華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次根式

1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．2.二次根式的性質(zhì)：

___(a0)（1）(a)2（a≥0）；（2）a0(a≥0)；（3）a2_______(a0)

___(a0)3.二次根式的乘除：

乘法運(yùn)算：ab___(a0,b0)計(jì)算公式：a除法運(yùn)算：___(a0,b0)b4.概念：1.最簡(jiǎn)二次根式：(1)(2)(3)2.同類(lèi)二次根式：

5.二次根式的加減：(一化，二找，三合并)

（1）將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；（2）找出其中的同類(lèi)二次根式；（3）合并同類(lèi)二次根式．

6.二次根式化簡(jiǎn)求值步驟：(1)“一分”：分解因數(shù)（因式）、平方數(shù)（式）；(2)“二移”：

根據(jù)算術(shù)平方根的概念，把根號(hào)內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號(hào)外面；(3)“三化”：化去被開(kāi)方數(shù)中的分母．7.二次根式的混合運(yùn)算：

（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．

（2）對(duì)于二次根式混合運(yùn)算，原來(lái)學(xué)過(guò)的所有運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用．（3）在二次根式混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．

一元二次方程

1.一元二次方程：

1)一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．2)一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)．

它的特征：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零．

ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)

項(xiàng)．

2.一元二次方程的解法：

1)直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法．

直接開(kāi)平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程．根據(jù)平方根的定義可知，

xa是b的平方根，當(dāng)b0時(shí)，xab，xab，當(dāng)b做未知數(shù)x，并用x代替，則有x22bxb2(xb)2．

配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式．3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

bb24ac2(b4ac0)一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：x2a24)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式．

3.一元二次方程根的判別式：

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即b24ac．1)當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2)當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；3)當(dāng)△abcd(交換內(nèi)項(xiàng))dc(交換外項(xiàng))baacbddb(同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng))cabd(同時(shí)交換比的前項(xiàng)和后項(xiàng))acaca±bc±dbdbdacmacma③等比性質(zhì)：(bdn≠0)

bdnbdnb②合比性質(zhì)：3．黃金分割

在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果

ACBC，即ABACAC2=AB×BC，那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．其中AC4．平行線分線段成比例定理

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：

ABDEABDEBCEF，，，BCEFACDFACDF②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所

51AB≈0.618AB．2l1∥l2∥l3．則得的對(duì)應(yīng)線段成比例．

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5．相似三角形的判定

①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．6．相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例；

②相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；③相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方．7．六種相似基本模型：

ADDBECBECBADCA

DE∥BC∠B∠AED∠B∠ACDDOABCOCADBABDC

AC∥BD

8．射影定理

X型∠B∠C母子型

AD是Rt△ABC斜邊上的高

由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．

AB9．中位線

1)三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的線段的

1長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的．

32)梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段．

梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊和的一半．10．位似

①如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這

樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比．②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．

DC解直角三角形

考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余．

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2.在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．

A301BCDAB

C9023.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

ACB901CDABBDADD為AB的中點(diǎn)24.勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2．5.攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)．

CD2ADBDACB902

ACADABCDAB2BCBDAB6.常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點(diǎn)二、直角三角形的判定

1.有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形．

2.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)的概念1.如圖，在△ABC中，∠C=90°

①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即sinAA的對(duì)邊a

斜邊cA的鄰邊b

斜邊cA的對(duì)邊a

A的鄰邊bA的鄰邊b

A的對(duì)邊a②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即cosA③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即tanA④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即cotA2.銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．3.各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

（1）互余關(guān)系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)

tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)

（2）平方關(guān)系：sin2Acos2A1（3）倒數(shù)關(guān)系：tanAcotA=1

sinAcosA；cotA=cosAsinA4.銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，

（4）弦切關(guān)系：tanA=

（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。�（2）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�5.一些特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)sinαcosα0°0130°45°60°123222223290°101tanαcotα考點(diǎn)四、解直角三角形1.解直角三角形的概念：

0不存在33113不存在3330在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的理論依據(jù)

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：

abab,cosA,tanA,cotAccbababasinB,cosB,tanB,cotBccabsinA隨機(jī)事件的概率

1.概率

（1）表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的這個(gè)數(shù)，叫做該事件的概率．P(所關(guān)注的事件)=所關(guān)注的結(jié)果/所有等可能的結(jié)果．2.概率的預(yù)測(cè)

（1）要清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個(gè)或哪些結(jié)果．（2）要清楚所有機(jī)會(huì)的結(jié)果．

（1）、（2）兩個(gè)結(jié)果個(gè)數(shù)之比就是關(guān)注的結(jié)果發(fā)生的概率．方法：畫(huà)樹(shù)狀圖、列表法．

擴(kuò)展閱讀：華師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《圓》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓

1．圓的認(rèn)識(shí)

（1）當(dāng)一條線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)A的軌跡叫做圓�；虻揭粋�(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。這個(gè)以點(diǎn)O為圓心的圓叫作“圓O”，記為“⊙O”。（2）線段OA、OB、OC都是圓的半徑，線段AC為直徑。

（3）連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫做弦如線段AB、BC、AC都是圓O中的弦。

、BAC其中像弧BC這樣（4）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧。如曲線BC、BAC都是圓中的弧，分別記作BC，這樣的大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。小于半圓周的圓叫做劣弧。像弧BAC（3）圓心角：頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圓心角。2．圓的對(duì)稱(chēng)性

（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果弦相等，那么所對(duì)的圓心角、所對(duì)的弧相等。

在同圓或等圓中，如果弧相等，那么所對(duì)的圓心角，所對(duì)的弦相等。（2）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。3．垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對(duì)的�。黄椒只〉闹睆酱怪逼椒诌@條弧所對(duì)的弦。4．圓周角

（1）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。（2）半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。

（3）同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的任意一個(gè)圓周角的大小都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。（4）同弧（或等�。┧鶎�(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧相等。5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)圓心O的距離為d，則（1）點(diǎn)在圓外dr（2）點(diǎn)在圓上dr（3）點(diǎn)在圓內(nèi)dr6．（1）過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓；

過(guò)兩點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，圓心在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上；過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。

（2）三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。（3）一個(gè)三角形的外接圓是唯一的。7．直線與圓的位置關(guān)系

（1）如果一條直線與一個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相離。

（2）如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相切。此時(shí)這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

（3）如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相交，此時(shí)這條直線叫做圓的割線．

如上圖，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，從圖中可以看出：若dr直線l與⊙O相離；若dr直線l與⊙O相切；若dr直線l與⊙O相交；8．切線

（1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

推論：1）經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）切線長(zhǎng)：把切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

性質(zhì)：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等。這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（4）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。9．圓和圓的位置關(guān)系

1）兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)兩個(gè)圓相離，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含。（3）中兩圓的圓心相同，這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓。

2）如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切。

3）如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交，如（6）所示。

（1）兩圓外離dRr；（2）兩圓外切dRr；（3）兩圓外離RrdRr；（4）兩圓外離dRr；

10．圓中的計(jì)算問(wèn)題（1）弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：l（5）兩圓外離0dRrnr180（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。

nr21lr扇形面積的計(jì)算公式：S3602（3）圓錐的母線：把圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線。

圓錐的高：連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高，如圖中a，而h就是圓錐的高。

（4）圓錐的底面周長(zhǎng)就是其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的母線就是其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑。

圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的一條母線的長(zhǎng)的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和。

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