第十九章《四邊形》小結與復習

第十九章《四邊形》小結與復習201*.5

一、四邊形知識結構圖平行四邊形四邊形正方形矩形菱形等腰梯形梯形直角梯形性質：判定方法：1）兩組對邊分別平行。

2）兩組對邊分別相等。3）一組對邊平行且相等。4）兩條對角線互相平分。5）兩組對角分別相等。1）有三個角是直角的四邊形。2）是平行四邊形，并且有一個角是直角。3）是平行四邊形，并且兩條對角線相等。

1）對邊平行且相等。2）對角相等。3）兩條對角線互相平分。4）中心對稱。1）對邊平行且相等。2）四個角都是直角。3）兩條對角線互相平分且相等。4）軸對稱和中心對稱。1）對邊平行，四條邊都相等。2）對角相等。3）兩條對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。4）軸對稱和中心對稱。1）對邊平行，四條邊都相等。2）四個角都是直角。3）兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角。4）軸對稱和中心對稱。

1）兩底并行，兩腰相等。2）同一底上的兩個角相等。3）兩條對角線相等。4）軸對稱。

1）四條邊都相等的四邊形。

2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等。3）是平行四邊形，并且兩條對角線互相垂直。

1）是矩形，并且有一組鄰邊相等。2）是菱形，并且有一個角是直角。3）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等和有一個角是直角。

1）是梯形，并且同一底上的兩個角相等。2）是梯形，并且兩條對角線相等。二、典型例題講解

例１已知:如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF

ＡAE于F，若AE＝BC，求證:CE＝FE.

分析：從求證入手，要證CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要證AF＝BE即可，而AF、BE分別在△AFD、△EBA中，即要證明△AFD≌△EBA.

Ｂ

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝AE，B＝900，AD∥BC�！�

DAE＝AEB。

又∵DFAE于F，∴AFD＝900＝B。

∴△AFD≌△EBA.∴AF＝BE,∵AE=BC∴AE-AF=BC-BE即CE＝FE

例２已知：AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE的延長線與AC的交點。求證：AF＝1/2FC。證明1:過點D作DG∥AC交BF于點G。∴∠GDE＝∠FAE。∵E是AD的中點。∴DE＝AE。又∵∠GED＝∠FEA�！唷鱀EG≌△AEF∴DG＝AF�！逥G∥AC，BD＝DC。∴BG＝GF。∴DG是△BCF的中線。∴DG＝1/2FC�！郃F＝1/2FC。

證明2：過點D作DH∥BF交AC于點H�！逜D是△ABC的中線�！郉是BC的中點�！郈H＝HF＝1/2CF�！逧是AD的中點，EF∥DH�！郃F＝FH�！郃F＝1/2FC。

EGHＤ

ＦＥＣ

AFBDC

A三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。DE∥BC，DE＝1/2BC

BADFC

DEC

梯形中位線定理梯形的中位線定理平行于兩底，并且

E等于兩底和的一半。EF∥AD∥BC，

EF＝1/2(AD+BC)

．

B三、課堂練習：

一、判斷題：1兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.2兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.3）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形.4）兩條對角線相等的菱形是正方形.

5）兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形.

6）兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形.

二、填空題：

已知平行四邊形ABCD中，∠(1)A∶∠B＝1∶2，則∠C＝°，∠D＝°。(2)順次連結菱形四邊中點所得的四邊形是。

(3)梯形的高為6,面積為42,則梯形的中位線的長是。(4)梯形的上底長為6cm,中位線長為8cm,則下底長為。

三、選擇題：

(1)菱形ABCD的周長為20cm，∠ABC＝120°,

則對角線BD等于（）

（A）4cm（B）6cm（C）5cm（D）10cm

(2)下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

(A)等腰三角形(B)矩形(C)平行四邊形(D)等腰梯形

(3)矩形、菱形、正方形都具有的性質是（）

（A）對角線相等（B）對角線互相平分

（C）對角線平分一組對角（D）對角線互相垂直

四、小結：

1)要求掌握各種特殊四邊形的概念、性質和判定定理，知道這些圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，并

能運用有關知識進行證明和計算。

2）做題時，常常需要添加輔助線，靈活地添加輔助線可以把問題簡化，應注意在這方面進行

積累。

3）隨著知識的豐富，解決問題的方法增多了，當遇到一個問題有多種解法時，要注意選取簡

單的解法。

A、三角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長的三分之一

B、三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上中線長的三分之一.C、三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一.歸納小結：

