高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)--必修5

平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

第二章：數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．4、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．

8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式．

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為等差

數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為等差數(shù)列的公差．

12、由三個(gè)數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱(chēng)為a與b的等差

中項(xiàng)．若bac2S奇S偶an，

S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）．

17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為等比

數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為等比數(shù)列的公比．18、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱(chēng)為a與b的等比中項(xiàng)．若

2Gab，則稱(chēng)G為a與b的等比中項(xiàng)．

19、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1qn1．20、通項(xiàng)公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

21、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等比數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。

na1q122、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q2，則稱(chēng)b為a與c的等差中項(xiàng)．

13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則ana1n1d．

通項(xiàng)公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dnana1d1；⑤danamnmana1n1；④

．

q1時(shí)，Sna11qa11qq，即常數(shù)項(xiàng)與q項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。

nn*14、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an*是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q），則2anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)

23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則SS偶奇q．

仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①Snna1an2n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列．

；②Snna1nn12d．

16、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則

S2nnanan1，且

SnSn124、an與Sn的關(guān)系：anS1n2n1

S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且

第1頁(yè)共4頁(yè)常見(jiàn)方法總結(jié)

一、求通項(xiàng)公式的方法：

1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式：待定系數(shù)法

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（2）anan1anan1形式，同除以anan1，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列；

例如：anan12anan1，則列。

（3）anqan1m形式，q1，方法：構(gòu)造：anxqan1x為等比數(shù)列；

例如：an2an12，通過(guò)待定系數(shù)法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。

（4）anqan1pnr形式：構(gòu)造：anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列；（5）anqan1pn形式，同除pn，轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造；

因?yàn)閍nqan1pn，則

anpnanan1anan121an11，即為以-2為公差的等差數(shù)anan1①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anknb，列兩個(gè)方程求解；②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anan2bnc，列三個(gè)方程求解；

n③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anaq程求解；

2、由遞推公式求通項(xiàng)公式：

b，q為相除后的常數(shù)，列兩個(gè)方

qan1ppn11，若

qp1轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化

①若化簡(jiǎn)后為an1and形式，可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；②若化簡(jiǎn)后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡(jiǎn)后為an1anq形式，可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；

④若化簡(jiǎn)后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解{anx}的通項(xiàng)公式，再反過(guò)來(lái)求原來(lái)那個(gè)。（其中x是用待定系數(shù)法來(lái)求得）3、由求和公式求通項(xiàng)公式：

①a1S1②anSnSn1③檢驗(yàn)a1是否滿(mǎn)足an，若滿(mǎn)足則為an，不滿(mǎn)足用分段函數(shù)寫(xiě)。4、其他

（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；

例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1為（3）的方法

二、等差數(shù)列的求和最值問(wèn)題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）

①若②若ak0，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿(mǎn)足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿(mǎn)足d0a0k1三、數(shù)列求和的方法：

①疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的，倒序之后和為定值；

②錯(cuò)位相減法：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：an2n13；

n③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法：適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；

22n12n1④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開(kāi)分別求和法：適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和的部

n分，如：an2n1等；

四、綜合性問(wèn)題中

①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類(lèi)型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；

②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類(lèi)型，這樣可以相乘約掉。

n4n12第2頁(yè)共4頁(yè)平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的

sinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

③設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且pqrs,1°.若{an}是等差數(shù)列，則

apaqaras;2°.若{an}是等比數(shù)列，則apaqaras;

④順次n項(xiàng)和性質(zhì)：

1°.若{an}是公差為d等差數(shù)列，則ak,k1nn2n

半徑，則有

asina2Rbsinc2R．

kn1ak,2

a組成公差為nd的等差數(shù)列；

kk2n13n②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中）

abcabsincsinC2n2°.若{an}是公差為q的等比數(shù)列，則ak,k1kn1ak,n

a組成公差為q的等比數(shù)列.

kk2n13n③a:b:csin:sin:sinC；④3、三角形面積公式：SCsinsinsinCsin111bcsinabsinCacsin．222．

（注意：當(dāng)q=－1，n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立）

⑤若{an}是等比數(shù)列，則順次n項(xiàng)的乘積：a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n組成公比這qn的等比數(shù)列.⑥若{an}是公差為d的等差數(shù)列,

1°.若n為奇數(shù)，則Snna中且S奇S偶a中(注:a中指中項(xiàng),即a中an1,而S奇、

224、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和）；2°.若n為偶數(shù)，則S偶S奇定義遞推公式通項(xiàng)公式等差數(shù)列an1andanan1dnd2.

