第一篇：余弦定理及其證明

余弦定理及其證明

1.三角形的正弦定理證明：

步驟1.

在銳角△abc中，設(shè)三邊為a，b，c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟2.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

如圖，任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.

連接da.

因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠dab=90度

因?yàn)橥�弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

a/sina=bc/sind=bd=2r

類似可證其余兩個(gè)等式。

2.三角形的余弦定理證明：

平面幾何證法：

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據(jù)勾股定理可得：

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc于d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因?yàn)閏osc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

題目中^2表示平方。

2

談?wù)�、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosc,

b2=a2+c2-2accosb,

a2=b2+c2-2bccosa.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是△abc的三條高。則有

ad=b•sin∠bca，

be=c•sin∠cab，

cf=a•sin∠abc。

所以s△abc=a•b•csin∠bca

=b•c•sin∠cab

=c•a•sin∠abc.

證法二：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是△abc的3條高。則有

ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc，

be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。

證法三：如圖2，設(shè)cd=2r是△abc的外接圓

的直徑，則∠dac=90°，∠abc=∠adc。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量ac垂直。

因?yàn)閍b=ac+cb，

所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb.

因?yàn)閖•ac=0，

j•cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a•sinc，

j•ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c•sina.

二、余弦定理的證明

法一：在△abc中，已知，求c。

過a作，

在rt中，，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、有

即.

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2accosb.

法二：如圖5，

,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知

，

即

將(1)式改寫為

化簡得b2-a2-c2=-2accosb.

即b2=a2+c2-2accosb.(4)

第二篇：正、余弦定理及其應(yīng)用

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正、余弦定理及其應(yīng)用

作者：夏志輝

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》201*年第10期

正、余弦定理及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是高考必考知識點(diǎn)之一，也是解三角形的重要工具，常常會(huì)結(jié)合三角函數(shù)或平面向量的知識來考查其運(yùn)用.

重點(diǎn)難點(diǎn)

在高考中，本部分知識所考查的有關(guān)試題大多為容易題. 在客觀題中，突出考查正、余弦定理及其推論所涉及的運(yùn)算；在解答題中，通常聯(lián)系三角恒等變形、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等知識進(jìn)行綜合考查，常見的有證明、判斷、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面積等）及解決實(shí)際問題等題型.

重點(diǎn)：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運(yùn)用正、余弦定理解決一些實(shí)際問題以及與其他知識相互滲透的綜合問題.

難點(diǎn)：①解三角形時(shí)解的情況的討論；②正、余弦定理與三角恒等變換等知識相互聯(lián)系的綜合問題.

第三篇：余弦定理證明過程

在△abc中，設(shè)bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據(jù)b，c，a來表示a。�� 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，邊a可(收藏好 范 文，請便下次訪問m.hmlawpc.coma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，

所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

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