二元函數(shù)極限證明
設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b),當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。
此外,我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。
我們必須注意有以下幾種情形:’
(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在
(2)兩個二次極限存在而不相等
(3)兩個二次極限存在且相等,但二重極限仍可能不存在
2
函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在,不妨設(shè):limf(x)=a(x→x0)
根據(jù)定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即為x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)
又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取m=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)|
證畢
3首先,我的方法不正規(guī),其次,正確不正確有待考察。
1,y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。
2,3可以用類似的方法,貌似同濟書上是這么說的,二元函數(shù)在該點極限存在,是p(x,y)以任何方式趨向于該點。
4
f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在
而當(dāng)x->0,y->0時
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以顯然當(dāng)x->0,y->0時,f的極限就為0
這個就是你說的,唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的
正無窮或負無窮或無窮,我想這個就可以了
就我這個我就線了好久了
5
(一)時函數(shù)的極限:
以時和為例引入.
介紹符號:的意義,的直觀意義.
定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數(shù)的極限:
由考慮時的極限引入.
定義函數(shù)極限的“”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.
例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義:單側(cè)極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.
例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
th類似有:例10證明:極限不存在.
例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)
教學(xué)目的:使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求:掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì):唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。
教學(xué)重點:函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。
教學(xué)難點:函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
教學(xué)方法:講練結(jié)合。
一、組織教學(xué):
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.
二、講授新課:
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使,都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.
5.迫斂性:
6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限:已證明過以下幾個極限:
(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.
利用極限性質(zhì),特別是運算性質(zhì)求極限的原理是:通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.
例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.
例4
例5例6例7
第二篇:二元函數(shù)的極限2 二元函數(shù)的極限
(一) 教學(xué)目的:
掌握二元函數(shù)的極限的定義,了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系.
(二) 教學(xué)內(nèi)容:二元函數(shù)的極限的定義;累次極限.
基本要求:
(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義,了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系,熟悉判別極限存在性的基本方法.
(2) 較高要求:掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系,能用來處理極限存在性問題.
(三) 教學(xué)建議:
(1) 要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別,教會他們求多元函數(shù)極
限的方法.
(2) 對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系,通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法.
一二元函數(shù)的極限
先回憶一下一元函數(shù)的極限: limf(x)?a 的“???” 定義(c31):
x?x0
0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義,如果對
???0,當(dāng) x?u(x0,?),即 |x?x0|?? 時,都有 |f(x)?a|??,???0,???1,
則稱x?x0時,函數(shù)f(x)的極限是 a.
類似的,我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下:
設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù),在點p0(x0,y0)為d的一個聚點,
a是一個確定的常數(shù),如果對 ???0,???0,使得當(dāng) p(x,y)?u(p0,?)?d 時,0都有 |f(p)?a|??,則稱f在d上當(dāng) p?p0時,以a為極限。記作
p?p0p?dlimf(p)?a
也可簡寫為limf(p)?a或
p?p0(x,y)?(x0,y0)
2limf(x,y)?a 例1用定義驗證
2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7 222證明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|
?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|
限制在 (2,1)的鄰域 {(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}
|x?3|?6,
|x?y?1|?6
取 ??min{1,?/6},則有
|x?xy?y|??
由二元函數(shù)極限定義lim
(x,y)?(2,1)
(x?xy?y)?7
22
22
?x?y
,(x,y)?(0,0)?xy22
例2 f(x,y)??x?y,
?0,(x,y)?(0,0)?
證明lim
(x,y)?(0,0)
f(x,y)?0
x?yx?y
22
22
證|f(x,y)|?|xy
所以
lim
(x,y)?(0,0)
|?|xy|
lim
(x,y)?(0,0)
|f(x,y)|?lim
(x,y)?(0,0)
|xy|?0
|f(x,y)|?0
對于二元函數(shù)的極限的定義,要注意下面一點:
p?p0
limf(p)?a 是指: p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0),包括沿任何直線,沿任
何曲線趨于p0(x0,y0) 時,f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。
對于一元函數(shù),x 僅需沿x軸從x0的左右兩個方向趨于x0,但是對于二元函數(shù),p趨于p0的路線有無窮多條,只要有兩條路線,p趨于p0時,函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù),二元函數(shù)在p0點極限就不存在。
?1,0?y?x2
例1 二元函數(shù)f(x,y)??
