高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)與應(yīng)試技巧總結(jié)：函數(shù)3

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概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

函數(shù)

十二．函數(shù)的對(duì)稱性。

1．滿足條件fxafbx的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x已知二次函數(shù)f(x)ax等根，則f(x)＝_____

(答：12xx)

22ab2對(duì)稱。如

bx(a0)滿足條件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有

2．點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

3．點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

4．點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為

yfx；

5．點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yxa的對(duì)稱點(diǎn)為((ya),xa)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yxa的對(duì)稱曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)稱曲線的方程為f(y,x)

)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；0；點(diǎn)(x,y曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)

稱曲線的方程為f(y,x)0。如

己知函數(shù)f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的圖像是C1,它關(guān)于直線yx對(duì)稱圖

像是C2,C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為C3,則C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________

（答：yx22x1）

6．曲線f(x,y)0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數(shù)yxx與yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則g(x)＝______

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-1-

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（答：x7x6）

7．形如yaxb(c0,adbc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線xd(由分

cxdc2母為零確定)和直線ya(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)(d,a)。如

ccc已知函數(shù)圖象C與C:y(xa1)axa1關(guān)于直線yx對(duì)稱，且圖象C關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱，則a的值為______

（答：2）

8．|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到。如

（1）作出函數(shù)y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；

（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的圖象關(guān)于____對(duì)稱

（答：y軸）

提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上；②證明C2上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C1上。如

（1）已知函數(shù)f(x)心對(duì)稱圖形；

（2）設(shè)曲線C的方程是yxx,將C沿x軸,y軸正方向分別平行移動(dòng)t,s單位長度后得曲線C1。①寫出曲線C1的方程

（答：y(xt)(xt)s）；②證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A十三．函數(shù)的周期性

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32x1aax(aR)。求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,1)成中

3ts對(duì)稱。22,高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家

1．類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若yf(x)圖像有兩條對(duì)稱軸xa,xb(ab)，則yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

②若yf(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(ab)，則yf(x)是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

③如果函數(shù)yf(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a,0)和一條對(duì)稱軸xb(ab)，則函數(shù)

yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T4|ab|；

如已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)0在[2,2]上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）

2．由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：

①函數(shù)f(x)滿足fxfax，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，則T2a；

③若f(xa)(a0)恒成立，則T2a.

如(1)設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，則f(47.5)等于_____

(答：0.5)

(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是減函數(shù)，若,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f(sin),f(cos)的大小關(guān)系為________

_(答：f(sin)f(cos))

（3）已知f(x)是偶函數(shù)，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函數(shù)，求f(201*)的值

(答：993)

（4）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且fx21fx1fx，又

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f222，則f201*=222(答：十四．指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：

amn)

nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，

abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，

logablogcblogca，

nmlogab。如

（1）log225log34log59的值為________

(答：8)

（2）()21log28的值為________

(答：

164)

十五．指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：

（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；

（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。

十六．函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題——認(rèn)真讀題，確切理解題意，

明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模——通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解模——求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸——將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立yaxbx型。

十七．抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件

（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

1．借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)：

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①正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；

xf(x)f(y)②冪函數(shù)型：f(x)x--------------f(xy)f(x)f(y)，f()y2；

③指數(shù)函數(shù)型：f(x)a------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

yx⑤三角函數(shù)型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。

如已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則

f(T2)____

（答：0）

2．利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：如

（1）設(shè)函數(shù)f(x)(xN)表示x除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)

（答：A）；

（2）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x2)f(x1)f(x)，如果

f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)

（答：1）；

（3）如設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)，證明：直線x1是函數(shù)

f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；

（4）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，則f(x1)f(x2)的值的符號(hào)是____

（答：負(fù)數(shù)）

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3．利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如

（1）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：奇函數(shù)）；

（2）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：偶函數(shù)）；

（3）已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________

（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；

（4）設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時(shí)，

y1f(x)0，又f()1，①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)f(5x)2.

