高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)試技巧總結(jié)：函數(shù)1

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概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

函數(shù)

一．映射f:AB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：

㈠中元素必須都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）設(shè)f:MN是集合M到N的映射，下列說(shuō)法正確的是A、M中每一個(gè)元素在N中必有象B、N中每一個(gè)元素在M中必有原象C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

（答：A）；

（2）點(diǎn)(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，則在f作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)________

（答：（2，－1））；

（3）若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，則A到B的映射有個(gè)，B到A的映射有個(gè)，A到B的函數(shù)有個(gè)

（答：81,64,81）；

（4）設(shè)集合M{1,0,1},N{1,2,3,4,5}，映射f:MN滿足條件“對(duì)任意的

xM，xf(x)是奇數(shù)”，這樣的映射f有____個(gè)

（答：12）；

2（5）設(shè)f:xx是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則AB一定是_____

（答：或{1}）.

二．函數(shù)f:AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖

像與x軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可能有任意個(gè)。如：

（1）已知函數(shù)f(x)，xF，那么集合{(x,y)|yf(x),xF}{(x,y)|x1}中所含元素的個(gè)數(shù)有個(gè)

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（答：0或1）；

（2）若函數(shù)y12x22x4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝（答：2）

三．同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和

對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如

若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為yx，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)

（答：9）

四．求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則）：

1．根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)logax中x0,a0且a1，三角形中0A,最大角x4xlgx3223，最小角3等。如

（1）函數(shù)y的定義域是____

(答：(0,2)(2,3)(3,4))；

（2）若函數(shù)ykx7kx4kx32的定義域?yàn)镽，則k_______

3)；4(答：0,（3）函數(shù)f(x)的定義域是[a,b]，ba0，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的定義域是__________

(答：[a,a])；

（4）設(shè)函數(shù)f(x)lg(ax2x1)，①若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（答：①a1；②0a1）

2．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。

3．復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由

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不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于當(dāng)x[a,b]時(shí)，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）。如

1（1）若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?2，則f(log22x)的定義域?yàn)開(kāi)_________

（答：x|22x4）；

（2）若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2,1)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______

（答：[1,5]）．

五．求函數(shù)值域（最值）的方法：

1．配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)yx2x5,x[1,2]的值域

（答：[4,8]）；

（2）當(dāng)x(0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)ax值范圍是___

（答：a（3）已知f(x)3值域?yàn)開(kāi)_____

（答：[2,5]）

2．換元法通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）y2sinx3cosx1的值域?yàn)開(kāi)____

（答：[4,（2）y2x1x1的值域?yàn)開(kāi)____

178]）；

2224(a1)x3在x2時(shí)取得最大值，則a的取

122）；

xb(2x4)的圖象過(guò)點(diǎn)（2,1），則F(x)[f1(x)]f21(x)的

（答：(3,)）

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（3）ysinxcosxsinxcosx的值域?yàn)開(kāi)___

（答：[1,（4）yx49x2122]）；

的值域?yàn)開(kāi)___

（答：[1,324]）；

3．函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)y2sin11sin，y3xx13，y2sin11cos的值域

132,]（答：(,]、（0,1）、(2）；

4．單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如

求yx1x(1x9)，ysinx291sinx2，y2x5log3809x1的值域112,9]、[2,10]）；

（答：(0,)、[5．?dāng)?shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如

（1）已知點(diǎn)P(x,y)在圓xy1上，求

22yx2及y2x的取值范圍

3333（答：[,]、[5,5]）；

（2）求函數(shù)y(x2)2(x8)的值域

2（答：[10,)）；

（3）求函數(shù)y域

（答：[43,)、(26,26)）

注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

6．判別式法對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不

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x6x132x4x5及y2x6x132x4x5的值高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家

等式：①y求ybkx32x22型，可直接用不等式性質(zhì)，如的值域

（答：(0,]）

23②ybxxmxnx1x22型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如的值域

（答：(,]）；

2x2x3（1）求y1（2）求函數(shù)y的值域

1（答：[0,]）

2xmxnxmxn22③y型，通常用判別式法；如

已知函數(shù)ylog3mx8xnx122的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)m,n的值

（答：mn5）

④yxmxnmxn2型，可用判別式法或均值不等式法，如

求yxx1x12的值域

（答：(,3][1,)）

7．不等式法利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如

設(shè)x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則

(a1a2)b1b22的取值范圍是__.

