人教版初二數學下知識點總結

初二數學下知識點總結

平移與旋轉旋轉1.旋轉的定義：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。2.旋轉的性質：旋轉后得到的圖形與原圖形之間有：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉角相等。中心對稱1.中心對稱的定義：如果一個圖形繞某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做中心對稱。2.中心對稱圖形的定義：如果一個圖形繞一點旋轉180度后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形。3.中心對稱的性質：在中心對稱的兩個圖形中，連結對稱點的線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。軸對稱1.軸對稱的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2.軸對稱圖形的性質：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。3.軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。圖形變換圖形變換的定義：圖形的平移、旋轉、和軸對稱統(tǒng)稱為圖形變換。函數及其相關概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。2、函數解析式

用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）解析法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法

4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。正比例函數和一次函數

1、正比例函數和一次函數的概念

一般地，如果ykxb（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。

特別地，當一次函數ykxb中的b為0時，ykx（k為常數，k0）。這時，y叫做x的正比例函數。2、一次函數的圖像

所有一次函數的圖像都是一條直線

3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：

一次函數ykxb的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數ykx的圖像是經過原點（0，0）的直線。（如下圖）4.正比例函數的性質

一般地，正比例函數ykx有下列性質：

（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k0時，y隨x的增大而增大（2）當kk的符號b的符號函數圖像y0xy0xy0xy0x圖像特征b>0圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。k>0b0圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小K

擴展閱讀：人教版初二數學(上)知識點歸納

初二數學（上）應知應會的知識點

因式分解

1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解；注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的確定：系數的最大公約數相同因式的最低次冪.

注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：

(1)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事項：

（1）選擇因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分組、四十字；（2）使用因式分解公式時要特別注意公式中的字母都具有整體性；（3）因式分解的最后結果要求分解到每一個因式都不能分解為止；（4）因式分解的最后結果要求每一個因式的首項符號為正；（5）因式分解的最后結果要求加以整理；

（6）因式分解的最后結果要求相同因式寫成乘方的形式.

6．因式分解的解題技巧：（1）換位整理，加括號或去括號整理；（2）提負號；（3）全變號；（4）換元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整體；（7）靈活分組；（8）提取分數系數；（9）展開部分括號或全部括號；（10）拆項或補項.

7．完全平方式：能化為（m+n）2的多項式叫完全平方式；對于二次三項式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式分式

Apq22”.

1．分式：一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示為B的形式，如果B

A中含有字母，式子B叫做分式.

整式有理式分式2．有理式：整式與分式統(tǒng)稱有理式；即.

3．對于分式的兩個重要判斷：（1）若分式的分母為零，則分式無意義，反之有意義；（2）若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為零；注意：若分式的分子為零，而分母也為零，則分式無意義.4．分式的基本性質與應用：

（1）若分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；即

分子分母分子分母分子分母分子分母

（3）繁分式化簡時，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數的方法，比較簡單.5．分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分；注意：分式約分前經常需要先因式分解.

6．最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式，這個分式叫做最簡分式；注意：分式計算的最后結果要求化為最簡分式.

acac,bdbd7．分式的乘除法法則：

nna

bcdadadbcbc.

aan.（n為正整數）b8．分式的乘方：b.

9．負整指數計算法則：

1（1）公式：a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指數的運算法則都可用于負整指數計算；

a（3）公式：bnnbananm，bbamn；

（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.

10．分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先確定最簡公分母.11．最簡公分母的確定：系數的最小公倍數相同因式的最高次冪.

abcabcabcdadbdbcbdadbcbd12．同分母與異分母的分式加減法法則：

c;.

13．含有字母系數的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知數,a和b是用字母表示的已知數，對x來說，字母a是x的系數，叫做字母系數，字母b是常數項，我們稱它為含有字母系數的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知數，用x、y、z等表示未知數.

14．公式變形：把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形；注意：公式變形的本質就是解含有字母系數的方程.特別要注意：字母方程兩邊同時乘以含字母的代數式時，一般需要先確認這個代數式的值不為0.

15．分式方程：分母里含有未知數的方程叫做分式方程；注意：以前學過的，分母里不含未知數的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：在解分式方程時，為了去分母，方程的兩邊同乘以了含有未知數的代數式，所以可能產生增根，故分式方程必須驗增根；注意：在解方程時，方程的兩邊一般不要同時除以含未知數的代數式，因為可能丟根.

17．分式方程驗增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡公分母（或分式方程的每個分母），若值為零，求出的根是增根，這時原方程無解；若值不為零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判斷，使分母的值為零的未知數的值可能是原方程的增根.18．分式方程的應用：列分式方程解應用題與列整式方程解應用題的方法一樣，但需要增加“驗增根”的程序.數的開方

1．平方根的定義：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方數，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫開方，乘方與開方互為逆運算.2．平方根的性質：

（1）正數的平方根是一對相反數；（2）0的平方根還是0；（3）負數沒有平方根.

3．平方根的表示方法：a的平方根表示為也可以認為是一個數開二次方的運算.

