高中數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)(二)函數(shù)1

二、函數(shù)

1.映射f:AB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設(shè)f:MN是集合M到N的映射，下列說(shuō)法正確的是A、M中每一個(gè)元素在N中必有象B、N中每一個(gè)元素在M中必有原象C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點(diǎn)(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，則在f作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)________（答：（2，－1））；（3）若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，

B到A的映射有個(gè)，A到B的函數(shù)有個(gè)則A到B的映射有個(gè)，（答：a,b,cR，

81,64,81）；（4）設(shè)集合M{1,0,1},N{1,2,3,4,5}，映射f:MN滿(mǎn)足條件“對(duì)任意的xM，xf(x)是奇數(shù)”，這樣的映射f有____個(gè)（答：12）；（5）設(shè)f:xx2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則AB一定是_____（答：或{1}）.

2.函數(shù)f:AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與x軸的垂線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線(xiàn)的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可能有任意個(gè)。如（1）已知函數(shù)f(x)，xF，那么集合{(x,y)|yf(x),xF}{(x,y)|x1}中所

12含元素的個(gè)數(shù)有個(gè)（答：0或1）；（2）若函數(shù)yx2x4的定義域、值域都

2是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝（答：2）

3.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為yx2，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)（答：9）

4.求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)logax中

x0,a0且a1，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函數(shù)

yx4xlgx32的定義域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函數(shù)ykx7kx24kx33（3）函數(shù)f(x)的定義域是[a,b]，ba0，)；

4則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的定義域是__________(答：[a,a])；（4）設(shè)函數(shù)f(x)lg(ax22x1)，①若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（答：①a1；②0a1）

的定義域?yàn)镽，則k_______(答：0,（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。

（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于當(dāng)x[a,b]時(shí)，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）。如（1）若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?2，則f(log2x)的定義域?yàn)開(kāi)_________（答：x|21；（2）若函數(shù)2x4）

．f(x21)的定義域?yàn)閇2,1)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______（答：[1,5]）

5.求函數(shù)值域（最值）的方法：

（1）配方法——二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類(lèi)：一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）

求函數(shù)yx22x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）當(dāng)x(0,2]時(shí)，函數(shù)

1；f(x)ax24(a1)x3在x2時(shí)取得最大值，則a的取值范圍是___（答：a）2（3）已知f(x)3xb(2x4)的圖象過(guò)點(diǎn)（2,1），則F(x)[f1(x)]2f1(x2)的值域

為_(kāi)_____（答：[2,5]）

（2）換元法——通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）y2sin2x3cosx1的值域?yàn)開(kāi)____（答：[4,17]）；（2）y2x1x18的值域?yàn)開(kāi)____（答：(3,)）（令x1t，

t0。運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元t的范圍）；（3）yn的isxocsnisxocsxx1[1,2]）值域?yàn)開(kāi)___（答：；（4）yx49x2的值域?yàn)開(kāi)___（答：；[1,324]）

2（3）函數(shù)有界性法——直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)y2sin1，

1sin2sin1133xy(,](,]y，的值域（答：、（0,1）、）；x1cos2213（4）單調(diào)性法——利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，

19x5(1x9)，ysin2x，y2log3x1的值域?yàn)開(kāi)_____2x1sinx8011（答：(0,)、[,9]、[2,10]）；

92如求yx（5）數(shù)形結(jié)合法——函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線(xiàn)斜率、等等，如（1）已知點(diǎn)P(x,y)在圓xy1上，求

22y及y2x的取值范圍（答：x2[3322；（2）求函數(shù)y(x2)(x8)的值域（答：[10,)）；,]、[5,5]）

33（3）求函數(shù)yx26x13x24x5及yx26x13x24x5的值域

（答：[43,)、(26,26)）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

（6）判別式法——對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類(lèi)題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式：

b33y(0,]）型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：22kx2x2bxx②y2型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如（1）求y的值域（答：

xmxn1x211x2(,]）；（2）求函數(shù)y的值域（答：[0,]）

22x3x2mxnmx28xn③y2型，通常用判別式法；如已知函數(shù)ylog3的定義域2xmxnx1為R，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)m,n的值（答：mn5）

