高二數學總結

運動的兩種基本分析方法的比較重慶市江津區(qū)吳灘中學周勇

對機械運動的分析是高中物理的重中之重。高中階段對于機械運動的基本分析方法可以分成這樣兩種：一、運用牛頓第二定律結合相應的運動規(guī)律進行具體的分析。二、運用動量定理（包括動量守恒）及動能定理進行籠統(tǒng)的分析。不過這也使得不少同學覺得在解決具體問題時對該選用哪種方法來解題反而成了難題。特別是不少同學把牛頓第二定律、動量定理、動能定理割裂開來理解，認為三者是各不相關的三個定律，就更容易引起運用上的混亂，讓解題思路極不清晰，造成無法正確解出問題。?

基于此，我們先來辨析一下這三個定律的區(qū)別與聯系：?

首先，牛頓第二定律與動量定理可以互相推導出來：?

即?

從物理意義上來說，牛頓第二定律實際上是定義了：力是動量的變化率。?

這也就是說，在解決非轉動的低速機械運動問題時，牛頓第二定律與動量定理是等效的。?

但我們同時也要看到，“力是動量的變化率”反映出牛頓第二定律具有瞬時性，即：牛頓第二定律可運用于求瞬時性物理量，它是一個關于運動過程細節(jié)的物理定律。而動量定理卻是一個只反映運動結果的物理定律，運用時不必考慮運動過程細節(jié)情況。二者這方面上的差異使它們在運用時各擅勝場。?

然后，我們再來看看動量定理與動能定理的區(qū)別與聯系。?

從物理學史上我們可以了解到，笛卡兒根據研究碰撞中發(fā)現的動量守恒規(guī)律首先提出了動量的實質質量與速度的積（后來由牛頓命名為“動量”）并提議以此來度量機械運動。當然，牛頓第二定律就是在此基礎上確立起來的。然而，萊布尼茨反對這一觀點。他在1686年的論文中，對笛卡兒學派的這個度量方法提出了批評。他認為：“力必須由它所產生的效果來衡量，而不能用物體（質量）與速度的乘積來衡量”。他建議用mv2而不是mv來度量物體運動的“力”。后來，由科里奧利建議以代替來度量機械運動。這樣，就引發(fā)了近半個世紀的大討論。直到19世紀中頁物理學家們都還沒有從“運動的度量”的爭論中擺脫出來。最后才由恩格斯從能量守恒角度總結出動量、動能是對運動不同方面的度量。?

這也就可以說，動量定理、動能定理都是運動的基本物理規(guī)律，雖然它們反映的是不同方面的內容，但它們聯合起來運用，往往能反映出全面的物理內容。況且，這兩個定律都是反映運動結果的物理定律，運用時都不必考慮運動過程細節(jié)情況。值得一提的是動量守恒只是系統(tǒng)動量定理的特殊情況而已，故而我們往往在運用動量守恒與動能定理一起來解決一些復雜的機械運動的問題時會感到比較方便快捷。?

由上面的分析我們可以得出這樣的解題經驗：在求解與瞬時力相關的問題時，要運用牛頓第二定律結合具體的運動規(guī)律才能解出。而運動過程變化復雜的問題，則根據動量定理（包括動量守恒）結合動能定理來解，可避免繁雜的過程分析使問題簡單化。?

為了進一步認識清楚前面所提的兩種解法的同一性和獨特性，我們可以先來看看下面的一些實例分析。?

例1．以恒力F作用在質量為m初速度為的物體上，經時間后速度達多大？位移為多少？?

解法一：用牛頓運動定理結合勻加速直線運動規(guī)律來解：?

??又???再??

解法二：用動量定理結合動能定理解：?

?????得：?

??????

???得：?

評析：解法一解這種問題當然很簡單，但它必需要用到特定的運動規(guī)律（此題涉及的是勻加速直線運動）。而解法二并沒有管物體做怎樣的運動，仍然得出同樣的結果，可見一樣涵蓋了相關的這些物理內容。?