4．算術平方根：正數a的正的平方根叫a的算術平方根，表示為平方根還是0.

5．三個重要非負數：a2≥0,|a|≥0，0.

6．兩個重要公式：（1）aa2a和a.注意：

a可以看作是一個數，

a.注意：0的算術

a≥0.注意：非負數之和為0，說明它們都是

2a;(a≥0)

（2）

(a0)aaa(a0)

.

7．立方根的定義：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方數；（2）a的立方根表示為8．立方根的性質：

（1）正數的立方根是一個正數；（2）0的立方根還是0；

-3-

3a；即把a開三次方.（3）負數的立方根是一個負數.9．立方根的特性：

3a3a.

10．無理數：無限不循環(huán)小數叫做無理數.注意：和開方開不盡的數是無理數.11．實數：有理數和無理數統(tǒng)稱實數.

有理數實數無理數12．實數的分類：（1）

正有理數0負有理數有限小數與無限循環(huán)小數正無理數無限不循環(huán)小數負無理數（2）

.

13．數軸的性質：數軸上的點與實數一一對應.

14．無理數的近似值：實數計算的結果中若含有無理數且題目無近似要求，則結果應該用無理數表示；如果題目有近似要求，則結果應該用無理數的近似值表示.注意：（1）近似計算時，中間過程要多保留一位；（2）要求記憶：21.414

52.236.

31.732

正實數實數0負實數三角形

幾何A級概念：（要求深刻理解、熟練運用、主要用于幾何證明）1．三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.（如圖）2．三角形的中線定義：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊的中點的線段叫做三角形的中線.（如圖）3．三角形的高線定義：從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂-4-

BDCA幾何表達式舉例：(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CADBDC(2)∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分線幾何表達式舉例：A(1)∵AD是三角形的中線∴BD=CD(2)∵BD=CD∴AD是三角形的中線幾何表達式舉例：(1)∵AD是ΔABC的高線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線.（如圖）※4．三角形的三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.（如圖）5．等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.（如圖）6．等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.（如圖）BBBA∴∠ADB=90°(2)∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高BDC幾何表達式舉例：(1)∵AB+BC＞AC∴(2)∵AB-BC＜ACAC∴幾何表達式舉例：A(1)∵ΔABC是等腰三角形∴AB=AC(2)∵AB=ACC∴ΔABC是等腰三角形幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC是等邊三角形∴AB=BC=AC(2)∵AB=BC=ACAC∴ΔABC是等邊三角形幾何表達式舉例：(1)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∴∠A+∠B=90°∴7．三角形的內角和定理及推論：（1）三角形的內角和180°；（如圖）（2）直角三角形的兩個銳角互余；（如圖）（如圖）角.BCA（3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；(2)∵∠C=90°※（4）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(3)∵∠ACD=∠A+∠B(4)∵∠ACD＞∠A∴CBBCDAA（1）（2）（3）（4）8．直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫直角三角形.（如圖）CBA幾何表達式舉例：(1)∵∠C=90°∴ΔABC是直角三角形(2)∵ΔABC是直角三角形∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定義：腰直角三角形.（如圖）A幾何表達式舉例：(1)∵∠C=90°CA=CB∴ΔABC是等腰直角三角形(2)∵ΔABC是等腰直角三角CB兩條直角邊相等的直角三角形叫等形∴∠C=90°CA=CB10．全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應邊相等；（如圖）（2）全等三角形的對應角相等.（如圖）BAE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC≌ΔEFG∴AB=EF(2)∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠ECFG幾何表達式舉例：(1)∵AB=EF∵∠B=∠F又∵BC=FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵AB=EF又∵AC=EG∴RtΔABC≌RtΔEFG11．全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如圖）BCFG（1）（2）CBF（3）GAEAE12．角平分線的性質定理及逆定理：（1）在角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（如圖）（2）到角的兩邊距離相等的點在角平分線上.（如圖）13．線段垂直平分線的定義：-6-