①yx2mxnx2x1④y型，可用判別式法或均值不等式法，如求y的值域（答：

mxnx1

(,3][1,)）

（7）不等式法——利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添

(a1a2)2項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則的

b1b2取值范圍是____________.（答：(,0][4,)）。

（8）導(dǎo)數(shù)法——一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)f(x)2x34x240x，

（答：－48）x[3,3]的最小值。

提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫(xiě)成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類(lèi)較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定首先要判斷

x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同

2(x1).(x1)子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1）設(shè)函數(shù)f(x)，則使得

4x1.(x1)f(x)1的自變量x的取值范圍是__________（答：(,2][0,10]）；（2）已知

(x0)1　　3，則不等式x(x2)f(x2)5的解集是________（答：(,]）f(x)21　　(x0)7.求函數(shù)解析式的常用方法：

（1）待定系數(shù)法——已知所求函數(shù)的類(lèi)型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：

f(x)ax2bxc；頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n；零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知f(x)為二次函數(shù)，

且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為22,求f(x)的解析式。（答：f(x)12x2x1）22（2）代換（配湊）法——已知形如f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式。如（1）已知f(1cosx)sinx,求fx若f(x的解析式（答：f(x)x224；（2）2x2,x[2,2]）

11)x22，則函數(shù)f(x1)=_____（答：x22x3）；（3）若函數(shù)f(x)是xx定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,)時(shí)，f(x)x(13x)，那么當(dāng)x(,0)時(shí)，

f(x)=________（答：x(13x)）.這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即f(x)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

（3）方程的思想——已知條件是含有f(x)及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于f(x)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知

2f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：f(x)3x）；（2）已知f(x)是奇

3x1函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=,則f(x)=__（答：2）。

x1x1

8.反函數(shù)：

（1）存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè)y值，都有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有f(x)0(x{0})有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)yx2ax3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條

3

件是A、a,1B、a2,C、a[1,2]D、a,12,（答：D）

（2）求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換x、y；③注明反函數(shù)的定義域（原來(lái)函數(shù)的值域）。注意函數(shù)yf(x1)的反函數(shù)不是yf1(x1)，而是yf1(x)1。如設(shè)f(x)(x12)(x0).求f(x)的反函數(shù)fx1(x)（答：f1(x)1．(x1)）

x1（3）反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(ax3)=x，其中a≠0，若f(x)的反函數(shù)f1(x)的定義域?yàn)?/p>

14,，則f(x)的定義域是____________（答：[4,7]）.aa②函數(shù)yf(x)的圖象與其反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，注意函數(shù)yf(x)的圖象與xf1(y)的圖象相同。如（1）已知函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),那

2x3么f4x的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)_____（答：（1,3））；（2）已知函數(shù)f(x)，

x171若函數(shù)yg(x)與yf(x1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，求g(3)的值（答：）；

2③f(a)bf1(b)a。如（1）已知函數(shù)f(x)log3(2)，則方程f1(x)414x的解x______（答：1）；（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)ff(4)＝0，則f1(x)，

(4)＝（答：－2）

④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知fx是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A1,1,B1,3在它的圖象上，f1x是它的反函數(shù)，那么不等式f1log2x1的解集為_(kāi)_______（答：（2,8））；

⑤設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x

(xA)，但f[f1(x)]f1[f(x)]。

9.函數(shù)的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如若函數(shù)f(x)2sin(3x)，

x[25,3]為奇函數(shù)，其中(0,2)，則的值是（答：0）；

（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：

①定義法：如判斷函數(shù)y|x4|49x2的奇偶性____（答：奇函數(shù)）。

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：f(x)f(x)0或判斷f(x)x(f(x)1（f(x)0）。如f(x)11)的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）2x12③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|).如若定義在R上的偶函數(shù)f(x)在

1(,0)上是減函數(shù)，且f()=2，則不等式f(log1x)2的解集為_(kāi)_____.（答：

38(0,0.5)(2,）)

④若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0，則必有f(0)0.故f(0)0是f(x)為奇函數(shù)的既

a2xa2不充分也不必要條件。如若f(x)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝____（答：1）.

