從狄青的100枚銅幣談起­ ——淺談條件概率教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

汕頭市金山中學(xué) 林琪

條件概率是人教A版選修2-3第二章2.2.1的內(nèi)容，是學(xué)生在已學(xué)習(xí)古典概型與幾何概型的基礎(chǔ)上又一類型的概率問(wèn)題。條件概率是概率論中的一個(gè)重要概念，它是推導(dǎo)獨(dú)立事件概率公式的前提，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)事件的獨(dú)立性等概率知識(shí)的基礎(chǔ)，正確理解概念是解題的關(guān)鍵，所以學(xué)好這一節(jié)，對(duì)后續(xù)概率的學(xué)習(xí)有著鋪墊作用。而條件概率又是比較難理解的概念，在新課的講授過(guò)程學(xué)生總會(huì)有這樣或那樣的疑惑。下面我就如何把條件概率這節(jié)課講“懂”，使學(xué)生真正把知識(shí)學(xué)好學(xué)透徹，淺談我的一點(diǎn)見(jiàn)解。

1. 尋找條件概率——狄青的100枚銅幣

在我們生活的世界上，充滿著不確定性，從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化，從嬰兒誕生，到世間萬(wàn)物的繁衍生息，都充滿奇異的隨機(jī)現(xiàn)象。我們能根據(jù)現(xiàn)在預(yù)測(cè)未來(lái)嗎？或者一切都能心想事成嗎？這可以從狄青的100枚銅幣談起。

話說(shuō)北宋慶歷、皇祐年間，大將狄青奉旨征討儂智高時(shí)，來(lái)到桂林以南。當(dāng)時(shí)南方有崇拜鬼神的風(fēng)俗，于是，他拿了100枚銅幣向神許愿，說(shuō)：“如果這次出征能夠打敗敵人，那么把這些銅幣扔到地上，錢面定然會(huì)全部朝上。”左右官員都誠(chéng)惶誠(chéng)恐，力勸主帥放棄這個(gè)念頭——因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)告訴他們，這種嘗試是注定要失敗的。他們擔(dān)心最終弄不好，反而會(huì)動(dòng)搖部隊(duì)的士氣�？墒�，狄青對(duì)此概然不理，固執(zhí)如牛。在千萬(wàn)人的注視下，他突然舉手一揮，把銅幣全部扔到地上。結(jié)果這100枚銅幣的面，竟然鬼使神差般全部朝上。這時(shí)，全軍歡呼，聲音響徹山村原野。由于士兵個(gè)個(gè)認(rèn)定有神靈護(hù)佑，在戰(zhàn)斗中奮勇?tīng)?zhēng)先，迅速贏得了勝利。最后回師時(shí)，狄青的僚屬們一看才發(fā)現(xiàn)那些銅幣的兩面都是一樣的。

實(shí)際上，聰明的狄青便是注意到人們?cè)谟^察隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，往往過(guò)于相信自身的經(jīng)驗(yàn)，而忽視了前提條件。對(duì)于狄青來(lái)說(shuō)，100個(gè)錢面全部朝上，原本是個(gè)必然事件，但在別人看來(lái)，卻是幾乎不可能出現(xiàn)的。因此，觀察一種現(xiàn)象，不能忽視它的前提。在一種前提下的隨機(jī)事件，在另一種前提下可能成為必然事件。同樣地，在一種前提下的必然事件，在另一種前提下也可能不出現(xiàn)�？梢�(jiàn)，前提不同的話，隨機(jī)事件的概率可能發(fā)生變化。這也便是我們所要研究的條件概率。

2. 初識(shí)條件概率——抽簽先后概率一樣？

抽簽是生活常見(jiàn)的概率問(wèn)題，也是條件概率中最常見(jiàn)的例子。抽簽先后是否公平，也即各人抽到獎(jiǎng)票的概率是否相等，大體有如下一些看法：

(1) 先抽比后抽可能性大。第一人抽的時(shí)候，獎(jiǎng)票還在；假如獎(jiǎng)票被第一個(gè)人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。

(2) 后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先難抽到獎(jiǎng)票，而對(duì)第二個(gè)人來(lái)說(shuō)，這時(shí)簽紙總數(shù)減少了一張，所以抽中的概率變大。

(3) 先后抽的可能性一樣。當(dāng)每個(gè)人抽完簽之后都不看或者看了不聲張，每個(gè)人拿到獎(jiǎng)票的可能性是一樣的。

這些疑惑估計(jì)不止學(xué)生存在，或許連一些大人也會(huì)覺(jué)得很奇怪。“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，高于生活”，那如何讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度全面來(lái)理解此問(wèn)題呢？實(shí)際上，這是與條件概率相關(guān)的內(nèi)容，在此，我們可以借助概率的知識(shí)，提出以下問(wèn)題。

例：假設(shè)三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三位同學(xué)無(wú)放回地抽取。