從兩種解法對此例的解析看來，只要是求運動的最終結果，它們是等效的。?

不過，此例顯然沒有顯示出牛頓運動定律對求過程中瞬時性物理量的優(yōu)勢，也沒有顯示出對復雜的運動過程的分析牛頓運動定律的劣勢。那么，讓我們繼續(xù)看下面幾例吧。?

例2．一個質量為m的小球在半徑為R的豎直光滑圓環(huán)內恰能繞圓環(huán)作圓周運動，求：（1）小球通過圓環(huán)最高點的速度？（2）小球通過圓環(huán)最低點時對圓環(huán)的壓力？?

解：（1）設小球在最高點處速度為。小球在圓環(huán)最高點恰能作圓周運動，則在該點小球自身的重力作為向心力，故由牛頓第二定律得：又由圓周運動規(guī)律得?

（2）小球由最高點運動到最低點過程，僅小球重力做功。設小球在最低點處速度為，由動能定理得：?代入解得：；由圓周運動規(guī)律得，再由牛頓第二定律得，又所以：?

評析：此題所涉運動為圓周運動，圓周運動中向心力具有瞬時性，高中階段只能用牛頓第二定律得到向心加速度再與圓周運動規(guī)律相結合來解。動量定理不適于求物理過程中的瞬時量。至于動能定理，由于它是對運動過程能量轉化方面的反映，故只要涉及動能改變的情況都適用。?

例3．如圖1所示，光滑水平面上停著一只木球和載人小車，人與車的總質量為，木球質量為，而且知道＝16。人以速度沿水平方向將木球推向豎直墻，球又以速率彈回，人接球后再以速率將木球推向墻，如此反復。問：（1）人經幾次推木球后，再也不能接住木球？（2）在此過程中，人總共做了多少功？??

解：（1）把人車與球總體作為研究對象（是一個系統(tǒng)作為研究對象）。由系統(tǒng)動量定理可知：墻對球的作用力作為研究系統(tǒng)的外力，它的沖量改變著研究系統(tǒng)的動量。而每次墻對球的沖量都為。設n次后人不能接到球，此時人車速度為。依題意有：（1）又由動量定理有：故：（2），（1）（2）兩式結合解得：代入?得：?依題意，n應取9。?

（2）由上面分析可知，球與墻碰9次后，人車速度?

由于墻在每次碰撞中都沒有對球做功，故被研究系統(tǒng)的動能來源于人所做的功，即由動能定理得：?

評析：此例由于墻與球、人與球的作用過程中力是變力且作用時間無法知道，故而細節(jié)內容無法探究。所以根本無法用牛頓第二定律結合運動規(guī)律分析，只能采用動量定理和動能定理來解。?

例4．在光滑水平面上停有一質量為M的小平板車A，車左端放上一初速度為，方向向右，質量為m的厚度不計的滑塊B�；瑝K與小車上表面間的摩擦因數為，要使滑塊不至于滑出小車，小車長至少多長？??

解法一：用牛頓運動定理結合勻加速直線運動規(guī)律來解：?

滑塊B在小車A上向右滑行時，由于滑動摩擦力的作用，會帶動小車同時向右運動。相對于地面而言，滑塊向左做勻減速運動，它的加速度：；小車向右做勻加速運動，它的加速度：。要使滑塊恰不從小車上滑落，即要求滑塊滑到小車右端時，它與小車的末速度相等。即：，可得：?即：?

那么，；?

????依題意有：??

解法二：運用動量守恒與動能定理解：?

設A、B末速度為，由A．B系統(tǒng)動量守恒可得：，可得：?

又由動能定理得：，故：??