2x1⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)

f(x)f(x)的和（或差）”。如設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)，F(xiàn)(x)，

2f(x)f(x)。①判斷F(x)與G(x)的奇偶性；②若將函數(shù)f(x)lg(10x1)，

2表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，則g(x)＝____（答：①F(x)為偶函數(shù)，

1G(x)為奇函數(shù)；②g(x)＝x）

2G(x)⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（f(x)0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集）.

擴(kuò)展閱讀：概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)4：三角函數(shù) (2)

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

——概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

四、三角函數(shù)

1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱(chēng)它形成一個(gè)零角。射線(xiàn)的起始位置稱(chēng)為始邊，終止位置稱(chēng)為終邊。

2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。

3.終邊相同的角的表示：

（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線(xiàn)上)2k(kZ)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角1825的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的5度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；）36（2）終邊與終邊共線(xiàn)(的終邊在終邊所在直線(xiàn)上)k(kZ).（3）終邊與終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)2k(kZ).（4）終邊與終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)2k(kZ).（5）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2k(kZ).（6）終邊在x軸上的角可表示為：k,kZ；終邊在y軸上的角可表示為：

kk,kZ；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：,kZ.如的終邊與的終邊關(guān)于226直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)，則＝____________。（答：2k,kZ）34、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則是

22第_____象限角（答：一、三）5.弧長(zhǎng)公式：l||R，扇形面積公式：S1lR1||R2，1弧度(1rad)57.3.如已知扇22形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2cm2）6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P(x,y)是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原yxy,cos，tan,x0，點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是rx2y20，那么sinrrxrxrcot(y0)，secx0，cscy0。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊xyy上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。如（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，則sincos的值為＿＿。（答：72m33）；（2）設(shè)是第三、四象限角，sin，則m的取值范圍是_______（答：（－1，)）；

4m213|sin|cos)0，（3）若試判斷cot(sin)tan(cos的符號(hào)（答：負(fù)）

sin|cos|yT7.三角函數(shù)線(xiàn)的特征是：正弦線(xiàn)MP“站在x軸上(起B(yǎng)點(diǎn)在x軸上)”、余S弦線(xiàn)OM“躺在x軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線(xiàn)AT“站在點(diǎn)A(1,0)處(起點(diǎn)P是A)”.三角函數(shù)線(xiàn)的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等αOMAx的大小式。如（1）若0，則sin,cos,tan關(guān)系為

8,sin,tan的_____(答：tansincos)；（2）若為銳角，則大小關(guān)系為_(kāi)______（答：sintan）；（3）函數(shù)y12cosxlg(2sinx3)的定義域

2](kZ)）是_______（答：(2k,2k33中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

8.特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°sin0°01090°100180°0－10270°－10015°62462475°6246241222223212costancot3233113332-32+32+32-339.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2（2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,sincos,cot（3）商數(shù)關(guān)系：tancossin同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。如（1）函數(shù)sintany的值的符號(hào)為_(kāi)___（答：大于0）；（2）若02x2，則使1sin22xcos2x成coscot立的x的取值范圍是____（答：[0,]43m342m5[,]）()，則tan＝____（答：）；（3）已知sin，cos；（4）m5m52412tansin3cos5131，則已知＝____；sin2sincos2＝_________（答：；）；tan1sincos35tn160（5）已知sin200a，則a1a2等于A(yíng)、B、C、D、22a1a1aaa1a2（答：B）；（6）已知f(cosx)cos3x，則f(sin30)的值為_(kāi)_____（答：－1）。ak10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），2符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫(xiě)成2k+,02；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。如（1）97423costan()sin21的值為_(kāi)_______（答：）；（2）已知sin(540)，則54623[sin(180)cos(360)]2（答：cos(270)______，若為第二象限角，則________。tan(180)43；）5100

11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令sinsincoscossinsin22sincos