(1) 可用什么模型來(lái)表述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)？

(2) 最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前兩名同學(xué)�。咳绾谓忉�？

(3) 如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率又是多少？如何解釋？

根據(jù)學(xué)生的生活體驗(yàn)和之前的概率知識(shí)，學(xué)生可以快速地得出答案，但至于為何是這樣的結(jié)果，學(xué)生也只有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。如果在此沒(méi)有認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)進(jìn)行分析，而直奔下一個(gè)主題——條件概率的概念，那會(huì)有欲速則不達(dá)的效果。因此，我把問(wèn)題分成三個(gè)小問(wèn)題，循序漸進(jìn)，讓知識(shí)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)發(fā)生，使學(xué)生“跳一跳”可以“摘到桃子”。

大部學(xué)生都知道每位同學(xué)都有的概率抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，可以想到利用古典概型來(lái)描述此問(wèn)題，因此在求解事件的概率時(shí)的方法便是列出基本事件。分析如下：

若抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券用表示，沒(méi)有抽到用表示，那么三名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果可記為，用B表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則，由古典概型計(jì)算公式可知，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為。

而當(dāng)?shù)谝幻�同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的時(shí)候，則中獎(jiǎng)只可能出現(xiàn)在另外兩名同學(xué)身上，即能出現(xiàn)的基本事件只有，所以最后一名同學(xué)的中獎(jiǎng)概率也變大為。用A表示事件“第一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則。這里，我們可以稱此時(shí)的概率為在第一名同學(xué)沒(méi)有抽到獎(jiǎng)券的條件A下，最后一名同學(xué)的中獎(jiǎng)B事件下的概率，記為。

這樣，我們通過(guò)對(duì)抽獎(jiǎng)例子的細(xì)致引導(dǎo)，可以使學(xué)生對(duì)抽簽的概率有更全面的了解，也形成對(duì)條件概率的初步認(rèn)識(shí)：每一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，而條件概率是指當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果的部分信息已經(jīng)知道的條件下進(jìn)行的，即在原隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的條件下再加上一些附加信息。

另外借助抽獎(jiǎng)的模型，學(xué)生可以明白在已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的時(shí)候，原來(lái)考慮的樣本空間里的一些基本事件不可能發(fā)生，從而原來(lái)的樣本空間縮小為可能發(fā)生的已知的條件事件A，而此時(shí)若要考慮B事件的發(fā)生概率，但只能在可能發(fā)生的事件A的基礎(chǔ)來(lái)考慮。這可以幫助學(xué)生形成計(jì)算條件概率的基本方法，通過(guò)縮小樣本空間來(lái)考慮。在此處由于抽簽問(wèn)題是古典概型，可以計(jì)算可能發(fā)生的基本事件數(shù)來(lái)求解，即。

3. 理解條件概率——骰子中的學(xué)問(wèn)大

一個(gè)概念的形成，單純從一個(gè)例子是很難講述清楚，特別是條件概率這個(gè)難理解的概念，會(huì)略顯單薄。下面我們還可以從學(xué)生很熟悉的擲骰子的例子來(lái)說(shuō)明。此例相對(duì)于抽簽的例子有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，便是相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)，但又有點(diǎn)熟悉。抽簽的例子中事件B是事件A的子事件，在求解概率時(shí)，相對(duì)比較容易計(jì)算，而且不太懂的情況下，也能根據(jù)直觀認(rèn)識(shí)求解出結(jié)果。下面擲骰子的例子可以從多方面來(lái)幫助學(xué)生形成更深層的概念，而且還能幫助學(xué)生理清積事件與條件概率的關(guān)系，避免出現(xiàn)混淆。

例：投擲紅、藍(lán)兩顆骰子，如果用x代表紅骰子所得點(diǎn)數(shù)，用y代表藍(lán)骰子所得點(diǎn)數(shù)，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間可以怎樣表示？

（1）事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，則P(A)=________

（2）事件B=“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P(B)=______

（3）事件C=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P(C)=__________

（4）事件D=“已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6的前提下，兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P(D)=___________

此問(wèn)題在設(shè)置的過(guò)程中，充分考慮了學(xué)生的基礎(chǔ)，從細(xì)處著手，前三個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生回顧古典概型的概率求法以及積事件的知識(shí)，為下面學(xué)習(xí)新知識(shí)做好知識(shí)方面的鋪墊。同時(shí)借助了坐標(biāo)系來(lái)表示這個(gè)基本事件空間，數(shù)形結(jié)合解決此問(wèn)題。

條件概率與積事件概率在概率論的運(yùn)算或應(yīng)用中容易混淆，這兩種事件的概率既有本質(zhì)的區(qū)別又存在一定的聯(lián)系。對(duì)于條件概率和積事件概率，如果不能從本質(zhì)上把它們的區(qū)別搞清楚，那么就會(huì)導(dǎo)致在解題或?qū)嶋H應(yīng)用中常常把應(yīng)屬于積事件概率的問(wèn)題錯(cuò)誤地當(dāng)成條件概率的問(wèn)題，有時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤還不易被發(fā)現(xiàn)。因此，在此設(shè)計(jì)了第（3）題的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生明確積事件的概念，為后面學(xué)習(xí)掃清障礙。為了讓學(xué)生有深刻和形象直觀的印象，我們還可以讓學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言來(lái)描述一下事件C。

