高數(shù)下公式總結(jié)

高等數(shù)學下冊公式總結(jié)

1、N維空間中兩點之間的距離公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距離

PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)22、多元函數(shù)zf(x,y)求偏導時，對誰求偏導，就意味著其它的變量都暫時

看作常量。比如，就可以了。

z表示對x求偏導，計算時把y當作常量，只對x求導x2z2z3、二階混合偏導數(shù)在偏導數(shù)連續(xù)的條件下與求導次序無關(guān)，即。xyyx4、多元函數(shù)zf(x,y)的全微分公式：dzzzdxdy。xy5、復合函數(shù)zf(u,v),u(t),v(t)，其導數(shù)公式：

dzzduzdv。dtudtvdtFXdy,Fy分別表示對x,y6、隱函數(shù)F(x,y)=0的求導公式：，其中FxdXFy求偏導數(shù)。方程組的情形：{F(x,y,u,v)0的各個偏導數(shù)是：

G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，

v。yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲線的參數(shù)方程是：x(t),y(t),z(t)，則該曲線過點

M(x0,y0,z0)的法平面方程是：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

切線方程是：

(xx0)(yy0)(zz0)。(t0)(t0)(t0)8、曲面方程F(x,y,z)＝0在點M(x0,y0,z0)處的法線方程是：

(xx0)(yy0)(zz0)，F(xiàn)xFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。切平面方程是：Fx9、求多元函數(shù)z=f(x,y)極值步驟：

第一步：求出函數(shù)對x,y的偏導數(shù)，并求出各個偏導數(shù)為零時的對應(yīng)的x,y的值第二步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

第三步：判斷AC-B2的符號，若AC-B2大于零，則存在極值，且當A小于零是極大值，當A大于零是極小值；若AC-B2小于零則無極值；若AC-B2等于零則無法判斷10、二重積分的性質(zhì)：（1）（2）(3)

kf(x,y)dkf(x,y)d

DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

(4)若f(x,y)g(x,y)，則（5）

f(x,y)dg(x,y)d

DDds，其中s為積分區(qū)域D的面積

D（6）mf(x,y)M，則ms（7）積分中值定理：

f(x,y)dMs

Df(x,y)dsf(,)，其中(,)是區(qū)域D中的點

DdP2(y)11、雙重積分總可以化簡為二次積分（先對y，后對x的積分或先對x，后對y的積分形式）

bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的積分可以隨意選擇積分次序，

但是做題的復雜性會出現(xiàn)不同，這時選擇積分次序就比較重要，主要依據(jù)通過積分區(qū)域和被積函數(shù)來確定

12、雙重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進行運算時，對誰積分，就把另外的變量都看成常量，可以按照求一元函數(shù)定積分的方法進行求解，包括湊微分、換元、分步等方法13、曲線、曲面積分：

（1）對弧長的曲線積分的計算方法：設(shè)函數(shù)f（x,y）在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為

x(t)y(t)，(t)，則

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt

（2）格林公式：

(DQP)dxdyPdxQdyxyLL14、向量的加法與數(shù)乘運算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，則有ka(kx1,ky1,kz1)，xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，則111

x2y2z215、向量的模、數(shù)量積、向量積：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，則向量a的模長222ax1y1z1；數(shù)量積（向量之間可以交換順序，其結(jié)果是一個數(shù)值）ab＝

bax1x2y1y2z1z2＝baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夾角，且

若ab，則有ab＝0；向量積（向量之間不可以交換順序，其結(jié)果仍是一個向量）

ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x軸、

x2y2z2y軸、z軸的方向向量

16、常數(shù)項無窮級數(shù)unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un稱為無

n1窮級數(shù)的部分和，若limsns，則稱改級數(shù)收斂，否則稱其為發(fā)散的。其中關(guān)于無窮級數(shù)

x的一個必要非充分地定理是：若un收斂，則必有l(wèi)imun0

n1x17、三種特殊的無窮級數(shù)：（1）調(diào)和級數(shù)1是發(fā)散的，無須證明就可以直接引用n1nn（2）幾何級數(shù)aq，當q1時收斂，當q1時發(fā)散

n1（3）p級數(shù)1，當p1時收斂，當p1時發(fā)散pn1nn118、正項級數(shù)un的判斂方法：

（1）比較判斂法：若存在兩個正項級數(shù)un，vn，且有vnun，若un收斂，則vn收

n1n1斂；若vn發(fā)散，則un發(fā)散

（2）比較判斂法的極限形式：若limunl,(l0)，則un和vn具有相同的斂散性

xvnun1l，若l1，則原級數(shù)收斂，若l1，則原級

xun（3）比值判斂法：對于un，limn1數(shù)發(fā)散

19、交錯級數(shù)(1)n1n1un的判斂方法：同時滿足unun1及l(fā)imun0，則級數(shù)收斂，否

x則原級數(shù)發(fā)散

20、絕對收斂和條件收斂：對于un，若un收斂，則稱其絕對收斂；若un發(fā)散，

n1n1

n1

但是un收斂，則稱其條件收斂

n121、函數(shù)項無窮級數(shù)形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...，通常討論的是