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

令coscoscossinsincos2cos2sin2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos2112sin2tantan1+cos2如（1）下　　　　　　　cos2＝1tantan21cos2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin2＝22tan　　　tan21tan2tan22.5122sin列各式中，值為的是A、sin15cos15B、cosC、D、2212121tan22.5　tan1cos30（答：C）；（2）命題P：tan(AB)0，命題Q：tanAtanB0，則P是Q的A、2充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件（答：37)sin，那么cos2的值為_(kāi)___（答：）C）；（3）已知sin()coscos(；（4）

52513的值是______（答：4）；(5)已知tan1100a，求tan500的值（用a表示）甲求得sin10sin801a2a3的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是______（答：

2a13a甲、乙都對(duì)）12.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀(guān)察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀(guān)察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)�；�本的技巧有:（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與2()()，2()()，其和差角的變換.如()()，21等），，如（1）已知tan()，tan()，那2222254431么tan()的值是_____（答：）；（2）已知0，且cos()，4222292490sin()，求cos()的值（答：）；（3）已知,為銳角，sinx,cosy，

237293343cos()，則y與x的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____（答：y1x2x(x1)）5555(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；（2）已知sincos211,tan()，求tan(2)的值（答：）1cos238(3)公式變形使用（tantantan1tantan。如（1）已知A、B為銳角，且滿(mǎn)足tanAtanBtanAtanB1，則cos(AB)＝_____（答：2）；(2)設(shè)ABC中，2tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA3，則此三角形是____三角形（答：等邊）41cos21cos2(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：cos2，sin2與升冪公式：

22311111cos22cos2，1cos22sin2)。如(1)若(,)，化簡(jiǎn)cos2為_(kāi)____

22222中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

（答：sin）；（2）函數(shù)f(x)5sinxcosx53cos2x2553(xR)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)__________（答：[k,k](kZ)）21212(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。如（1）tan(cossin)

sintan1sin2；（答：sin）；（2）求證：（3）化簡(jiǎn)：cotcsc12sin21tan2tan(x)sin2(x)22441（答：cos2x）2(6)常值變換主要指“1”的變換（1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotx3，如已知tan2，求sin2sincos3cos2（答：）.tansin等）425sinxcosx”的內(nèi)存聯(lián)系——“知一求二”(7)正余弦“三兄妹sinxcosx、，如（1）若t21sinxcosxt，則sinxcosx__（答：)，特別提醒：這里t[2,2]；（2）若22sin22sin47k()，求tan的值。（答：）；（3）已知(0,),sincos1，2421tan3試用k表示sincos的值（答：1k）。1tan2cos4x2cos2x1213、輔助角公式中輔助角的確定：asinxbcosxa2b2sinx(其中角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由tanb確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。如（1）若方程a；（2）當(dāng)函數(shù)sinx3cosxc有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）3y2cosx3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是______(答：)；（3）如果

2tan=(答：－2)；（4）求值：fxx2coxs是奇函數(shù)，則()sin3164sin220________(答：32)22sin20cos201*、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)ysinx和余弦函數(shù)ycosx圖象的作圖方法：3五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，,,,2的五點(diǎn)，再用光滑的曲線(xiàn)把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到22正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。15、正弦函數(shù)ysinx(xR)、余弦函數(shù)ycosx(xR)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是1,1，對(duì)ysinx，當(dāng)x2kx2k322kZ時(shí)，y取最大值1；當(dāng)

kZ時(shí)，y取最小值－1；對(duì)ycosx，當(dāng)x2kkZ時(shí)，y取最大值1，當(dāng)

3x2kkZ時(shí)，y取最小值－1。如（1）若函數(shù)yabsin(3x)的最大值為，最小值

2611為，則a__，b＿（答：a,b1或b1）；（2）函數(shù)f(x)sinx3cosx（x[,]）

2222的值域是____（答：[－1,2]）；（3）若2，則ycos6sin的最大值和最小值分別是

____、_____（答：7；－5）；（4）函數(shù)f(x)2cosxsin(x)3sin2xsinxcosx的最小值是

3中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

_____，此時(shí)x＝__________（答：2；k12(kZ)）；（5）己知sincos1，求tsincos21的變化范圍（答：[0,]）；（6）若sin22sin22cos，求ysin2sin2的最大、最小值

2（答：ymax1，ymin222）。特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？

（3）周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和

x2。如(1)若f(x)sin，則f(x)Acos(x)的最小正周期都是T3||；(2)函數(shù)f(x)cos4x2sinxcosxf(1)f(2f)(3)f＝___（答：0）sin4x的最小正周期為_(kāi)___（答：）；(3)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，若對(duì)任意xR都有