評析：當一個系統(tǒng)多個物體同時在運動時，運用牛頓運動定律來解需要對每個物體的具體運動情況都進行分析，很顯然這種解法會顯得較繁難。而系統(tǒng)動量定理及系統(tǒng)動能定理可對整個系統(tǒng)進行籠統(tǒng)處理，用這種解法來處理這類問題當然往往顯得簡便得多。?

綜上所述，我們可以看出：若是單個物體運動且過程簡單，或所求問題必須涉及過程中加速度的時候，應選用牛頓第二定律結合相應的運動規(guī)律來解；如果運動過程復雜、多個物體形成運動系統(tǒng)，則運用動量定理（動量守恒）結合動能定理來解。當然，只要涉及動能變化，外力做功的情況，動能定理都可用。

擴展閱讀：高二數學數學歸納法

1.4數學歸納法

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，啟動思維

情境一、財主兒子學寫字的笑話、“小明弟兄三個，大哥叫大毛”的腦筋急轉彎等；

教師總結：財主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題.人們通常也會用歸納法思考問題，小孩也會由此總結出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：華羅庚的“摸球實驗”

1、這里有一袋球共12個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么判斷？

啟發(fā)回答:

方法一：把它全部倒出來看一看．特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．

方法二：一個一個拿，拿一個看一個．

比如結果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點：有順序，有過程．

2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？

情境三:回顧等差數列an通項公式推導過程：

a1a1a2a1da3a12da4a33dana1(n1)d

設計意圖：首先設計情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學生的興趣，調動學生學習的積極性．情境三點出兩種歸納法的不同特點.通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點引出打下伏筆.二、師生互動，探究問題

承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？歸納法特點是什么？上述歸納法有什么不同呢？學生回答以上問題，得出結論：

1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法.特點：由特殊→一般；

2.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法；

3.不完全歸納法:根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法.

在生活和生產實際中，歸納法有著廣泛的應用．例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，地震預測用的就是歸納法．

4.引導學生舉例：

⑴不完全歸納法實例：如歐拉發(fā)現立體圖形的歐拉公式:VEF2(V為頂點數,E為棱數,F為面數)

⑵完全歸納法實例：如證明圓周角定理時，分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況討論．

設計意圖：從生活走向數學，與學生一起回顧以前學過的數學知識，并在這里我安排學生舉完全歸納法的實例和不完全歸納法實例，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納法，并引導學生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.三、借助史料,引申思辨

問題1：已知an＝(n25n5)2（n∈N），

(1)分別求a1；a2；a3；a4．

(2)由⑴你會有怎樣的一個猜想？這個猜想正確嗎？問題2：費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數論也有許多貢獻．他曾認為，當n∈N時，22n1一定都是質數，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得

5到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了221＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結論便不成立．

教師總結:有人說，費馬為什么不再多算一個數呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關鍵不在于多算一個數上！

問題3：f(n)n2n41,當n∈N時，f(n)是否都為質數？

驗證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，

f（9）＝131，f（10）＝151，，f（39）＝1601．但是f（40）

＝1681＝412，是合數．

承上啟下：這里算了39個數不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來,尋求數學證明.

教師設問：,不完全歸納法為什么會出錯？如何彌補不足？怎么給出證明呢？

設計意圖：在生活引例與已學數學知識的基礎上，進一步引導學生看數學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進行思辨：在數學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是我們還是數學大師都有可能如此．那么，不完全歸納法價值體現在哪里？不足之處如何去彌補呢？結論正確性怎樣給出證明？學生一定會帶著許多問題進入下一階段探究.四、實例再現，激發(fā)興趣

1、演示多米諾骨牌游戲視頻.

師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：⑴第一塊要倒下;

⑵當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下;

當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下.

再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．2、學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關正整數命題的方法（建立數學模型）.