OEBDCA幾何表達式舉例：(1)∵OC平分∠AOB又∵CD⊥OACE⊥OB∴CD=CE(2)∵CD⊥OACE⊥OB又∵CD=CE∴OC是角平分線幾何表達式舉例：垂直于一條線段且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.（如圖）14．線段垂直平分線的性質定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等；（如圖）（2）和一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.（如圖）15．等腰三角形的性質定理及推論：AAOE(1)∵EF垂直平分AB∴EF⊥ABOA=OBB(2)∵EF⊥ABOA=OB∴EF是AB的垂直平分線幾何表達式舉例：(1)∵MN是線段AB的垂直平FMP分線∴PA=PBBC(2)∵PA=PB∴點P在線段AB的垂直平分線上幾何表達式舉例：N（1）等腰三角形的兩個底角相等；（即等邊對等角）（如圖）(1)∵AB=AC（2）等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的高”∴∠B=∠C三線合一；（如圖）（3）等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.（如圖）A(2)∵AB=AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD=CDAAAD⊥BC(3)∵ΔABC是等邊三角形CBC（1）BDC（2）B（3）∴∠A=∠B=∠C=60°幾何表達式舉例：∴AB=AC(2)∵∠A=∠B=∠C16．等腰三角形的判定定理及推論：也相等；（即等角對等邊）（如圖）（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（如圖）（1）如果一個三角形有兩個角都相等，那么這兩個角所對邊(1)∵∠B=∠C（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；（如圖）∴ΔABC是等邊三角形（4）在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對(3)∵∠A=60°的直角邊是斜邊的一半.（如圖）A又∵AB=AC∴ΔABC是等邊三角形AA(4)∵∠C=90°∠B=30°1CBC（1）B（2）（3）CB（4）∴AC=2AB17．關于軸對稱的定理（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；（如圖）（2）如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.（如圖）18．勾股定理及逆定理：的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2；（如圖）（2）如果三角形的三邊長有下面關系:a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.（如圖）19．RtΔ斜邊中線定理及逆定理：是斜邊的一半；（如圖）（2）如果三角形一邊上的中線是這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.（如圖）

MAOCFE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC、ΔEGF關于MN軸對稱∴ΔABC≌ΔEGFGNB(2)∵ΔABC、ΔEGF關于MN軸對稱∴OA=OEMN⊥AE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC是直角三角形A（1）直角三角形的兩直角邊a、b∴a2+b2=c2(2)∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形CB幾何表達式舉例：∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中點A（1）直角三角形中，斜邊上的中線D1∴CD=CB2AB(2)∵CD=AD=BD∴ΔABC是直角三角形幾何B級概念：（要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題）一基本概念：

三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線的集合定義、軸對稱的定義、軸對稱圖形的定義、勾股數.二常識：

1．三角形中，第三邊長的判斷：另兩邊之差＜第三邊＜另兩邊之和.

2．三角形中，有三條角平分線、三條中線、三條高線，它們都分別交于一點，其中前兩個交點都在三角形內，而第三個交點可在三角形內，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分線、中線、高線都是線段.

3．如圖，三角形中，有一個重要的面積等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，則CDAB=BECA.

4．三角形能否成立的條件是：最長邊＜另兩邊之和.

5．直角三角形能否成立的條件是：最長邊的平方等于另兩邊的平方和.

-8-

BDECA6．分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如圖，雙垂圖形中，有兩個重要的性質，即：（1）ACCB=CDAB；（2）∠1=∠B，∠2=∠A.8．三角形中，最多有一個內角是鈍角，但最少有兩個外角是鈍角.邊是對應邊.

10．等邊三角形是特殊的等腰三角形.

11．幾何習題中，“文字敘述題”需要自己畫圖，寫已知、求證、證明.12．符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.

13．幾何習題經常用四種方法進行分析：（1）分析綜合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）圖形觀察法.

14．幾何基本作圖分為：（1）作線段等于已知線段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分線；（4）過已知點作已知直線的垂線；（5）作線段的中垂線；（6）過已知點作已知直線的平行線.

15．會用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等邊三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.

16．作圖題在分析過程中，首先要畫出草圖并標出字母，然后確定先畫什么，后畫什么；注意：每步作圖都應該是幾何基本作圖.

17．幾何畫圖的類型：（1）估畫圖；（2）工具畫圖；（3）尺規(guī)畫圖.※18．幾何重要圖形和輔助線：（1）選取和作輔助線的原則：

①構造特殊圖形，使可用的定理增加；②一舉多得；

③聚合題目中的分散條件，轉移線段，轉移角；④作輔助線必須符合幾何基本作圖.

（2）已知角平分線.（若BD是角平分線）

①在BA上截取BE=BC構造全等，轉②過D點作DE∥BC交AB于E，構造等移線段和角；

（3）已知三角形中線（若AD是BC的中線）

①過D點作DE∥AC交AB②延長AD到E，使DE=AD③∵AD是中線

-9-

BEDEDAAD12CB9．全等三角形中，重合的點是對應頂點，對應頂點所對的角是對應角，對應角所對的

腰三角形.ACBCABDC于E，構造中位線；

BDCAE連結CE構造全等，轉移線段和角；∴SΔABD=SΔADC（等底等高的三角形等面積）ABDC(4)已知等腰三角形ABC中，AB=AC

①作等腰三角形ABC底邊的中線AD②作等腰三角形ABC一邊的平行線DE，構造（頂角的平分線或底邊的高）構造全等三角形；

（5）其它作等邊三角形ABC一邊的平行線DE，構造新的等邊三角形；

④多邊形轉化為三角⑤延長BC到D，使⑥若a∥b,AC,BC是角平形；

BCEADOBDCBDC新的等腰三角形.AAAEDEBC②作CE∥AB，轉移角；③延長BD與AC交于E，AE不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形；BCDDAEAEBDCBCCD=BC，連結AD，直角三角形轉化為等腰三角形；ABCD分線,則∠C=90°.BAaCb

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