三角形、四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相交線、平行線

一、相交線

1.線段的垂直平分線：

（1）定義：垂直且平分一條線段的直線，叫做線段的垂直平分線。（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。角的平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。二、平行線

1.定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，叫平行線。

2.性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（4）平行線間的距離相等（5）平行線截相交兩條直線，對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.判定：（1）同位角相等，兩直線平行（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行（4）平行于同一直線的兩直線平行。（5）垂直于同一直線的兩直線平行。第二節(jié)三角形一、三角形的分類

二、三角形的邊角關(guān)系1.邊與邊的關(guān)系

（1）△兩邊之和大于第三邊（2）△兩邊之差小于第三邊2.角與角關(guān)系

（1）△三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

（2）△的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（3）△的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角五、特殊三角形1.等腰△

（1）性質(zhì)：1）兩腰相等2）兩個(gè)底角相等3）底邊上“三線合一”4）軸對(duì)稱圖形（1條對(duì)稱軸）（2）判定：1）兩邊相等的三角形是等腰△2）兩個(gè)角相等的三角形是等腰△2.等邊△

性質(zhì)：1）三邊相等2）三個(gè)角相等，都等于60°3）三邊上都有“三線合一”4）軸對(duì)稱圖形（3條對(duì)稱軸）

3.Rt△

（1）性質(zhì)：1）兩個(gè)銳角互余2）勾股定理3）斜邊上中線等于斜邊的一半4）30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

（2）判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形2）勾股定理逆定理

第三節(jié)全等三角形

1.對(duì)應(yīng)邊相等2.對(duì)應(yīng)角相等

3.對(duì)應(yīng)線段（高線、中線、角平分線）相等4.全等三角形面積相等

三、判定：（SAS）（AAS）（ASA）（SSS）（HL）

第四節(jié)四邊形

一、特殊四邊形

二、平行四邊形

（1）性質(zhì)：1）邊：對(duì)邊平行且相等2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)3）對(duì)角線：互相平分4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱圖形

（2）判定：1）邊：兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別相等一組對(duì)邊平行且相等2）對(duì)角線：對(duì)角線互相平分3）角：兩組對(duì)角分別相等。三、矩形

1.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）4個(gè)角都是直角（3）對(duì)角線相等（4）既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

2.判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形四、菱形

1.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）四條邊都相等（3）對(duì)角線互相垂直，且平分內(nèi)對(duì)角2.判定：（1）鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）四邊都相等的四邊形是菱形（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。五、正方形：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。六、梯形

1.等腰梯形的性質(zhì)：（1）兩腰相等（2）兩底角相等（3）兩條對(duì)角線相等（4）軸對(duì)稱圖形2.直角梯形的性質(zhì)：一腰與底垂直3.梯形中常用輔助線

七、多邊形

1.n邊形內(nèi)角和（n-2）180°2.n邊形外角和為360°3.n邊形對(duì)角線條數(shù)

例1已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，射線OE⊥AB于O，射線OF⊥CD于O，且∠BOF=25°，求：∠AOC與∠EOD

的度數(shù)。（畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形計(jì)算）

1.如圖：在□ABCD中，M和N分別為AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。求證：四邊形ENFM是平行四邊形

2.如圖：在正方形ABCD中，AB=3，過(guò)邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)N作NE//AD,交CD于E，以過(guò)A的一條直線為折痕，將點(diǎn)B折至NE上，這個(gè)落點(diǎn)為P，折痕與BC交于F,求：BF的長(zhǎng)。

5.）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，EF分別是BC、AD上的點(diǎn)，∠1=∠2.求證：△ABE≌△CDF.

【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=DC，又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）.

２．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC

(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的長(zhǎng).（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD

∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCCD=AB=4

又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴

AD2AE2(33)2326

ADAF33AFAF=23

∴64DECD

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相交線、平行線一、相交線

1.線段的垂直平分線：

（1）定義：垂直且平分一條線段的直線，叫做線段的垂直平分線。（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。角的平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。二、平行線

1.定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，叫平行線。

2.性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（4）平行線間的距離相等（5）平行線截相交兩條直線，對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.判定：（1）同位角相等，兩直線平行（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行（4）平行于同一直線的兩直線平行。（5）垂直于同一直線的兩直線平行。第二節(jié)三角形一、三角形的分類

二、三角形的邊角關(guān)系1.邊與邊的關(guān)系

（1）△兩邊之和大于第三邊（2）△兩邊之差小于第三邊2.角與角關(guān)系

（1）△三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

（2）△的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（3）△的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角五、特殊三角形1.等腰△

（1）性質(zhì)：1）兩腰相等2）兩個(gè)底角相等3）底邊上“三線合一”4）軸對(duì)稱圖形（1條對(duì)稱軸）（2）判定：1）兩邊相等的三角形是等腰△2）兩個(gè)角相等的三角形是等腰△2.等邊△

性質(zhì)：1）三邊相等2）三個(gè)角相等，都等于60°3）三邊上都有“三線合一”4）軸對(duì)稱圖形（3條對(duì)稱軸）

3.Rt△

（1）性質(zhì)：1）兩個(gè)銳角互余2）勾股定理3）斜邊上中線等于斜邊的一半4）30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

（2）判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形2）勾股定理逆定理

第三節(jié)全等三角形

1.對(duì)應(yīng)邊相等2.對(duì)應(yīng)角相等

3.對(duì)應(yīng)線段（高線、中線、角平分線）相等4.全等三角形面積相等

三、判定：（SAS）（AAS）（ASA）（SSS）（HL）

第四節(jié)四邊形

一、特殊四邊形

二、平行四邊形

（1）性質(zhì)：1）邊：對(duì)邊平行且相等2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)3）對(duì)角線：互相平分4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱圖形

（2）判定：1）邊：兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別相等一組對(duì)邊平行且相等2）對(duì)角線：對(duì)角線互相平分3）角：兩組對(duì)角分別相等。三、矩形

1.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）4個(gè)角都是直角（3）對(duì)角線相等（4）既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

2.判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形四、菱形

1.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）四條邊都相等（3）對(duì)角線互相垂直，且平分內(nèi)對(duì)角2.判定：（1）鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）四邊都相等的四邊形是菱形（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。五、正方形：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。六、梯形

1.等腰梯形的性質(zhì)：（1）兩腰相等（2）兩底角相等（3）兩條對(duì)角線相等（4）軸對(duì)稱圖形2.直角梯形的性質(zhì)：一腰與底垂直3.梯形中常用輔助線

七、多邊形

1.n邊形內(nèi)角和（n-2）180°2.n邊形外角和為360°

3.n邊形對(duì)角線條數(shù)

例題分析例1已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，射線OE⊥AB于O，射線OF⊥CD于O，且∠BOF=25°，求：

∠AOC與∠EOD的度數(shù)。（畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形計(jì)算）

1.如圖：在□ABCD中，M和N分別為AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。求證：四邊形ENFM是平行四邊形

2.如圖：在正方形ABCD中，AB=3，過(guò)邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)N作NE//AD,交CD于E，以過(guò)A的一條直線為折痕，將點(diǎn)B折至NE上，這個(gè)落點(diǎn)為P，折痕與BC交于F,求：BF的長(zhǎng)。

5.）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，EF分別是BC、AD上的點(diǎn)，∠1=∠2.求證：△ABE≌△CDF.

【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=DC，又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）.

２．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC

(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的長(zhǎng).（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD

∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCCD=AB=4

又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴

ADDEAFCD

AD2AE2(33)3226

∴

336AF4AF=23

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