

S菱形535253cm222

另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD，相交于點(diǎn)O。

ADOBC

BAD：ABC2：1ABC60°，又ABBC

∴△ABC是等邊三角形，∴AC=5

又OAOC，OA52

又AOBD，OBAB2OA2

22555223

BD532

S菱形125532523cm

點(diǎn)撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時(shí)要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)。

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定義法：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ),不同底的兩個(gè)角互補(bǔ)。

（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。

（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，S1梯形ABCD(CDAB)DE2（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；③SADCSBCD

七、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：

（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；

八、中心對(duì)稱圖形1、定義

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。

（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定

如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

例.作圖，作出△ABC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的圖形。

AOBC

解：作法：

（1）連結(jié)AO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取A’O=AO（2）連結(jié)BO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取B’O=BO（3）連結(jié)CO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取C’O=CO（4）順次連結(jié)A’B’，B’C’，C’A’�！鰽’B’C’即為所求。

AC’OBB’CA’

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系：

例.如圖所示，梯形ABCD，AC=BD，這個(gè)梯形是等腰梯形嗎？說(shuō)明理由。

ADBC

解：是等腰梯形，理由如下：

把AC平移到DE的位置，則四邊形ACED是平行四邊形∵DE=BD，∠1=∠2∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB∴△DBC≌△ACB（SAS）∴DC=AB

∴梯形ABCD是等腰梯形。

AD312BCE

例1.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)

D’處，則重疊部分△AEC的面積為多少？

第4頁(yè)共4頁(yè)

ADBECD’

解：∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠B=90°

CED"AEBCEAE，D"EBE

設(shè)BEx，則CE8x，則AE8x

在RtABE中，有42x2(8x)2

x3則SABE12436

1

SABC24816

SAEC10

點(diǎn)撥：設(shè)未知數(shù)列方程有時(shí)是解決幾何問題的重要方法。

擴(kuò)展閱讀：八年級(jí)上冊(cè)期中考試知識(shí)點(diǎn)歸納(北師大版)

北師大版《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形兩直角邊

a，b的平方和等于斜邊c

的平方，即a2b2c2

（2）勾股定理的驗(yàn)證：測(cè)量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法（通過面積的不同表示方法得到驗(yàn)證，也叫等面積法或等積法）

（3）勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2b2c2，

那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，

c，稱為勾股數(shù)。

常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）

（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）

規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊

是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時(shí)，如果b+c=a2

那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）

（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構(gòu)成一

組勾股數(shù)分別是：2n,n2-1,n2+1

米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，如圖（2）所示，測(cè)如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）

得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

4、常見題型應(yīng)用：

AAE（1）已知任意兩條邊的長(zhǎng)度，求第三邊/斜邊上

的高線/周長(zhǎng)/面積

CBCBD（1）（2）

（2）已知任意一條的邊長(zhǎng)以及另外兩條邊長(zhǎng)

思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE，即

之間的關(guān)系，求各邊的長(zhǎng)度//斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面求AE的長(zhǎng)。已知AB和BC，根據(jù)勾股定理可求AC，積

只要求出EC即可。

（3）判定三角形形狀：a2+b2＞c2銳角~，a2解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，+b2=c2直角~，a2+b2＜c2鈍角~

∴AC=2

判定直角三角形a..找最長(zhǎng)邊；b.比較長(zhǎng)邊的∵BD=0.5，∴CD=2平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.

確定形狀

在RtECD中，EC2ED2CD22.52222.25（4）構(gòu)建直角三角形解題

∴EC=1.5

例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為AEACEC215.05.

10。求直角三角形的兩直角邊。

答：梯子頂端下滑了0.5米。解：設(shè)兩直角邊為3x，4x，由題意知：點(diǎn)撥：要考慮梯子的長(zhǎng)度不變。

例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠

ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。

(3x)2(4x)2100，9x216x2100，25x2100，x24A∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。

D中考突破

CB（1）中考典題

思維入門指導(dǎo)：求面積時(shí)一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD，例.如圖（1）所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端似乎不得要領(lǐng)，連結(jié)AC，求出SABCSACD即可。

A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5

解：連結(jié)AC，在Rt△ADC中，

第1頁(yè)共8頁(yè)

ADCB

AC2CD2AD212292225

AC15

在△ABC中，AB2=1521

AC2BC21523621521

AB2AC2BC2，ACB90°

1

SABCSACD2ACBC12ADCD

11

21536212927054216(m2)

答：這塊地的面積是216平方米。

點(diǎn)撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角形判定條件。

第二章實(shí)數(shù)

基本知識(shí)回顧

1.無(wú)理數(shù)的引入。無(wú)理數(shù)的定義無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

算術(shù)平方根定義如果一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即實(shí)數(shù)x2a負(fù)有理數(shù)那么這個(gè)非負(fù)數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為a，0正無(wú)理數(shù)算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)a正數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小平方根0的平方根是0數(shù)2.無(wú)理數(shù)的表示負(fù)數(shù)沒有平方根定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，即x2a，那么這個(gè)數(shù)就負(fù)無(wú)理數(shù)叫做a的平方根，記為a2、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。正數(shù)的立方根是正數(shù)立方根在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)0的立方根是0之，歸納起來(lái)有四類：定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3a，那么這個(gè)數(shù)（1）開方開不盡的數(shù)，如x7,32等；就叫做a的立方根，記為3a.）有特定意義的數(shù)，

（2如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含

概念有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)有π的數(shù)，如π/3+8等；正數(shù)（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如分類有理數(shù)或00.1010010001等；無(wú)理數(shù)3.實(shí)數(shù)及其相關(guān)概念負(fù)數(shù)（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)1、相反數(shù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律與有理數(shù)的運(yùn)算法則實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩運(yùn)算規(guī)律相同。個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上

看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一、實(shí)數(shù)的概念及分類如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之

1、實(shí)數(shù)的分類亦成立。正有理數(shù)2、絕對(duì)值

有理數(shù)零有限小數(shù)和在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫無(wú)限循環(huán)小數(shù)

第2頁(yè)共8頁(yè)做該數(shù)的絕對(duì)值。（|a|≥0）。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

5、估算

利用非負(fù)數(shù)解題的常見類型

例1.

