第一篇:向量法證明不等式
向量法證明不等式
高中新教材引入平面向量和空間向量,將其延伸到歐氏空間上的n維向量,向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算,則高中階段的向量即為n=2,3時的情況.
設(shè)a,b是歐氏空間的兩向量,且a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)(xi,yi∈r,i=1,…,n)
規(guī)定a·b=(x1,x2,…,xn)·(y1,y2,…,yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.
(注:a·b可記為(a,b),表示兩向量的內(nèi)積),有
由上,我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式,進而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.
一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即
例1設(shè)a,b,c∈r+,求證:(a+b+c)≤++≤.
證明:先證左邊,設(shè)m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),
則由
綜上,原不等式成立.
點評:利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊,利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.
作單位向量j⊥ac
j(ac+cb)=jab
jac+jcb=jab
jcb=jab
|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)
即|cb|sinc=|ab|sina
a/sina=c/sinc
其余邊同理
在三角形abc平面上做一單位向量i,i⊥bc,因為ba+ac+cb=0恒成立,兩邊乘以i得i*ba+i*ac=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義,i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc類似地,做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc
步驟1
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟3.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
類似可證其余兩個等式。
第二篇:用向量可以證明不等式
運用向量可以證明不等式
向量一章中有兩處涉及到不等式,其一,
?a?a+???b?a?b或-???b?a?b;其二,??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,后者是數(shù)量積的性質(zhì),這兩個結(jié)論用于證明不等式,可以使證明思路清晰明快,過程簡單明了之功效。
????
一、利用a-b?a?b證明不等式
例1
、函數(shù)f(x)?,a?b,求證:
f(a)?f(b)?a?b
解析:f(a)?f(b)?a?b
即??a?b
??
構(gòu)造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b),?可??以理解為兩個向量的模的差a?b,那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模,其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????
因此,原不等式等價于證明a?b?a?b,其中a?b,向量 ??a和b不可能同向,不取等號。
????
二 利用a?b?ab證明不等式
2222例2 、已知實數(shù)mnxy滿足m?n?a,x?y?b
(a?b),求mx?ny得最大值
???解析:構(gòu)造向量a?(m,n),b?(x,y),
則a?? ??a?b?mx?ny????,因為a?b?ab,所以mx?ny
?
?my
?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?
1,解析: 構(gòu)造向
量???a?b?1m?,n??
12?2 ???n?(1,1),m?,。 ???
。m?n?????因為m?n???
m?n
所以,
??????n??n?2。
第三篇:用向量法證明
用向量法證明
步驟1
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟3.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!
2
設(shè)向量ab=a,向量ac=b,向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm,連接bd,cd,則abcd為平行四邊形
則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c
平方(1)
向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d
平方(2)
(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2
3
已知ef是梯形abcd的中位線,且ad//bc,用向量法證明梯形的中位線定理
過a做ag‖dc交ef于p點
由三角形中位線定理有:
向量ep=½向量bg
又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質(zhì))
∴向量pf=½(向量ad+向量gc)
∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)
∴向量ef=½(向量ad+向量bc)
∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)
得證
4
先假設(shè)兩條中線ad,be交與p點
連接cp,取ab中點f連接pf
pa+pc=2pe=bp
pb+pc=2pd=ap
pa+pb=2pf
三式相加
2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf
3pa+3pb+2pc=2pf
6pf+2pc=2pf
pc=-2pf
所以pc,pf共線,pf就是中線
所以abc的三條中線交于一點p
連接od,oe,of
oa+ob=2of
oc+ob=2od
oc+oc=2oe
三式相加
oa+ob+oc=od+oe+of
od=op+pd
oe=op+pe
of=op+pf
oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp
由第一問結(jié)論
2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp
2pa+2pb+2pc=0
1/2ap+1/2bp+1/2cp
所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op
向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)
第四篇:構(gòu)造法證明不等式
構(gòu)造法證明不等式
由于證明不等式?jīng)]有固定的模式,證法靈活多樣,技巧性強,使得不等式證明成為中學數(shù)學的難點之一.下面通過數(shù)例介紹構(gòu)造法在證明不等式中的應用.
一、構(gòu)造一次函數(shù)法證明不等式
有些不等式可以和一次函數(shù)建立直接聯(lián)系,通過構(gòu)造一次函數(shù)式,利用一次函數(shù)的有關(guān)特性,完成不等式的證明.
例1設(shè)0≤a、b、c≤2,求證:4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
證明:視a為自變量,構(gòu)造一次函數(shù)
=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc),
由0≤a≤2,知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0,
=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0,
可見上述線段在橫軸及其上方,∴≥0,即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
二、構(gòu)造二次函數(shù)法證明不等式
對一些不等式證明的題目,若能巧妙構(gòu)造一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)的有關(guān)特性,可以簡潔地完成不等式證明.
例2實數(shù)a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0,求證:(b-c)>4a(a+b+c).
證明:由已知得a=0時,b≠c,否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾,
故a=0時,(b-c)>4a(a+b+c)成立.
