二次函數(shù)圖表總結(jié)

y＝ax圖象2a>0ay＝ax+k圖象2a>0a0開口對稱性頂點k0ky＝a(x-ｈ)2圖象a>0a0開口對稱性頂點增減性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0頂點是最低點左右平移y=ax2+k

上下平移

y=a(xh)2+k

上下平移

y=a(xh)2左右平移

y=ax2

一般地,拋物線y=a(x-h)+k與y=ax2的形狀相同,位置不同。

2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

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二次函數(shù)單元總結(jié)

【知識歸納和總結(jié)】一、知識網(wǎng)絡

二次函數(shù)的定義yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函數(shù)的圖像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函數(shù)

二次函數(shù)的性質(zhì)開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性，二次函數(shù)與一元二次方程的關系二次函數(shù)的應用最大面積、利潤等二、知識要點分布

1.二次函數(shù)的定義：形如yax2bxc(a、b、c為常數(shù)，a0）的函數(shù)叫二次函數(shù)。任何一個二次函數(shù)的表達式都可以化為yax2bxc的形式，這就是二次函數(shù)的一般形式。2.二次函數(shù)表達式的幾種形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。y=a(x+h)2+k；

3.二次函數(shù)表達式的形式及對稱軸、頂點坐標。

（1）一般式：yaxbxc(a、b、c為常數(shù)，a0），其對稱軸為直線x=-2b，頂點2ab4ac-b2坐標為-,。2a4a（2）頂點式：y=a(x+h)+k(a、h、k為常數(shù)，a0），其對稱軸為直線x=-h，頂點坐標為-h,k。

（3）交點式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的兩個根。

4.二次函數(shù)圖像之間的平移關系

1

向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a對稱軸頂點坐標直線x=-b2a直線x=-b2ab4ac-b2-,2a4a當x-小；當x-大；b4ac-b2-,2a4a當x-大；性質(zhì)增減性b時，y隨x的增大而減2ab時，y隨x的增大而增2ab時，y隨x的增大而增2ab時，y隨x的增大而減2a當x-��；最值當x=-b時，y有最小值，2a當x=-b時，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具體了。

7.拋物線的平移與解析式的變化。拋物線上最重要的點是它的頂點，最重要的線是它的對稱軸，拋物線的平移首先表現(xiàn)為對稱軸和頂點的平移。在拋物線y=ax-h+k中，令x-h=0易得對稱軸為直線x=h，拋物線向右（左）平移則對稱軸也向右（左）平移，h的值將隨之增大（減小），反之也成立；拋物線上（下）平移，對稱軸不會改變，即頂點的橫坐標h的值不變，但頂點的縱坐標k的值將隨之增大（減�。�，反之也成立。拋物線的平移不會改變拋物線的形狀，即a不變。在拋物線y=ax2+bx+c中研究平移是很不方便的，要先將y=ax2+bx+c的形式轉(zhuǎn)化成

2y=a(x-h)2+k再研究。

拋物線平移的題型一般有以下幾種：

（1）已知拋物線的解析式，求平移后拋物線的解析式。

例1將拋物線y=-3(x-1)2-3先向左平移2個單位，再向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為。

（2）已知平移后拋物線是解析式，求原拋物線的解析式。

例2將拋物線y=a(x-h)2+k先向左平移5個單位，再向下平移4個單位后所得拋物線為

y=-12x+2-3，則原拋物線的解析式為。222（3）已知平移前后拋物線的解析式，求平移的方式。

例3將拋物線y=-2x-2-5經(jīng)過怎樣的平移，可得拋物線y=-2x+4+3？

8、圖像共存問題的解法

解決此類問題的關鍵是分析兩函數(shù)的解析式有什么共同的特點，從這些特點入手，在利用拋物線的頂點位置和開口方向、雙曲線所在象限、直線所在象限加以判斷，決定取舍。例函數(shù)y=ax與函數(shù)y=ax+a在同一直角坐標系中的圖像大致為（）

A、B、C、D、

2

9、拋物線的對稱性的妙用。

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其具有軸對稱性。若設拋物線上兩個對稱點的坐

x+x標為x1,y1、x2,y2，則一定有y1=y2，且該拋物線的對稱軸為直線x=12，利用它

2可以簡便、快捷地解決相關問題。

例：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應值如下表：

xy……-37-200-81-93-557……二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖形的對稱軸為直線x=；x=2對應的函數(shù)值

y=。

【典型例題分析】

題型一利用圖像求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的增減性例1已知二次函數(shù)y=-12x+x+4。2（1）試確定拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸；

（2）x為何值時，y有最大（�。┲担浚�3）求出拋物線與兩坐標軸的交點；

1（4）畫出函數(shù)圖形的草圖，并說明該圖像是y=-x2經(jīng)過怎樣的平移得到的；

2（5）根據(jù)圖像回答，當x取何值時，y>0？y=0？y

題型三二次函數(shù)與幾何知識的綜合應用

例3如圖所示，某場地為一直角三角形，已知∠C=90°，AC=6m，BC=12m，現(xiàn)在要對四邊形ABPQ進行裝修，裝修費為50元/m，且四邊形ABPQ的邊AQ為PC的一半，問怎樣設計四邊形ABPQ才能使裝修費最少？

2B

例4如圖所示，二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖形與x軸交于

PCQA1A-,0、B2,0兩點，且與y軸交于點C，求該拋物線的解析2式，并判斷△ABC的形狀。

題型四二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合應用

例5二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示，反比例函數(shù)y=在同一坐標系中的大致圖像可能是（）

2a與正比例函數(shù)y=b+cxxA、

B、

C、

D、

題型五二次函數(shù)在生活、生產(chǎn)中的應用

例6王亮同學善于改進學習方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進行回顧反思，效果會更好。某一天他利用30分鐘時間進行自主學習。假設他用于解題的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖乙所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間。

（1）求王亮解題的學習收益量y與用于解題的時間x的函數(shù)解析式，并寫出自

變量x的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x之間的函數(shù)解析

式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量

最大？（學習收益總量=解題的學習收益量+回顧反思的學習收益量）

y4O2x甲

例7甲車在彎路做剎車試驗，收集到的數(shù)據(jù)如下表所示：速度x/（kmh）10510152025…剎車距離y/m034215416354…（1）請用上表中的各對數(shù)據(jù)（x，y）作為點的坐標，在如圖

所示的坐標系中畫出剎車距離y（m）與速度x（kmh）的函數(shù)圖像，并求函數(shù)的解析式；

（2）在一個限速為40kmh的彎路上，甲、乙兩車相向而行，

同時剎車，但還是相撞了，事后測得甲、乙兩車剎車距離分別為12m和10.5m，又知乙車剎車距離y（m）與速度x（km/h）滿足函數(shù)y析相撞原因。

11x，請你就兩車速度方面分4

題型六二次函數(shù)與圖形變換相結(jié)合

例8如圖所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，ab，且a、b是方程

8-4x2x+3+=1的兩個根。P是BC上一動點，動點Q在PC或

x(x+5)x+5其延長線上，BP=PQ，以PQ為一邊的正方形為PQRS。點P從B點開始沿射線BC方向運動。設BP=xcm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分的面積為ycm。

（1）求a、b的值；

（2）分別求出0x2和2x4時，y與x之間的函數(shù)關系

式。

2SADRBPCQ

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