第一篇：極限證明

極限證明

1.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當(dāng)k?n?1時(shí)，?x， limf(k)(x)?0． x???

2.設(shè)f(x)??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時(shí)f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù)，且xlim???x???

5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x. n??xn??n

7.用肯定語氣敘述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。 an?1

t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對(duì)每點(diǎn)x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時(shí)，

為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。

10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.

11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是與n無關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.

15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個(gè)數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f"?xn??0.

16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f"?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

??

?r?0?.

i

?1?證明：limu??f?u????;?2?求ir???f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

d

r

17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f"?x??c?0?c為常數(shù)?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語言證明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?sn?x??的每一項(xiàng)sn?x?都在x0連續(xù)，u是以x0為中心的某個(gè)開區(qū)間，

在u??x0?內(nèi)閉一致收斂于s?x?,又limn??sn?x0????,證明：lims?x????.

x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設(shè)?

f(x)= 0. 證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù)，???

24.設(shè)a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對(duì)于充分小的h，m?h?與m?h?分別表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?(本文來源公文素材庫(kù)m.hmlawpc.com)a處連續(xù)的充要條件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設(shè)x1?0，xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來。

n??3?xn

??

29.用“???語言”證明lim30.設(shè)f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2

，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（a）對(duì)任意自然數(shù)n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個(gè)正根；

（b）設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及l(fā)imf(yn)?b(n??)，則對(duì)a，b之間的任意數(shù)?，

可找到數(shù)列xn?a，使得limf(zn)??

33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?k

b?a

34.設(shè)f‘(0)?k,試證明lim

a?0?b?0?

35.設(shè)f(x)連續(xù)，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?"(x)在x?0處的連續(xù)性。

f(x)

，求?"(x)，并討?a（常數(shù)）

x

36． 給出riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實(shí)數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。 n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2. 證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無窮正實(shí)數(shù)列，試證存在無窮正實(shí)數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0

f?2x??f?x??a,求證：f"?0?存在且等于a.

x

1n

40.無窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f"?x??0,f""有界，則limt??f"?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級(jí)數(shù)?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?n201*an收斂，試證明limn201*an?0;

n??

n?1

?

?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對(duì)任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。 45.設(shè)an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設(shè)f為上實(shí)值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4

，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???asn?，用定義證明{sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內(nèi)存在一個(gè)單

x??x

調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f""?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

第二篇：極限的證明

極限的證明

利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，(inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準(zhǔn)則:

x大于1時(shí),lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時(shí),顯然極限為√a

x0>√a時(shí),xn-x(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減

且xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.

設(shè)數(shù)列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.

對(duì)原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a時(shí),極限亦為√a

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.

介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.

定義函數(shù)極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.

例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.

例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.

例4

例5例6例7

第三篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第四篇：函數(shù)極限的證明

函數(shù)極限的證明

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.

介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.

定義函數(shù)極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.

例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.

例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.

例4

例5例6例7

第五篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,當(dāng)x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在n2，當(dāng)x>n2時(shí)，0<=f2(x)同理，存在ni，當(dāng)x>ni時(shí)，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};

那么當(dāng)x>n,有

(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m<=^(1/n)

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