已知x5|y3|0，求x22y的值。

解：

x50，|y3|0，且x5|y3|0x50，|y3|0x50，y30x5，y3

x22y25619

點(diǎn)撥：利用算術(shù)平方根，絕對(duì)值非負(fù)性解題。

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方

根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號(hào)a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。注意a的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)。即a≥0，3、立方根

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3

=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：3a3a，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、實(shí)數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，

第3頁(yè)共8頁(yè)

正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

ab0ab,ab0ab,

ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

ab1ab;a1bab;ab1ab;

（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則

abab。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則

a2b2ab。

（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負(fù)，如果1/a＞1/b，則a＞b

五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）

1、含有二次根號(hào)“”；被開方數(shù)a必須是非

負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：

（1）(a)2a(a0)

2（2）aa

a(a0)

abab(a0,b0)

（1）（2）2121；；a(a0)

（（

3）

abab(a0,b0)）

3232（3）2323

（4）5252

移后的點(diǎn)連成線段，即為原線段平移后的線段；作法2：將線段一端點(diǎn)平移，然后過平移后的點(diǎn)

；.作原線段的平行線，在該平行線適當(dāng)方向截取長(zhǎng)度為指定線段長(zhǎng)度，則所得線段為所求.

（4）

aa通過以上計(jì)算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）(a0,b0)

bb（abab(a0,b0)）

3、運(yùn)算結(jié)果若含有“

a”形式，必須滿足：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

（3）運(yùn)算律

加法交換律abba加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對(duì)加法的分配律a(bc)abac

例.計(jì)算：

表示上面規(guī)律的等式___________。解

：

2211；32221；4321；5241

規(guī)律：n1nn1n1

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移

1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。

2、要素（或條件）：方向，即前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線方向；距離，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離

3、性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等。4、平移作圖：線段的平移作法：

作法1：將線段兩端點(diǎn)分別平移，然后將兩個(gè)平

第4頁(yè)共8頁(yè)

二、旋轉(zhuǎn)

1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、要素（或條件）：旋轉(zhuǎn)中心（定點(diǎn)）、旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針/逆時(shí)針）、旋轉(zhuǎn)角度（0~3600）

3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。4、旋轉(zhuǎn)作圖：

（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關(guān)鍵點(diǎn)）確定旋轉(zhuǎn)的三要素找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)作答

（2）旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點(diǎn)依次與旋轉(zhuǎn)中心連接

2、按要求向順時(shí)針/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度

3、截取對(duì)應(yīng)線段4、連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)5、作答

三、簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)：

第四章四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的

四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。

2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三

角形。多邊形的對(duì)角線共有n(n3)2條。

二、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。

常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處

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相等）

兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah

三、菱形

1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積

S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半四、矩形1、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角相等，都是直角（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

4、矩形的面積：S矩形=長(zhǎng)×寬=ab五、正方形（3~10分）

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為bS2正方形=a2b2

例1.菱形的周長(zhǎng)為20cm，相鄰兩內(nèi)角的比為1：2，求菱形的面積？

解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長(zhǎng)為20cm，∴AB=5cm

ADBEC

又A：B2：1，A120°，B60°

過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°

BE152AB2第6頁(yè)共8頁(yè)

22AEABBE25255223

S菱形52352523cm2

另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD，相交于點(diǎn)O。

ADOBC

BAD：ABC2：1ABC60°，又ABBC∴△ABC是等邊三角形，∴AC=5

又OAOC，OA52又AOBD，OBAB2OA2

52525

223

BD53

S155325菱形3cm222

點(diǎn)撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注

意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時(shí)要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)。

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做

梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定義法：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。

（2）一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ),不同底的兩個(gè)角互補(bǔ)。

（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。

（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。

3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

（四）梯形的面積（1）如圖，

S梯形ABCD1(CDAB

2)DE（2）梯形中有關(guān)圖

形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；

③SADCSBCD

七、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；

（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是

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菱形；

（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；

（7）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；

八、中心對(duì)稱圖形

1、定義

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。

（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。例.作圖，作出△ABC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的圖形。AOBCADBC設(shè)BEx，則CE8x，則AE8x

222在RtABE中，有4x(8x)

解：是等腰梯形，理由如下：

x3

14362

把AC平移到DE的位置，則四邊形ACED是平則SABE

解：作法：

（1）連結(jié)AO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取A’O=AO（2）連結(jié)BO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取B’O=BO（3）連結(jié)CO并延長(zhǎng)在延長(zhǎng)線上截取C’O=CO（4）順次連結(jié)A’B’，B’C’，C’A’�！鰽’B’C’即為所求。

AC’OBB’CA’

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系：

例.如圖所示，梯形ABCD，AC=BD，這個(gè)梯形是等腰梯形嗎？說(shuō)明理由。

行四邊形

∵DE=BD，∠1=∠2∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB∴△DBC≌△ACB（SAS）∴DC=AB

∴梯形ABCD是等腰梯形。

AD312BCE

例1.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D’處，則重疊部分△AEC的面積為多少？

ADBECD’

解：∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠

B=90°

CED"AEBCEAE，D"EBE

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SABC124816

SAEC10

點(diǎn)撥：設(shè)未知數(shù)列方程有時(shí)是解決幾何問題的重要方法。

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