?0,rest
請看圖像(x62),盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點時f(x,y)都趨于零,但也不能說該函數(shù)在原點的極限就是零,因為當(dāng)p(x,y)沿拋物線 y?kx,0?k?1時, f(x,y)的值趨于1而不趨于零,所以極限不存在。
(考慮沿直線y?kx的方向極限 ).?x2y
,?
例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2
?0,?
(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)
求證limf(x,y)?0
x?0
y?0
證明因為|f(x,y)?0|?
x|y|x?y
?
x|y|x
?|y|
所以, 當(dāng) (x,y)?(0,0)時, f(x,y)?0。
請看它的圖像,不管p(x,y)沿任何方向趨于原點,f(x,y)的值都趨于零。
通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩
p?p0
個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān) .
但應(yīng)注意 ,沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在. 例3
設(shè)函數(shù)
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)
?xy
,?22
f(x,y)??x?y
?0,?
證明函數(shù) f(x,y)在原點處極限不 存在。
證明盡管 p(x,y)沿 x軸和y軸
趨于原點時 (f(x,y)的值都趨于零, 但沿直線y?mx 趨于原點時
x?mxx?(mx)
f(x,y)??
mx
22
(1?m)x
?
m1?m
沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣,請看它的圖象, 例1沿任何路線趨于原點時,
極
限都是0,但例2沿不同的路線趨于原點時,函數(shù)趨于不同的值,所以其極限不存在。
例4
非正常極限極限
lim
(x,y)?(x0,y0)
判別函數(shù)f(x,y)?
xy?1?1x?y
在原點是否存在極限.
f(x,y)???的定義:
12x?3y
例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)??
x?0y?0
證|
12x?3y
|?|
13(x?y)
|
只要取??
16m
|x?0|??,|y?0|??時,都有
|
12x?3y16?
22
|?|
13(x?y)
|
??m
12x?3y
請看它的圖象,因此是無窮大量。
例2求下列極限: i)
lim
xyx?y
22
;ii)
(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)
lim
sinxyy
;
iii)
(x,y)?(0,0)
lim
xy?1?1xy
;iv)
(x,y)?(0,0)
lim
ln(1?x?y)
x?y
22
.
二.累次極限: 累次極限
前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時的極限,我們稱它為二重極限,對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時 f(x,y)的極限,稱為累次極限。 對于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個
limlimf(x,y)和limlimf(x,y)
y?y0x?x0
x?x0y?y0
例1
f(x,y)?
xyx?yx?yx?y
222
, 求在點( 0 , 0 )的兩個累次極限.
22
例2 f(x,y)?, 求在點( 0 , 0 )的兩個累次極限 .
例3 f(x,y)?xs(請你支持:m.hmlawpc.comlim
x?y?x?y
x?yx?y?x?y
x?y
y?0x?0
?lim
y?0
?lim(y?1)??1
y?0
?lim(x?1)?1
x?0
limlim
x?0y?0
?lim
x?0
(2) 兩個累次極限即使都存在而且相等,也不能保證二重極限存在 例f(x,y)?
xyx?y
xyx?y
, 兩個累次極限都存在
limlim
y?0x?0
?0,limlim
xyx?y
x?0y?0
?0
但二重極限卻不存在,事實上若點p(x,)沿直線 y?kx趨于原點時,
kx
f(x,y)?
x?(kx)
?