1.相似三角形面積之比等于相似比的平方；2.等底或同底的兩個三角形面積之比等于高之比；3.等高或同高的兩個三角形面積之比等于底之比.同步練習1.線段AB的重心是（）

A.線段的中點B.線段的垂直平分線C.A點D.B點

知識點：線段的重心知識點的描述：線段的重心是線段的中點．答：A1.用手指頂住一塊均勻的木條使之水平，手指應放在（）

A.木條的中點B.木條的垂直平分線C.木條的一端D.木條上的任意點解：線段的重心是線段的中點,因此應該頂住木條的中點才能使之水平答：A2.一條直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，這條直線一定經過（）A.對角線ACB.對角線BDC.一個頂點D.對角線的交點

知識點：平行四邊形的重心知識點的描述：平行四邊形的重心是它的兩條對軸線的交點．解：對角線的交點是平行四邊形的對稱中心，所以過對角線的交點的任何直線都把平行四邊形分成面積相等的兩部分答：D

2.如圖，平行四邊形ABCD中，EF過對角線的交點O，若AD=6，AB=5，OE=2，則四邊形ABEF的周長是（）

A、16B、14C、15D、無法確定解：證明△AOF≌△COE∴AF=CE,OF=OE=2,∴四邊形ABEF的周長是

AB+BE+EF+AF=5+AD+4=6+5+4=15答：C3.三角形的重心是（）

A.三條中線的交點，B.三條中垂線的交點C.三條角平分線的交點D.三條高線的交點

知識點：三角形的重心三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心．3.O為三角形的重心，則下列等式一定成立的是（）

A.AO=BO=COB.GO=NO=MOC.AO=OMD.BO=2ON

證明：如圖所示，取BO，CO的中點K，H，連接KH，HN，NG，GK．

1BC．21又∵K，H分別是OB，OC邊的中點，∴KH//BC．

2∵G，N分別是AB，AC的中點，∴GN//∴GN//KH∴四邊形KHNG是平行四邊形，∴GO=OH，NO=KO．而BK=KO，CH=HO，∴BO=2ON，CO=2OG．答案：D

注：若取AO的中點R，同理，可證AO=2OM．故AO=2OM．如圖，已知三角形ABC中，BD,CE分別是邊AC，AB上的中線，BD,CE交于點O。求證：（1）OB=2OD

（2）OC=2OEo（3）連接AO，并延長BC交于點F，求證BF=CF。

擴展閱讀：《四邊形小結與復習》(1)說課稿

《四邊形小結與復習》(1)說課稿

鄖縣城關一中熊勇

各位老師：

我說課的內容是第十九章《四邊形》小結與復習的第1課時，我設計的說課分以下五個環(huán)節(jié)：

一、教材分析

四邊形這一章重點是探索特殊平行四邊形及等腰梯形的有關性質和判定方法，并利用它們對相關內容進行推理證明，從中發(fā)展學生的邏輯思維能力。因此，在小結與復習時，要凸現(xiàn)圖形之間的相互變化過程，提升學生對圖形變換思想方法的理解，為學好今后幾何知識打實的基礎。

二、學情分析

經過本章新課的學習，我們班大多數學生已經掌握了特殊平行四邊形和梯形的基礎知識，已具備對簡單圖形的識別判斷和說理論證。但還有近一半學生對稍復雜圖形的分析、轉換能力還較薄弱，對猜想等求異思維比較欠缺，班級學生之間存在著較大的個體差異。

因此，通過本節(jié)課的復習，力爭達到以下教學目標：

1、讓學生進一步明確平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形相互間的關系。2、合理地運用圖形的特征與性質，總結、歸納常見結論及解題規(guī)律。

根據以上教學目標和學生已有的認知基礎，我確定本節(jié)課的教學重、難點為：

3、教學重點：加深學生對圖形變換的理解，恰當運用特殊四邊形的主要特征，探究論證圖形的有關結論。

4、教學難點：幾何圖形輔助線的添加方法，常見幾何模型的歸類與總結。

三、教學方法

依據生本理念，結合復習課的特點，改變滿堂灌的做法，借助幻燈片展示問題、習題，采用“問題引領學生嘗試練習教師點撥學生合作歸納”的課堂模式，給學生足夠的思維時間和空間，培養(yǎng)學生自主學習能力。

四、教學過程：(分七個環(huán)節(jié)復習鞏固4類知識模型)（一）布置前置性作業(yè)：小結四邊形知識結構1、按照《導學練案》P91要求：（1）畫出本章知識結構圖。