2（答：0,14,5）

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概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

函數(shù)

十二．函數(shù)的對(duì)稱性。

1．滿足條件fxafbx的函數(shù)的圖象關(guān)于直線xab2對(duì)稱。如

已知二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)滿足條件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，則f(x)＝_____

(答：12xx)

22．點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為yfx；

3．點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為yfx；

4．點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為yfx；

5．點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yxa的對(duì)稱點(diǎn)為((ya),xa)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yxa的對(duì)稱曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)稱曲線的方程為f(y,x)

0；點(diǎn)(x,y曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì))關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)；

稱曲線的方程為f(y,x)0。如

己知函數(shù)f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的圖像是C1,它關(guān)于直線yx對(duì)稱圖

像是C2,C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為C3,則C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________

（答：yx22x1）

6．曲線f(x,y)0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數(shù)yxx與yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，則g(x)＝______

（答：x27x6）

7．形如yaxb(c0,adbc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線xd(由分

cxdc母為零確定)和直線ya(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)(d,a)。如

ccc已知函數(shù)圖象C與C:y(xa1)axa21關(guān)于直線yx對(duì)稱，且圖象C關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱，則a的值為______

（答：2）

8．|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到。如

（1）作出函數(shù)y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；

（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的圖象關(guān)于____對(duì)稱

（答：y軸）

提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上；②證明C2上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C1上。如

（1）已知函數(shù)f(x)心對(duì)稱圖形；

（2）設(shè)曲線C的方程是yxx,將C沿x軸,y軸正方向分別平行移動(dòng)t,s單位長度后得曲線C1。①寫出曲線C1的方程

（答：y(xt)(xt)s）；②證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A十三．函數(shù)的周期性

3x1aax(aR)。求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,1)成中

3ts對(duì)稱。22,1．類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若yf(x)圖像有兩條對(duì)稱軸xa,xb(ab)，則yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

②若yf(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(ab)，則yf(x)是周期函數(shù)，且一周期為T2|ab|；

③如果函數(shù)yf(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a,0)和一條對(duì)稱軸xb(ab)，則函數(shù)

yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T4|ab|；

如已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)0在[2,2]上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）

2．由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期

函數(shù)”得：

①函數(shù)f(x)滿足fxfax，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，則T2a；

③若f(xa)(a0)恒成立，則T2a.

如(1)設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，則f(47.5)等于_____

(答：0.5)

(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是減函數(shù)，若,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f(sin),f(cos)的大小關(guān)系為________

_(答：f(sin)f(cos))

（3）已知f(x)是偶函數(shù)，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函數(shù)，求f(201*)的值

(答：993)

（4）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且fx21fx1fx，又f222，則f201*=

222(答：

十四．指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：

amn)

nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，anaNlogaNb(a0,a1,N0)logambnb，alogaNN，

logablogcblogca，

nmlogab。如

（1）log225log34log59的值為________

(答：8)

（2）()21log28的值為________

(答：

164)

十五．指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：

（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；

（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。

十六．函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題——認(rèn)真讀題，確切理解題意，

明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建�！�—通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解�！�—求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸——將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立yaxbx型。

十七．抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件

（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

1．借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)：①正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；xf(x)②冪函數(shù)型：f(x)x2--------------f(xy)f(x)f(y)，f()；

yf(y)③指數(shù)函數(shù)型：f(x)ax------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)；

x④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

yf(x)f(y)1f(x)f(y)⑤三角函數(shù)型：f(x)tanx-----f(xy)。

如已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則

f(T2)____

（答：0）

2．利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：如

（1）設(shè)函數(shù)f(x)(xN)表示x除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)

（答：A）；

（2）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x2)f(x1)f(x)，如果

f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)

（答：1）；

（3）如設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)，證明：直線x1是函數(shù)

f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；

（4）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，則f(x1)f(x2)的值的符號(hào)是____

（答：負(fù)數(shù)）3．利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如

（1）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：奇函數(shù)）；

（2）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：偶函數(shù)）；

（3）已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________

（答：(2,1)(0,1)(2,3)）；

x（4）設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時(shí)，

y1f(x)0，又f()1，①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)f(5x)2.

2（答：0,14,5）

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