第（4）題，可以引導(dǎo)學(xué)生類比之前抽簽例子，從圖形來(lái)得出只能在A可能發(fā)生的情況下來(lái)研究B的概率，利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)來(lái)算概率。從這里可以看出條件概率實(shí)際上是僅局限于事件A這個(gè)范圍，來(lái)考查事件B發(fā)生的概率，而事件AB則是在整個(gè)樣本空間來(lái)考慮。此處類比兩個(gè)概率的求解過(guò)程，體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)深化了對(duì)條件概率概念的理解。

同時(shí)還可以讓學(xué)生借助此題，觀察一下這三個(gè)概率之間的關(guān)系，得出條件概率的另外一種求解方法，即。由此得出條件概率的一般求解方法，適用于非古典概型。

由于本題比較有代表性，我們可以從中分析得出條件概率的相關(guān)性質(zhì)。由之前的兩個(gè)例子可以得出，如果學(xué)有余力的話，還可以借助本題，構(gòu)造不同的條件來(lái)研究一下與之間的大小關(guān)系。如：事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3”，事件B=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為6”，此時(shí)。這樣可以使學(xué)生對(duì)條件概率有更深層次的了解。

4. 應(yīng)用條件概率——生男生女概率一樣？

在日常生活中，條件概率的應(yīng)用還是比較廣泛的。如：

例題：一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩。假定生男、生女是等可能的，已知這個(gè)家庭有一個(gè)是女孩，你能算一下另一個(gè)小孩是男孩的概率有多大嗎？

這個(gè)問(wèn)題也是一個(gè)難點(diǎn)，可以讓學(xué)生進(jìn)行討論，在交流中感悟知識(shí)，解決問(wèn)題。不妨記基本事件空間為，A=“其中一個(gè)是女孩”，B=“其中一個(gè)是男孩”，下面把學(xué)生討論的一些結(jié)果收集如下：

(1) 容易受生物學(xué)知識(shí)干擾，得生男孩的概率是。實(shí)際上學(xué)生沒(méi)有把題目讀清楚，如果題目變成是“已知這個(gè)家庭第一個(gè)小孩是女孩，問(wèn)第二個(gè)是男孩的概率多大”，那當(dāng)然是。但本題卻是在已經(jīng)有了兩個(gè)小孩，在已經(jīng)知道其中一個(gè)是女孩的條件下，求另一個(gè)小孩是男孩的概率，而且這一個(gè)女孩也不知道排行第幾。

(2) 利用縮小樣本空間的方法，計(jì)算基本事件空間所含基本事件上出錯(cuò)，即把（男，女）與（女，男）視為同一個(gè)事件（一男，一女）。學(xué)生們自己找出問(wèn)題所在：等可能性。

(3) 利用定義求解時(shí)概率出錯(cuò)，即，，從而得出。問(wèn)題出在：事件A實(shí)際為“至少有一個(gè)是女孩”，在算A的基本事件時(shí)，如果直接借助挑出某一個(gè)是女生，則也是犯了與(2)同樣的錯(cuò)誤。當(dāng)然把A的基本事件算成也是錯(cuò)誤的，里面出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算的問(wèn)題。“至少”的問(wèn)題正確的求解方法應(yīng)該從正面分類或反面求解。

向?qū)W生傳授概率知識(shí)，這無(wú)疑是概率課的重要任務(wù)。問(wèn)題是如何把概率課講“懂”，使學(xué)生真正把知識(shí)學(xué)好。因此，從條件概率的教學(xué)過(guò)程中，要解決學(xué)生的疑惑，形成概念，教師要從多方面進(jìn)行細(xì)致考慮，并非簡(jiǎn)單地把知識(shí)、公式告訴學(xué)生就行。概率知識(shí)有著獨(dú)特的背景知識(shí)，所以在備課時(shí)要盡量發(fā)掘有關(guān)概論、定理、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，了解那些被寫到科普文章里去的數(shù)學(xué)史料，如此節(jié)課的狄青擲100枚硬幣的故事。在概念形成教學(xué)中，教師還必須讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動(dòng)，使他們有機(jī)會(huì)經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念進(jìn)行對(duì)比分化，并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去。

數(shù)學(xué)新課程中，概率可以說(shuō)是最讓教師感到“頭疼”的內(nèi)容之一。這個(gè)具有獨(dú)特思維方式的領(lǐng)域既難教又難學(xué)，如何更好地照顧這個(gè)“新生兒”，是廣大教師將會(huì)一直思索的問(wèn)題，前路漫漫，我們將上下求索……

參考文獻(xiàn)：

【1】 張遠(yuǎn)南．概率和方程的故事．中國(guó)少年兒童出版社．2005.7

【2】 林寶磊．運(yùn)算作主線，概率學(xué)習(xí)可以更美的．

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