n1冪級數(shù)形如：anxa0a1xa2xa3x...anx...，

n0n23n（1）收斂半徑及收斂區(qū)間：liman11,則收斂半徑R，收斂區(qū)間則為(R,R)，但

xan是要注意的是，收斂區(qū)間的端點是否收斂需要用常數(shù)項級數(shù)判斂方法驗證

(2n1)xnn-1x（2）幾種常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式：e，sinx，（-1）n0n!n1(2n1)!x11x2nnx，(1)nxn，cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n22、常微分方程的類型及解題方法：

（1）可分離變量的微分方程：yf(x,y)，總是可以分離變量化簡為式，然后等式兩邊同時積分，即可求出所需的解

（2）齊次方程：yf(x,y)，不同的是，等式右端的式子總是可以化簡為f()的形式，令

dydx的形f(y)f(x)yxyu，則原方程化簡為可分離變量方程形式uxuf(u)來求解x（3）一階線性微分方程：形如yp(x)yf(x)的方程，求解時首先求出該方程對應(yīng)的齊次方程yp(x)y0的解ycQ(x)，然后使用常熟變易法，令cu(x)，把原方程的解

yu(x)Q(x)帶入原方程，求出u(x)，再帶入yu(x)Q(x)中，即求出所需的解

（4）全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程，只要滿足

xyp(x,y)Q(x,y)，yx則稱其為全微分方程，其解為u0p(x,y)dxQ(x,y)dy

0（5）二階微分方程的可降階的三種微分方程：

第一種：yf(x)的形式，只需對方程連續(xù)兩次積分就可以求出方程的解

第二種：yf(x,y)的形式，首先令yz，則原方程降階為可分離變量的一階微分方程zf(x,z)的形式，繼續(xù)求解即可

第三種：yf(y,y)的形式，同樣令yz，由于yzdzdzdydzy，所以dxdydxdy原方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程

dzzf(y,z)的形式，繼續(xù)求解即可dy（6）二階常系數(shù)齊次微分方程：ypyqy0，求解時首先求出該方程對應(yīng)的特征方

r1x程r2prq0的解r1,r2，若實根rc2er2x；若實根r1r2，則解1r2，則解為yc1e為y(c1c2x)e1；若為虛根abi，則解為yeax(c1cosbxc2sinbx)

rx（8）二階常系數(shù)非齊次微分方程：ypyqyPm(x)e，求解時先按（7）的方法求其

rx對應(yīng)的齊次微分方程的通解y1，然后設(shè)出原方程的特解y＝xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相應(yīng)的未知系數(shù)，而k根據(jù)特征方程的解r1,r2與r的關(guān)系取值，m(x)同次的多項式，若r與特征根不相等，則k取0；若r和一個特征根相等，則k取1；若r和特征根都相等，則k取2，將特解代入原方程求出相應(yīng)的未知系數(shù)，最終原方程的解即通解加上特解，即

kyy1y

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第八章向量與解析幾何

向量代數(shù)定義與運算的幾何表達定義向量模有大小、有方向.記作a或AB向量a的模記作a在直角坐標系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca－b單位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，則eaa設(shè)a與x,y,z軸的夾角分別為，，，則方向余弦分別為cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21點乘（數(shù)量積）ababcos，為向量a與b的夾角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量積）為向量a與b的夾角cab向量c與a，b都垂直定理與公式垂直平行abab0a//bab0abaxbxaybyazbz0a//bcosaxayazbxbybz2222交角余弦ab兩向量夾角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影abprjbaacos(ab)bprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}點M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式方程形式及特征直線方向向量T{m,n,p}點M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0

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點法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx1yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1點向式三點式x2x1x3x1參數(shù)式xx0yy0zz0mnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0截距式面面垂直面面平行線面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnp兩點式線線垂直線線平行線面平行m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0點面距離M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距離AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夾角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222線線夾角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}線面夾角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“線”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空間(t)曲線：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“線”方程：y(x)切向量T(1,(x),(x))z(x)xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量空間F(x,y,z)0曲面：切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“線“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：zf(x,y)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0

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或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)法“線“方程：xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重積分

重積分計算方法（1）利用直角坐標系X型Y型積分類型二重積分典型例題f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用極坐標系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧,直線段)；(2)被積函數(shù)用極坐標變量表示較簡單(含(xy),22平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積為實數(shù))f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性當D關(guān)于y軸對稱時，（關(guān)于x軸對稱時，有類似結(jié)論）0I2f(x,y)dxdyD1計算步驟及注意事項f(x,y)對于x是奇函數(shù)，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)對于x是偶函數(shù)，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分1．畫出積分區(qū)域2．選擇坐標系標準：域邊界應(yīng)盡量多為坐標軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離3．確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙

