高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)04 圓與方程

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)04圓與方程

坐標(biāo)法是以坐標(biāo)系為橋梁，把研究幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，是解析幾何中最基本的研究方法。通過坐標(biāo)系把點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。教材要求：掌握如何在直角坐標(biāo)系中建立圓的方程；并通過圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識；體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。

一、圓與方程高考考試內(nèi)容及考試要求：

掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；了解參數(shù)方程的概念；理解直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識；二、圓的方程課標(biāo)要求：

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。要點(diǎn)精講：

1．圓的方程（1）圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(xa)2(yb)2r2(r0)。（其參數(shù)方程為

xarcos（θ為參數(shù)））特殊地，當(dāng)a=b=0時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：x2y2r2（其參數(shù)ybrsinxrcos方程為（θ為參數(shù)））。

yrsinDE（2）圓的一般方程xyDxEyF0，圓心為點(diǎn)(,)，半徑r222222其中DE4F0。

D2E24F，

2（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圓的方程的充要條件是：①、x2項(xiàng)y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即AC0；

22②、沒有xy項(xiàng)，即B=0；③、DE4AF0。

（4）點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的關(guān)系的判斷方法：

1）(x0a)2(y0b)2r2，點(diǎn)在圓外；2）(x0a)2(y0b)2r2，點(diǎn)在圓上；3）(x0a)2(y0b)2r2，點(diǎn)在圓內(nèi)

三、直線、圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求：

1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；

3．在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。要點(diǎn)精講:

1．直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種

2222

（1）若dAaBbCAB22，dr相離0；

（2）dr相切0；（3）dr相交0。

AxByC0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組2求解，通過解的個數(shù)來判2xyDxEyF0斷：

（1）當(dāng)方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

相切dr0相交dr0相離dr0注：直線與圓的位置關(guān)系：l：f1（x，y）＝0．圓C：f2（x，y）＝0消y得F（x2）＝0。（1）直線與圓相交：F（x，y）＝0中＞0；或圓心到直線距離d＜r。直線與圓相交的相關(guān)問題：

①弦長AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2，或AB2rd；②弦中點(diǎn)坐標(biāo)22222x1x2y1y2,；③弦中點(diǎn)軌跡方程。22（2）直線與圓相切：F（x）＝0中＝0，或d＝r．其相關(guān)問題是切線方程．如P（x0，y0）是圓x2＋y2＝r2上的點(diǎn)，過P的切線方程為x0x＋y0y＝r2，其二是圓外點(diǎn)P（x0，y0）向圓到兩條切線的

2切線長為(x0a)(y0b)r或x0y0r；其三是P（x0，y0）為圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)引

22222兩條切線，有兩個切點(diǎn)A，B，過A，B的直線方程為x0x＋y0y＝r2。

（3）直線與圓相離：F（x）＝0中＜0；或d＜r；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離d的最大值與最小值，設(shè)Q為圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一點(diǎn)，|PQ|max＝|PC|＋r；|PQ|min＝|PQ|－r，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值．2．兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d。

dr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線r1r2dr1r2相交2條公切線；dr1r2內(nèi)切1條公切線0dr1r2內(nèi)含無公切線

判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。

注：圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1，r2的和差關(guān)系判定．（1）設(shè)⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0。

①兩圓相交A、B兩點(diǎn)，其公共弦所在直線方程為（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0；②經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括⊙O2方程）。

5．直線與圓的方程的應(yīng)用

（1）利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；（2）過程與方法，用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟（“三步曲”）：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。四、空間直角坐標(biāo)系課標(biāo)要求：

1．掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念；會根據(jù)坐標(biāo)找相應(yīng)的點(diǎn)，會寫一些簡單幾何體的有關(guān)坐標(biāo)；會求空間兩點(diǎn)間的距離公式；

2．通過空間直角坐標(biāo)系的建立，使學(xué)生初步意識到：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決空間問題的基本思想方法；

3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生類比，遷移，化歸的能力。要點(diǎn)精講:

1．如圖：OABC-D′A′B′C′是單位正方體，我們類比平面直角坐標(biāo)系的建立來建立一個坐標(biāo)系即空間直角坐標(biāo)系，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA，OC，OD′的方向?yàn)檎�方向，以線段OA，OC，OD′的長為單位長度，建立三條數(shù)軸Ox，Oy，Oz稱為x軸、y軸和z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中O叫坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸叫坐標(biāo)軸.如果我們把通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，我們又得到三個坐標(biāo)平面xOy平面，yOz平面，zOx平面。

由此我們知道，確定空間直角坐標(biāo)系必須有三個要素，即原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向、單位長.

上圖表示的空間直角坐標(biāo)系也可以用右手來確定。用右手握住z軸，當(dāng)右手的四個手指從x軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時，大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無特別說明，我們課本上建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.

2．有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。3．空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M（x,y,z）,x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。4．空間兩點(diǎn)間的距離公式

空間中任意一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)到點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2（參考教材：人教版必修2A版）

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)：第四章 圓與方程

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高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)

第四章圓與方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點(diǎn)在圓上a)2(y0b)2歸海木心QQ:634102564

（4）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

RM4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、上的坐標(biāo)

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸

xOPQM"y3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M(x,y,z)，x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，坐標(biāo)。y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎

z4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式1、空間中任意一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)到點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222N1xOM1MM2HN2yN

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