等比數(shù)列；anamnmdan1anq(q0)6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；②若abc，則C90為銳角三角形；③若abc，則C90為鈍角三角形．

222222anan1qana1qG；anamqnm（a1,q0）ana1(n1)d第二章：數(shù)列

中項(xiàng)n1①首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列{an}:a1,a2,a3,,an,

1°.若{an}是等差數(shù)列，則a1ana2an1a3an2;

前n項(xiàng)和Aankank2k0ankank(ankank0)（n,kN*,nSnn2(a1an)）（n,kN*,nk0）2°.若{an}是等比數(shù)列，則a1ana2an1a3an2.

②中項(xiàng)及性質(zhì)：1°.設(shè)a，A，b成等差數(shù)列，則A稱(chēng)a、b的等差中項(xiàng)，且A2°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則G稱(chēng)a、b的等比中項(xiàng)，且Gab.

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ab2;

Snna1n(n1)2dna1(q1)Sna1qna1anq1(q2)1q1q重要性質(zhì)amanapaqamanapaq其中mnpq平邑實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開(kāi)方法；倒數(shù)法等等。

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0n②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域．

10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．

線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題．

nnn,n1；

anbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：

判別式b4ac

201*

二次函數(shù)yaxbxc

2可行解：滿(mǎn)足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．

有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根

有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

a0的圖象

11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則平均數(shù)．

ab2稱(chēng)為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱(chēng)為正數(shù)a、b的幾何

一元二次方程axbxc0

2a0的根

axbxc0

一元二次不等式的解集

2x1,2b2ax1x2b2a

沒(méi)有實(shí)數(shù)根

x1a0

axbxc0

2x2

12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：

R

ab2ab．

xxx1或xx2bxx

2a

①ab2aba,bR；②ab222ab22222a,bR；

2a0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿(mǎn)足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)

ababab③ab；④a0,b022214、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

a,bR．

s42⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值．p．

x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．

①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．

⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2第4頁(yè)共4頁(yè)

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必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來(lái)解決兩類(lèi)問(wèn)題：1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無(wú)交點(diǎn)：當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過(guò)程略

附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．10、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為等比數(shù)列的公比．符號(hào)表示：

an1anq（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位上

的值同號(hào)）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱(chēng)為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，

22則稱(chēng)G為a與b的等比中項(xiàng)．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項(xiàng)公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對(duì)任意的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{an}前n項(xiàng)和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．附：幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.

對(duì)應(yīng)函數(shù)（時(shí)為一次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）對(duì)應(yīng)函數(shù)（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開(kāi)了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列分析：因?yàn)?/p>

中，，則.

是等差數(shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，

一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線，

所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)

列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。例題：2、等差數(shù)列

中，

，前n項(xiàng)和為

，若

，n為何值時(shí)

最大？

分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，

是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，，

則因?yàn)橛�求最大�?/p>

最大值，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，并且對(duì)稱(chēng)軸為，即當(dāng)時(shí)，

例題：3遞增數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)n，

遞增得到：

恒成立，設(shè)

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因?yàn)槭沁f的最大值即

分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對(duì)一切

對(duì)于一切

，所以看成函數(shù)

的取值范圍是：

構(gòu)造二次函數(shù)，，它的定義域是

增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對(duì)稱(chēng)軸，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)

在

也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，

，得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前

n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，

公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類(lèi)似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)yax22

000bxc有兩相異實(shí)根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實(shí)根x1x2b2abxc0a0的根2無(wú)實(shí)根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對(duì)于a0(或

f(x)g(x)（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對(duì)值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當(dāng)x2時(shí)，（去絕對(duì)值符號(hào)）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數(shù)圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來(lái)分析：y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對(duì)稱(chēng)軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對(duì)稱(chēng)軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因?yàn)橛袃蓚�(gè)不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿(mǎn)足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號(hào)來(lái)確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號(hào)方向：

①若是“>”號(hào)，則xyC0所表示的區(qū)域?yàn)橹本�l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題．可行解：滿(mǎn)足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．41、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

ab2稱(chēng)為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱(chēng)為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當(dāng)54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時(shí)取到“=”號(hào)

也就是說(shuō)當(dāng)x1時(shí)有f(x)max2

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