（答：(,0][4,)）。

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8．導(dǎo)數(shù)法一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如

求函數(shù)f(x)2x4x40x，x[3,3]的最小值。

（答：－48）

提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

六．分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示

對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如

2(x1).(x1)（1）設(shè)函數(shù)f(x)，則使得f(x)1的自變量x的取值范圍是__

4x1.(x1)32（答：(,2][0,10]）；

(x0)1　　(x0)1　�。�2）已知f(x)，則不等式x(x2)f(x2)5的解集_____

32（答：(,]）

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概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

函數(shù)

十二．函數(shù)的對(duì)稱性。

1．滿足條件fxafbx的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x已知二次函數(shù)f(x)ax等根，則f(x)＝_____

(答：12xx)

22ab2對(duì)稱。如

bx(a0)滿足條件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有

2．點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

3．點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

4．點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

5．點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yxa的對(duì)稱點(diǎn)為((ya),xa)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yxa的對(duì)稱曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)稱曲線的方程為f(y,x)

)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；0；點(diǎn)(x,y曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)

稱曲線的方程為f(y,x)0。如

己知函數(shù)f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的圖像是C1,它關(guān)于直線yx對(duì)稱圖

像是C2,C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為C3,則C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________

（答：yx22x1）

6．曲線f(x,y)0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數(shù)yxx與yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則g(x)＝______

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（答：x7x6）

7．形如yaxb(c0,adbc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線xd(由分

cxdc2母為零確定)和直線ya(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)(d,a)。如

ccc已知函數(shù)圖象C與C:y(xa1)axa1關(guān)于直線yx對(duì)稱，且圖象C關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱，則a的值為_(kāi)_____

（答：2）

8．|f(x)|的圖象先保留f(x)原來(lái)在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到。如

（1）作出函數(shù)y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；

（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的圖象關(guān)于____對(duì)稱

（答：y軸）

提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上；②證明C2上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C1上。如

（1）已知函數(shù)f(x)心對(duì)稱圖形；

（2）設(shè)曲線C的方程是yxx,將C沿x軸,y軸正方向分別平行移動(dòng)t,s單位長(zhǎng)度后得曲線C1。①寫出曲線C1的方程

（答：y(xt)(xt)s）；②證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A十三．函數(shù)的周期性

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32x1aax(aR)。求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,1)成中

3ts對(duì)稱。22,高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家

1．類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若yf(x)圖像有兩條對(duì)稱軸xa,xb(ab)，則yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

②若yf(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(ab)，則yf(x)是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

③如果函數(shù)yf(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a,0)和一條對(duì)稱軸xb(ab)，則函數(shù)

yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T4|ab|；

如已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)0在[2,2]上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）

2．由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：

①函數(shù)f(x)滿足fxfax，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，則T2a；

③若f(xa)(a0)恒成立，則T2a.

如(1)設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，則f(47.5)等于_____

(答：0.5)

(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是減函數(shù)，若,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f(sin),f(cos)的大小關(guān)系為_(kāi)_______

_(答：f(sin)f(cos))

（3）已知f(x)是偶函數(shù)，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函數(shù)，求f(201*)的值

(答：993)

（4）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且fx21fx1fx，又

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f222，則f201*=222(答：十四．指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：

amn)

nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，

abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，

logablogcblogca，

nmlogab。如

（1）log225log34log59的值為_(kāi)_______

(答：8)

（2）()21log28的值為_(kāi)_______

(答：

164)

十五．指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：

（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；

（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。

十六．函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題——認(rèn)真讀題，確切理解題意，

明確問(wèn)題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建�！�—通過(guò)抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解�！�—求解所得的數(shù)學(xué)問(wèn)題；④回歸——將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問(wèn)題中去。（2）常見(jiàn)的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立yaxbx型。

十七．抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件

（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問(wèn)題。求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法是：

1．借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù)：

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①正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；

xf(x)f(y)②冪函數(shù)型：f(x)x--------------f(xy)f(x)f(y)，f()y2；

③指數(shù)函數(shù)型：f(x)a------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

yx⑤三角函數(shù)型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。

如已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則

f(T2)____

（答：0）

2．利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：如

（1）設(shè)函數(shù)f(x)(xN)表示x除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)

（答：A）；

（2）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x2)f(x1)f(x)，如果

f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)

（答：1）；

（3）如設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)，證明：直線x1是函數(shù)

f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；

（4）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，則f(x1)f(x2)的值的符號(hào)是____

（答：負(fù)數(shù)）

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3．利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如

（1）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：奇函數(shù)）；

（2）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：偶函數(shù)）；

（3）已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________

（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；

（4）設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時(shí)，

y1f(x)0，又f()1，①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)f(5x)2.

2（答：0,14,5）

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