設計意圖：布魯納的發(fā)現學習理論認為，“有指導的發(fā)現學習”強調知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現數學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現性學習．另外，這個環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學生大膽猜想、類比概括能力方面實踐的不夠好．應該讓學生在類比多米諾骨牌游戲的基礎上說出數學歸納法原理，教師給予肯定和補充即可。事實上，情境的設計都是為學生更好的知識遷移而服務的。概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數學原理的遷移，突破口就是學生的概括過程．

五、類比聯想，形成概念

1、類比多米諾骨牌過程,證明等差數列通項公式

ana1(n1)d(師生共同完成,教師強調步驟及注意點)

(1)當n＝1時等式成立；(2)假設當n＝k時等式成立,即ak則ak1akda1(k1)d,

=a1[(k1)1]d,即n＝k＋1時等式也成立．

a1(n1)d于是,我們可以下結論：等差數列的通項公式an何n∈N*都成立．

2．數學歸納法原理(學生表述,教師補正)：

對任

（1）（遞推奠基）：n取第一個值n0(例如n01)時命題成立；

（2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；（歸納假設）

利用它證明當n=k+1時結論也正確.（歸納證明）

由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確，這種證明方法叫做數學歸納法．

3、數學歸納法的本質：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關系）設計意圖：至此，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理,揭示遞推過程.教師強調數學歸納法特點.數學歸納法實際上是一種以數學歸納法原理為依據的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數有關問題的有力工具，一種具普遍性的方法.

六、討論交流，深化認識

an1an例1、數列an中,a1＝1,an1是什么？你是怎么得到的？

(n∈N*),an通項公式

探討一：觀察數列an特點，變形解出.

探討二：先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式,最后用數學歸納法證明結論．

設計意圖：通過典型例題使學生探究嘗試，一方面體驗“觀察歸納猜想證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數學歸納法，也能使他們體驗數學方法，培養(yǎng)學生獨立研究數學問題的意識和能力．不同的方法也體現解決問題的靈活性.

七、反饋練習,鞏固提高

（請兩位同學板演以下兩題，教師指正）

1、用數學歸納法證明：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝n2．2、首項是a1，公比是q的等比數列的通項公式是a3、用數學歸納法證明：2462nn2是否正確，說出理由？

證明：假設nkna1qn1．

n1時，下列推證

時，等式成立

kk1成立

2就是2462k那么2462k2k1k2k12k1=k1k11

2這就是說當nk1時等式成立，

所以nN*時等式成立.

4、判斷下列推證是否正確，若是不對，如何改正.求證：

12＋122＋12＋＋312n1n1()21

1證明：①當n=1時，左邊＝

211右邊＝122，等式成立.

②設n=k時，有

12＋122＋123＋＋12k1k1()2那么，當n=k+1時，有

k1111k1221，即1121212＋122＋12＋＋312k12k1n=k+1時，命題

成立

根據①②可知，對n∈N＊，等式成立.

設計意圖：練習題1，2的證明難度不大，套用數學歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個練習能看到學生對數學歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗學生的學習水平，保證不盲目拔高，同時不沖淡本節(jié)課的重點，對例題是一個很好的對比與補充．通過3，4的易錯辨析，進一步體會數學歸納法證題時的兩個步驟、一個結論，“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”.八、總結歸納，加深理解

1、本節(jié)課的中心內容是歸納法和數學歸納法；

2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數學歸納法屬于完全歸納法；

3、數學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；

4、本節(jié)課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想．九、布置作業(yè),課外延伸十、書面作業(yè)：見教材P56課后思考題：

1.是否存在常數a、b、c使得等式：

132435......n(n2)16n(an2bnc)

對一切自然數n都成立并證明你的結論.

2.是否存在常數

1222a、b、c，使得等式

223.....n(n1)n(n1)12(an2bnc)

對一切自然數n都成立？并證明你的結論（a=3,b=11,c=10）

設計意圖:思考題則起著承上啟下的作用,它既是“觀察歸納猜想證明”的完整思維探究過程的再體驗，也是對下節(jié)課內容的鋪墊與伏筆．

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