25f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x1x2|的最小值為_(kāi)___（答：2）（4）奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：正弦函數(shù)ysinx(xR)是奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是k,0kZ，對(duì)稱(chēng),0kZ，

22對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xkkZ（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)，軸是直線(xiàn)xkkZ；余弦函數(shù)ycosx(xR)是偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是k5對(duì)稱(chēng)中心為圖象與x軸的交點(diǎn)）。如（1）函數(shù)ysin；2x的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）2)______（答：－5）（2）已知函數(shù)f(x)axbsin3x1(a,b為常數(shù)），且f(5)7，則f(5；（3）

函數(shù)y2cosx(sinxcosx)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸分別是__________、____________（答：kk(,1)(kZ)、x(kZ)）；（4）已知f(x)sin(x)3cos(x)為偶函數(shù)，求2828的值。（答：k(kZ)）63（5）單調(diào)性：ysinx在2k,2kkZ上單調(diào)遞增，在2k,2kkZ2222單調(diào)遞減；ycosx在2k,2kkZ上單調(diào)遞減，在2k,2k2kZ上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了kZ！16、形如yAsin(x)的函數(shù)：1（1）幾個(gè)物理量：A—振幅；f—頻率（周期的T相位；—初相；（2）函數(shù)yAsin(x)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，如||)的圖象如圖所示，f(x)Asinx(A)，(215（答：f(x)2sin(x)）；

23倒數(shù)）；x—

23Y29X-223題圖定；由周期確則f(x)＝_____

3（3）函數(shù)yAsin(x)圖象的畫(huà)法：①“五點(diǎn)法”——設(shè)Xx，令X＝0，,,,222求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。

（4）函數(shù)yAsin(x)k的圖象與ysinx圖象間的關(guān)系：①函數(shù)ysinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（>0）或向右（中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家

數(shù)ysinx圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到函數(shù)yAsin(x)的圖象；④函數(shù)yAsin(圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（k0）或向下（k0），得到x)ysinx圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1，得到函數(shù)ysinx的圖象；③函

yAsinxk的圖象。要特別注意，若由ysinx得到y(tǒng)sinx的圖象，則向左

或向右平移應(yīng)平移||個(gè)單位，如（1）函數(shù)y2sin(2x)1的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到

4ysinx的圖象？（答：y2sin(2x)1向上平移1個(gè)單位得y2sin(2x)的圖象，再向左

44平移個(gè)單位得y2sin2x的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得y2sinx的圖象，最后將縱坐標(biāo)81x縮小到原來(lái)的即得ysinx的圖象）；(2)要得到函數(shù)ycos()的圖象，只需把函數(shù)224x7ysin的圖象向___平移____個(gè)單位（答：左；）；（3）將函數(shù)y2sin(2x)1圖像，按向223量a平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量a(,1)）；（4）若函數(shù)

6fxcosxsinx,20x的圖象與直線(xiàn)yk有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（答：[1,2)）（5）研究函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的方法：類(lèi)比于研究ysinx的性質(zhì)，只需將

x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別yAsin(x中的)注意A和的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正。如（1）函數(shù)ysin(2x)的遞減區(qū)間是______35x](kZ）)（答：[k,k；（2）ylog1cos()的遞減區(qū)間是_______（答：

121234233[6k,6k](kZ)）；（3）設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A0,0,)的圖象關(guān)于直4422152線(xiàn)x2對(duì)稱(chēng)，它的周期是，則A、f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,)B、f(x)在區(qū)間[,]上是減函21233數(shù)C、f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(5,0)D、f(x)的最大值是A（答：C）；（4）對(duì)于函數(shù)12fx2sin2x給出下列結(jié)論：①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；②圖象關(guān)于直線(xiàn)x成軸對(duì)123稱(chēng)；③圖象可由函數(shù)y2sin2x的圖像向左平移個(gè)單位得到；④圖像向左平移個(gè)單位，即得123到函數(shù)y2cos2x的圖像。其中正確結(jié)論是_______（答：②④）；（5）已知函數(shù)f(x)2sin(x)圖象與直線(xiàn)y1的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_______（答：）