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4．確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5．計算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性三重積分投影法(1)利用直角坐標截面法投影f(x,y,z)dVdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzxrcos（2）利用柱面坐標yrsinzz相當于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標轉(zhuǎn)換成極坐標適用范圍:1積分區(qū)域表面用柱面坐標表示時方程簡單；如旋轉(zhuǎn)體○If(x,y,z)dv空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積22222被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量易分離.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐標ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd適用范圍:1積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;如，球體，錐體.○2被積函數(shù)用球面坐標表示時變量易分離.如，f(xyz)○222Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性

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第十一章曲線積分與曲面積分

曲線積分與曲面積分積分類型參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）第一類曲線積分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds計算方法典型例題bx(t)2(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形構(gòu)件的質(zhì)量（2）L:y(t)質(zhì)量=線密度Lf((t),(t))"2(t)"2(t)dt弧長（3）rr()xr()cos()L:yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二類曲線積分（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）x(t)L:(t單調(diào)地從到)y(t)LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：①L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）②P，Q具有一階連續(xù)偏導數(shù)結(jié)論：LPdxQdy(DQP)dxdyxy滿足條件直接應(yīng)用IPdxQdy應(yīng)用：有瑕點，挖洞L不是封閉曲線，添加輔助線變力沿曲線所做的功（3）利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑法）等價條件：①Q(mào)P②xy③PdxQdy0LLPdxQdy與路徑無關(guān)，與起點、終點有關(guān)④PdxQdy具有原函數(shù)u(x,y)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（4）兩類曲線積分的聯(lián)系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空間第二類曲線積分（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）L條件：①L封閉，分段光滑，有向②P，Q，R具有一階連續(xù)偏導數(shù)

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變力沿曲線所做的功PdxQdyRdzL結(jié)論：QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxy滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲線，添加輔助線第一類曲面積分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量Dxy質(zhì)量=面密度類似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公式面積（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，為的法向量與x軸的夾角前側(cè)取“+”，cos0；后側(cè)取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二類曲面積分○Dyz：yy(x,z)，為的法向量與y軸的夾角右側(cè)取“+”，cos0；左側(cè)取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyIPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流體流向曲面一側(cè)的流量：xx(y,z)，為的法向量與x軸的夾角上側(cè)取“+”，cos0；下側(cè)取“”，cos0（2）高斯公式右手法則取定的側(cè)條件：①封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)②P，Q，R具有一階連續(xù)偏導數(shù)結(jié)論：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyz應(yīng)用：滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲面，添加輔助面（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS轉(zhuǎn)換投影法：dydz(

所有類型的積分：

z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定義：四步法分割、代替、求和、取極限；○

2性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；○

3對坐標的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性�！�

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第十二章級數(shù)

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1若級數(shù)收斂,各項同乘同一常數(shù)仍收斂○2兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂○用收斂定義，limsn存在n注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.3去掉、加上或改變級數(shù)有限項不改變其收斂性○4若級數(shù)收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成○一般項級數(shù)的級數(shù)仍收斂，且其和不變。常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂.常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)5（必要條件）如果級數(shù)收斂則limu0○nn0常數(shù)項級數(shù)交錯級數(shù)萊布尼茨判別法若unun1且limun0，則(1)n1unnn1收斂比較判別法un和vn都是正項級數(shù)，且unvn.若vn收斂，則un也收斂；若un發(fā)散，則vn也發(fā)散.1若un和vn都是正項級數(shù)，且limunl，則○n正項級數(shù)比較判別法的極限形式vn2若l0,v收0l,un與vn同斂或同散;○n3如果l斂,un也收斂；○比值判別法根值判別法，vn發(fā)散，un也發(fā)散。uun是正項級數(shù)，limn1,limnun,則1時收nnun斂；1()時發(fā)散；1時可能收斂也可能發(fā)散.收斂性an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺項級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑1在收斂域I上連續(xù);○2在收斂域(R,R)內(nèi)可導，3且可逐項求導;○s(x)的性質(zhì)○無窮級數(shù)冪級數(shù)和函數(shù)和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積分，且可逐項積分.(R不變,收斂域可能變化).展成冪級數(shù)直接展開:泰勒級數(shù)間接展開:六個常用展開式11xn(1x1)exxn(x)1xn1n1n!T2T2lf(x)傅立葉級數(shù)1a0(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dxan1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收斂定理x是連續(xù)點,收斂于f(x);x是間斷點,收斂于1[f(x)f(x)]2周期延拓f(x)為奇函數(shù)，正弦級數(shù)，奇延拓；f(x)為偶函數(shù)，余弦級數(shù)、偶延拓.

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