高數(shù)定理定義總結

高數(shù)定理定義總結第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮�。挥薪绾瘮�(shù)與無窮小的乘積是無窮�。怀�數(shù)與無窮小的乘積是無窮��；有限個無窮小的乘積也是無窮��；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。單調有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，那么在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ(a定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內具有一階和二階導數(shù)，那么(1)若在(a，b)內f"’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f"’(x)求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

極坐標系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

旋轉體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)第七章多元函數(shù)微分法及其應用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內有定義，P0(x0，y0)是D的內點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)。

性質(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

性質(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù)，則它在該點必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導數(shù)存在且在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導數(shù)，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必為零。定理(充分條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A0時有極小值；(2)AC-B2

擴展閱讀：考研數(shù)學高數(shù)定理定義總結

考研數(shù)學高數(shù)定理定義總結

第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮��；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮��；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮�。欢ɡ砣绻鸉1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。

單調有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內都是連續(xù)的。定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)函數(shù)在該點處可導；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。

第三章中值定理與導數(shù)的應用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ(a臨近的值時，f’(x)恒為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數(shù)的凹凸性及其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內具有一階和二階導數(shù)，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)可積。

定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。3、定積分的若干重要性質性質如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

性質(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關于廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

極坐標系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

旋轉體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ*f(x)+2dx，其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章多元函數(shù)微分法及其應用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)=,0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內有定義，P0(x0，y0)是D的內點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)。

性質(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

性質(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù)，則它在該點必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導數(shù)存在且在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導數(shù)，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必為零。

定理(充分條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A0時有極小值；(2)AC-B2平面薄片的轉動慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)d，Iy=∫∫x2ρ(x，y)d；其中ρ(x，y)為在點(x，y)處的密度。

平面薄片對質點的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質性質如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質設M，m分別是f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，是D的面積，則有m≤∫∫f(x，y)d≤M。

性質(二重積分的中值定理)設函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)d=f(ξ，η)*4、二重積分中標量在直角與極坐標系中的轉換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數(shù)中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxd來源:考試大-考研站

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