復變函數(shù)與積分變換復習題匯總(答案)

一、填空

2(cosisin)2ei41、33，

2、(2k12)i3、

1212i，

1212i

4、6xyi(3x23y2)

5、z0，二級極點6、43

7、x[(2)(2)]

8、1ss，Re(ss0)0

09、110、0

11、

tan1bax12、z1，本性，z，可去13、mn

14、nzn1，1

015、2ki

16、(t)12[(t2)(t2)]

二、證明題

1、ux2vxy

yx2xuy0vxyvyx當xy0時，f(z)才可導，即f(z)僅在z0可導

f(z)處處不解析

2、|sin2i||ei(2i)ei(2i)2i||e2e22|1|cos2i|同理可證。三、判斷正誤

1、×2、×3、×4、√5、×6、√7、√√10、×11、×四、計算題

1、由Cauclcy-Rieman方法易知，f(z)在復平面上處處解析且f"(z)(3x23y2)i6xy或f(z)(xiy)3z3

f"(z)3z2

2、左式11dz2i[231dz24)zi]0C(z4)ziC(z或：左式Res[f(z),zi]Res[f(z),zi]03、a在c處解析，左式=0

a在c處解析，za是三級極點

左式2i2!(sinz)""zaisina

4、f(z)2i(3271)"z2i[6z7]

f"(z)12if"(1i)12i

15、f(z)z12(1nz1n11z1)()022、×9、121122n36、左式22z(z1)zz0z2z3(111)21|1zz2z31zz|

12jt2jtF(2sincost)F(sin2t)F(ee)7、

2jtj[(2)(2)]

t1a8、L(1ate)L(1)aL(te)

S(s1)219、f(t)21||jwteedw

ecostd01jt1jte(ee)d220t

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復變函數(shù)與積分變換復習題匯總

一、填空題

1、1i3的三角函數(shù)表示為_____________________；

2i的指數(shù)函數(shù)表示為______________________；1i2、ln(1)___________________；

3、i有兩個根，他們分別是_________________和_______________；4、f(z)y3xyi(x3xy)，則

3232f(z)___________________；

5、

ez1的孤立奇點為Z=______________，其類型為_________________；3z1e2z，0]________________；6、Res[4z7、g[1]2()，則g[cos2t]__________________；

s0t[e]____________________;8、

3nnz9、的收斂半徑是_______________；n13ndz_____________，其中C：10、2z2z4c11、Zabi，a與b是實數(shù)，且a12、sin|z正向；

0，b0，則argZ________;

1有兩個奇點，一個是Z=_______，是_________奇點；另一個是Z=________，是_________1z奇點；13、Z0是14、f(z)15、exp

f1(z)與f2(z)的m級和n級極點，則Z0是f1(z)f2(z)的___________級極點；

1展為Z的冪級數(shù)后的結果為________，其收斂半徑為_____________;

(1z)2z的周期是________________；

216、2cos的Fourier逆變換為________________；

二、證明題1、函數(shù)

f(z)x2ixy在平面上處處不解析2、對于z2i,|sinz|1和|cosz|1均不成立

三、判斷正誤（請在括號內劃“√”或“×”）1、i2i；（）

2、z是任意復數(shù)，則z2|z|2；（）

3、

f"(z0)存在，那么f(z)在z0處解析；（）

4、u和v都是調和函數(shù)，v是u的共軛調和函數(shù)，則-u是v的共扼調和函數(shù)；

（

5、u、v都是調和函數(shù)，則u+iv必為解析函數(shù)；（）6、

f(z)uiv解析，則

uvuxy，yvx；（）7、f(z)解析，則下面的導數(shù)公式全部正確。（）

f"(z)uvvxix，f"(z)yiuv1uy，f"(z)yiy；8、設有級數(shù)

an，如果lim0，則0nanan收斂；（）

09、Taylor級數(shù)

cn(zz0)n在其收斂圓周上一點處可能收斂，也可能發(fā)散；（010、z0是函數(shù)f(z)1（）sin1的本性奇點；z11、每個冪級數(shù)在它的收斂內與收斂圓上都絕對收斂。（）

三、計算題

1、指出f(z)x33x2yi3xy2y3i的解析區(qū)域，并求

f"(z)；

dz2、(z2123，其中C為|z|3C)(z4)2；sinz3、(za)3dz，C為簡單正向封閉曲線，a是常數(shù)；C4、設f(z)3271d，求f"(1i)；||z(z)2）

）5、將f(z)z1展為Z-1的冪級數(shù)；z1z1在1|z|內展為Laurent級數(shù)；2z(z1)6、將f(z)7、求函數(shù)2sintcost的Fourier變換；

||1e8、求函數(shù)1ate的Laplace變換；9、F()，求g[F()；1

答案

一、填空1、，2、3、，4、

5、，二級極點6、7、8、，9、110、011、

12、，本性，，可去13、14、，115、16、

二、證明題1、

當時，才可導，即僅在可導處處不解析2、

同理可證。三、判斷正誤

1、×2、×3、×4、√×11、×四、計算題

1、由Cauclcy-Rieman方法易知，且或

2、左式或：左式

3、a在c處解析，左式=0

、×6、√7、√在復平面上處處解析8、×9、√10、a在c處解析，是三級極點左式

4、

5、

6、左式7、

8、9、

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