（2）填表完成特殊平行四邊形的定義、性質、判定方法。2、上課時，學生相互檢查完成情況，教師強調：

（1）特殊平行四邊形的性質、判定方法應該按邊、角、對角線三個方面進行歸類總結；（2）不要漏掉“兩組對角相等的四邊形是平行四邊形”、“菱形對角線平分每組對角”這些不太常見的結論。

（3）判斷一個四邊形是梯形時，不能只判斷有一組對邊平行即可。（4）不能將梯形性質定理錯誤說成“梯形的兩底角相等”。

練習一:(幻燈片)1、在圖中圓圈內填寫出四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的適當位置。（問：左圖的的兩個小圓圈有公共部分而右圖的的兩個小圓圈沒有？）

2、在知識結構圖中每個箭頭上填寫出平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的判定方法（從邊角關系、對角線兩個不同方面去添加條件）。3、在下面6個條件中，選擇其中兩個,能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的有幾種?

AB（1）AB=CD(2)BC=AD(3)AB∥CD

(4)BC∥AD(5)∠A=∠C(6)∠B=∠DDC4、矩形、菱形、正方形都具有的性質是，正方形具有而菱形不具有的性質是。

（二）思考：菱形、梯形面積各有哪些計算方法？

S菱形=S平行四邊形=底×高，S菱形=兩對角線乘積的一半。S梯形=1（上底+下底）×高,S梯形=中位線×高

2練習二:(幻燈片)

1、若正方形對角線長是3，面積是；

2、若菱形的對角線長是6和8，相對兩邊的距離是；3、梯形的高為6,面積為42,則梯形的中位線的長是。推廣：1、對角線垂直的四邊形的面積=兩對角線乘積的一半

2、三角形的面積=中位線與對應高的乘積。

11注意：對面積不同計算公式的理解，弄清啥時候有，啥時候沒有？

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（三）中點四邊形（課本P117的活動3）

依次連接任意四邊形各邊中點所成的四邊形通常叫“中點四邊形”，HD問：中點四邊形的形狀與原四邊形的什么有密切關系？有怎樣的關系？AG練習三E如圖，四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別是四邊的中點，則

CBF（１）四邊形ＥＦＧＨ是；

（２）當四邊形ＡＢＣＤ滿足條件時，四邊形ＥＦＧＨ是矩形；滿足條件時，四邊形ＥＦＧＨ是菱形；滿足條件時，四邊形ＥＦＧＨ是正方形。

規(guī)律：

中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線有密切關系；

若原四邊形的兩條對角線沒有特殊關系，則中點四邊形是平行四邊形；若原四邊形的兩條對角線相等，則中點四邊形是菱形；若原四邊形的兩條對角線垂直，則中點四邊形是矩形；若原四邊形的兩條對角線垂直且相等，則中點四邊形是正方形。

（四）動點問題的有關計算：

1、求不變的值，通常選動點在特殊位置進行計算。2、求變化值中的最小值，常用軸對稱思想確定最佳位置

練習四1、正方形ABCD邊長為1，E是AD上任一點，練習四EF∥AC,EG∥BD,則EF+EG=

DEADEAGBAB(G)FCGBD(E、F）CFCAD

2、正方形ABCD的邊長為2，點E在AB上,EFGH是正方形,求三角形AFC的面積FGBECD2F(E)ADA22GBCB(E、F、G）C（特殊位置1：E與A點重合時）（特殊位置2：E點與B點重合時）

(點E在AD中點處)(點E與D點重合)

3．菱形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝２，∠ＤＡＢ＝６０°，Ｅ是ＡＢ中點，Ｐ是ＡＣ上任一點，則ＰＥ＋ＰＢ的最小值是＿＿＿；

ＡＥ

ＤＰ

（五）鼓勵學生小結

本節(jié)課，我有哪些收獲？，印象最深的是什么？還有哪些困惑？

（六）布置作業(yè)

《導學練案》P92-93的10道選擇題和填空題。

（七）板書設計四邊形小結與復習（1）主要結論或規(guī)律一、四邊形知識結構圖二、菱形、梯形面積三、中點四邊形四、動點問題

五．預期效果

本課是以“生本教育”為基本理念，采用我縣正在大力推廣的“三維互動，五步導學”教學法，通過師生多維互動，給學生充分探索的時間和空間，動腦思考，動手嘗試，使學生進一步明確平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形相互間的關系，并合理地運用圖形的特征與性質，總結、歸納常見結論及解題規(guī)律。教師要給予正確評價和鼓勵，使不同程度的學生都能體驗到數學學習的樂趣。

-3-

典型例題學生練習

DEADEAGBFCGFCBD(E、F）CAB(G)E點在ADE點與D點重

-4-

E點與D點重合

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