k1?k
二重極限存在也不能保證累次極限存在
二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù) f(x,y)?xsin
1y?ysin
1x
由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可見二重極限存在 ,但
1x
limsin
x?0
和limsin
y?0
1y
不存在,從而兩個累次極限不存在。
(4)二重極限極限lim
(x,y)?(x0,y0)
f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存
x?x0y?y0
在 , 則必相等.( 證 )
(5)累次極限與二重極限的關(guān)系
若累次極限和二重極限都存在, 則它們必相等
第三篇:二元函數(shù)極限的研究二元函數(shù)極限的研究
作者:鄭露遙指導(dǎo)教師:楊翠
摘要 函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容,二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。
關(guān)鍵詞 二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達法則、運算定理
1 引言
函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容, 關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如, 在極運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限變得復(fù)雜得多, 但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時, 函數(shù)值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是, 一 般來說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題, 主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(lho sp ital) 法則。類似地, 二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達法則。為了敘述上的方便, 對它的特殊情形(即(x0,y0) = (0, 0) ) 作出如下研究, 并得到相應(yīng)的法則與定理 。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的 一個基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時, 函數(shù)
值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是, 一
般來說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無論從計算還
是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如
下探討。
第四篇:二元函數(shù)的極限與連續(xù)2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)
定義
設(shè)二元函數(shù)有意義, 若存在
常數(shù)a,
都有
則稱a是函數(shù)當(dāng)點 趨于點
或
或
趨于點時的極限,記作
。
的方式無關(guān),即不,當(dāng)(即)時,在點的某鄰域內(nèi)或
必須注意這個極限值與點
論p以什么方
向和路徑(也可是跳躍式地,忽上忽下地)趨向
分接近, 就能 使。只要p與 充與a 接近到預(yù)先任意指定的程度。注意:點p趨于點點方式可有無窮多
種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多(圖8-7)。
圖8-7
同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點p按兩個特殊的路徑趨于點時,
極限
在該點
存在,但不相等, 則可以判定元函數(shù)極限不 存在的重要方法之一。
極限不存在。這是判斷多
一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極
限理論中都適用,在這里就不一一贅述了。例如若
有
, 其中
。
求多元函數(shù)的極限, 一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求, 或利用夾逼定理
來計算。例4 求。解由于
,
而
,根據(jù)夾逼定理知
,所以 。
a≠0)
。
解
例
求
(
。例6 求。解
由于理知
且,所以根據(jù)夾逼定
.例7
研究函數(shù)
在點
處極限是否存在。解當(dāng)x2
+y2≠0時,我們研究函數(shù),沿x→0,y=kx→0這一方式趨于
(0,0
)的極限,有值,可得到不同的極 限值,所以極限
不存在,但
,。很顯然,對于不同的k
。
注意:極限方式的
的區(qū)別, 前面兩個求
本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個是求二元函數(shù)的
極限,我們稱為求二重極限。
例8
設(shè)函數(shù)極限都不存在,因
為對任何
,當(dāng)
時
,
。它關(guān)于原點的兩個累次
的第二項不存在極限;同理對任何
時, 的第 一項也不存在極限,
但是因此
。
由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存
在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1 若累次極限
都存在,則
三者相等(證明略)。推論
若但不相等,
則二重極限
不
存在
和二重極
限
,
由于
,
存在。定義 設(shè)
在點的某鄰域內(nèi)有意義,
且稱
函
數(shù)
,則
在
點
處
連
續(xù)
,
記
上式稱為函數(shù)(值)的全增
量
。
則。
定義
增量。
為函數(shù)(值)對x的偏
二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為
偏增量。
若
斷點, 若
在點
為函數(shù)(值)對y的
處不連續(xù),
則稱點
是
的間
在某區(qū)域
在區(qū)域g上連續(xù)。若
在閉區(qū)域g
g上每一點都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點都連 續(xù),并在g的連界點
處成立
,
則稱
為連續(xù)曲面。
在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱
關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、cantor
定理,對于
二元函數(shù)也相應(yīng)成立?梢宰C明如下的重要結(jié)果:定理2設(shè)
在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則
(1)必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;(2
)
,當(dāng)
時,都有
。以上關(guān)于二元函數(shù)的
在g上一致連續(xù),即
極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。
第五篇:函數(shù)極限的證明函數(shù)極限的證明
(一)時函數(shù)的極限:
以時和為例引入.
介紹符號:的意義,的直觀意義.
定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數(shù)的極限:
由考慮時的極限引入.
定義函數(shù)極限的“”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.
例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義:單側(cè)極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.
例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
th類似有:例10證明:極限不存在.
例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)
教學(xué)目的:使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求:掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì):唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。
教學(xué)重點:函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。
教學(xué)難點:函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
教學(xué)方法:講練結(jié)合。
一、組織教學(xué):
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.
二、講授新課:
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使,都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.
5.迫斂性:
6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限:已證明過以下幾個極限:
(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.
利用極限性質(zhì),特別是運算性質(zhì)求極限的原理是:通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.
例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.
例4
例5例6例7
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