317、正切函數(shù)ytanx的圖象和性質(zhì)：

（1）定義域：{x|xk,kZ}。遇到有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域

2了嗎？

（2）值域是R，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；

（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線(xiàn)ya的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，

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其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。如ysin2x,ysinx的周期都是,但ysinx

1，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不變；

6262k（4）奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：是奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是,0kZ，特別提醒：正(余)切型函數(shù)

2的對(duì)稱(chēng)中心有兩類(lèi)：一類(lèi)是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類(lèi)是漸近線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，但無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。

（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間k,kkZ內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定22義域上不具有單調(diào)性。如下圖：cosx的周期為

三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)An(isyy=Asin(ωxx+)φ)yOx4x3x=x2x=x鄰中心軸相距T14|x-x|=T/2鄰中心鄰軸|x1-x2|=T/234無(wú)窮對(duì)稱(chēng)軸:無(wú)窮對(duì)稱(chēng)中心:由y=0確定由y=A或-A確定18.三角形中的有關(guān)公式：三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)y=tan(x+)φyAAn(atωx)yxOxx3x4x=x1x=x2鄰中心|x3-x4|=T/2無(wú)窮對(duì)稱(chēng)中心:由y=0或y無(wú)意義確定鄰漸近線(xiàn)|x1-x2|=T無(wú)對(duì)稱(chēng)軸任意一條y軸的垂線(xiàn)與正切函數(shù)圖象都相交,且相鄰兩交點(diǎn)的距離為一個(gè)周期！(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：abc2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一sinAsinBsinCab,sinB,sinC些變式：iabcsinAsinBsinC；iisinA2R2Rc；iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)2R用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.222(3)余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAbca等，常選用余弦定理鑒定三角形的形2bc狀.(4)面積公式：S1aha1absinC1r(abc)（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑）.如ABC22222222中，若sinAcosBcosAsinBsinC，判斷ABC的形狀（答：直角三角形）。特別提醒：（1）求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意ABC這個(gè)特殊性：

ABCABC,sin(AB)sinC,sincos；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，

22b，且常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。如（1）ABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、那么滿(mǎn)足條件的ABCA、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無(wú)解D、A=60,a6,b4，

不能確定（答：C）；（2）在A(yíng)BC中，A＞B是sinAsinB成立的_____條件（答：充要）；（3）

1在A(yíng)BC中，(1tanA)(1tanB)2，則log2sinC＝_____（答：）；(4)在A(yíng)BC中，a,b,c260）分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，則C＝____（答：；

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a2b2c230）（5）在A(yíng)BC中，若其面積S，則C=____（答：；（6）在A(yíng)BC中，A60,b1，

43239這個(gè)三角形的面積為3，則ABC外接圓的直徑是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、

31BCb、c是角A、B、C的對(duì)邊，a3,cosA,則cos2=，b2c2的最大值為（答：

3219;）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（答：0C）；（9）設(shè)O是

632銳角三角形ABC的外心，若C75，且AOB,BOC,COA的面積滿(mǎn)足關(guān)系式．SAOBSBOC3SCOA，求A（答：45）19.反三角函數(shù)：（1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）：arcsina表示一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為a,且這個(gè)角在,內(nèi)(1a1)。(2)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切22arctanx的取值范圍分別是[,],[0,],(,).2222在用反三角表示兩異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角的平面角、直線(xiàn)的傾斜角、l1到l2的角、l1與l2的夾角以及兩向量的夾角時(shí)，你是否注意到了它們的范圍？(0,],[0,],[0,]，0,，[0,),[0,),[0,]．22220、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。如（1）

3若,(0,)，且tan、tan是方程x25x60的兩根，則求的值______（答：）；

4B6,4sinB3cosA，則C＝_______（答：）（2）ABC中，3sinA4cos；（3）若3202且sinsinsin0，coscoscos0，求的值（答：）.

3

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