當a≠0時,構(gòu)造二次函數(shù)=ax+(b-c)x+(a+b+c),則有
=a+b+c,=2(a+c),而·=2(a+c)(a+b+c)<0,
∴存在m,當-1
第五篇:不等式的證明(一)(比較法)測試
不等式的證明(一)(比較法)
點擊要點
1.作差比較法證明不等式的步驟是:、、變形是手段,判斷差的符號才是目的.常用的變形方法有:配方法、通分法、因式分解法等.有時把差變形為常數(shù),有時變形為常數(shù)與幾個數(shù)平方和的形式,有時變形為幾個因式積的形式等.總之,變形到能即可.
2.商比法:若b>0,欲證a≥b,只需證
步驟:;;判斷商值與的大小關(guān)系.
指數(shù)不等式常用證明.有時要用到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).如若a>1,且x>0,則等. 學習策略
解答本節(jié)習題應把握以下幾個方面:(1)準確理解比較法的概念;(2)綜合應用作差比較法、作商比較法證明不等式;(3)要注意等價轉(zhuǎn)化的思想、化歸思想的應用;(4)本節(jié)知識易錯點是不能合理運用因式分解和正確使用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題。
高考展望
本節(jié)知識在高考中以考查比較法證明不等式為主,考點有比較法證明不等式,經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識結(jié)合考查,多以選擇題、填空題為主。
練好你的基本功!
1.已知a、b、c∈r,那么,下列命題正確的是()
ab??22 a.a(chǎn)>b?ac>bcb.cca>b
c.a(chǎn)3>b3且ab>0?1111???22abd.a(chǎn)>b且ab>0ab
2.設(shè)a、b∈r,下面的不等式成立的是()
a.a(chǎn)2+3ab>b2b.a(chǎn)b-a>b+ab
aa?1?bb?1d.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1) c.
3.在橫線上填寫恰當?shù)姆?>,≥,=,<,≤)
2x
2(1)若x∈r,且x≠1,那么,1?x.
(2)若0<a<1,那么(1-a)-a). 1413
(3)若a>0,a≠1,那么loga(1+a)_____loga(1+a).
(4)當x≥1時,那么x5+x4+x32+x+1.
4.設(shè)p=a2b2+5,q=2ab-a2-4a,若p>q,則實數(shù)a,b滿足的條件為________.
5.設(shè)a>0,b>0,則下面兩式的大小關(guān)系為2lg(1+ab)_____lg(1+a)+lg(1+b).提升你的能力!基礎(chǔ)鞏固題
1.設(shè)0<a<2,下列不等式成立的是()
1111?1?a2?1?a2?1?a2??1?a2?1?ab.1?a1?a a.1?a
c.1?a2?1111??1?a2?1?a2??1?a21?a1?a1?ad.1?a
2.若a<b<0,則下列不等式關(guān)系中不能成立的是()
11?a.a(chǎn)b
11?b.a(chǎn)?ba
c.|a|>|b|
d.a(chǎn)2>b2
3.若a>0,b>0,m>0,且a<b,則下列不等式中恒成立的是()
aa?maa?m??1?a.bb?mb.bb?(收藏好 范 文,請便下次訪問m.hmlawpc.com)m
aa?ma?ma??11??b?mb c.bb?md.
4.設(shè)a、b∈r,用不等號連接下列兩個式子,a2+b2+ab+1_____a+b.
5.已知a>b>c,求證:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2
綜合應用題
11?1.a(chǎn),b∈r,那么ab成立的一個充分非必要條件是()
a.a(chǎn)>bb.a(chǎn)b(a-b)<0c.0<a<bd.a(chǎn)<b
2.設(shè)0<a<b<1,則a+b,2ab,a2+b2,2ab中最大的值是()
ab a.a(chǎn)2+b2b.a(chǎn)+bc.2abd.2
3.已知a>b>0,則下列不等式成立的是()
a.a(chǎn)>b>2>abb.a(chǎn)>2>ab>b
a?ba?b
c.a(chǎn)>2>b>abd.a(chǎn)>ab>2>b
4.若x為正數(shù),且x3-x=2,則x與5的大小關(guān)系為_____.
a2b2
5. 設(shè)a>b>c,求證:a?b+b?c>a+2b+c.
6.已知a>b>c>0,求證:aabbcc>(abc)1(a?b?c)3
探索創(chuàng)新題
1x?1
1.11.設(shè)a>0,a≠1,x>0,比較2logax與loga2的大小,并證明你的結(jié)論.
2.12.甲、乙兩個糧油公司,同時在某地按同一批發(fā)價格購進糧食,他們各購糧兩次,已知每次批發(fā)價格互不相同,甲公司每次購糧為1萬千克,乙公司每次用1萬元購糧,試比較這兩種購糧方法,哪一種購糧方法購得的糧食平均批發(fā)價格較低,并證明你的結(jié)論.試試你的身手!1.
2.
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