第一篇：向量積分配律的證明

向量積分配律的證明

三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。

下面把向量外積定義為：

a×b=|a|·|b|·sin.

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：

1)外積的反對稱性：

a×b=-b×a.

這由外積的定義是顯然的。

2)內(nèi)積(即數(shù)積、點積)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.

這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。

3)混合積的性質(zhì)：

定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：

i)(a×b)·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。

從而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我們可以記a,b,c的混合積為(a,b,c).

由i)還可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：

iv)若一個矢量a同時垂直于三個不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。

下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。

設(shè)r為空間任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移項，再利用數(shù)積分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必為零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.

證畢。

三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。

下面把向量外積定義為：

a×b=|a|·|b|·sin.

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：

1)外積的反對稱性：

a×b=-b×a.

這由外積的定義是顯然的。

2)內(nèi)積(即數(shù)積、點積)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.

這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。

3)混合積的性質(zhì)：

定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：

i)(a×b)·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。

從而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我們可以記a,b,c的混合積為(a,b,c).

由i)還可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：

iv)若一個矢量a同時垂直于三個不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。

下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。

設(shè)r為空間任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移項，再利用數(shù)積分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必為零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.

證畢。

第二篇：1201*-向量數(shù)量積的運算律

向量數(shù)量積的運算律

制作人：張明娟審核人：葉付國使用時間：201*-5-8編號：1201* 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、 掌握平面向量數(shù)量積的運算律及其運算；

2、 通過向量數(shù)量積分配律的學(xué)習(xí)，體會類比、猜想、證明的探索性學(xué)習(xí) 方法；

3、通過解題實踐，體會向量數(shù)量積的運算方法.

學(xué)習(xí)重點：向量數(shù)量積的運算律及其應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點：向量數(shù)量積分配律的證明.

重點知識回顧：

1、兩個向量的夾角的范圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數(shù)量為；

??3、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）：a·b=；

4、兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數(shù)量積的運算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c

22 平面向量數(shù)量積的常用公式

(1)(a2

(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，

??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：

22 （）a?b；（2）a?

b；（3）（2a 1

（4?5

? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角為120，問t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.

練習(xí)題:求證菱形的對角線互相垂直.

例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.

課堂小結(jié)：

跟蹤練習(xí)：

1、下列運算不正確的是（）

a.??a??b??c??a????b?c??b.???a?b??c??a??c???b?c?

c.m???a???b?ma??mbd. ?a???b??c??a????b?c??

2、設(shè)e?、e?，則?2e????

12是兩個單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（

a.?99

2b. 2c.?8d.8

3、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4， ?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b

）

第三篇：平面向量的數(shù)量積及運算律的教案說明

《平面向量的數(shù)量積及運算律》的教案說明

新疆石河子第一中學(xué)曹麗梅

一、教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：

本教案是人教版高中數(shù)學(xué)第一冊（下）第五章平面向量的第六節(jié)內(nèi)容，整個課題按照課程標(biāo)準(zhǔn)分兩個課時，這是第一課時的教案。

平面向量數(shù)量積第一課時的教學(xué)，通常要求形成數(shù)量積的概念，得出數(shù)量積運算的公式，并把培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和應(yīng)用意識的目標(biāo)，有機地融入知識學(xué)習(xí)和技能形成的過程之中。平面向量數(shù)量積是平面向量的重點內(nèi)容之一，也是難點之一，這一節(jié)主要介紹兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法，是中學(xué)代數(shù)中從未遇到過的一種新的乘法，與數(shù)的乘法有區(qū)別，同時這一節(jié)與下一節(jié)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示有著緊密聯(lián)系。由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的橋梁。而這一切之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，平面向量的數(shù)量積功不可沒。通過對這一節(jié)的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積，幾何意義，重要性質(zhì)及運算律，又可使學(xué)生了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度，和垂直問題，而且為平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)做了充分準(zhǔn)備，對后面正，余弦定理的證明起到至關(guān)重要的作用，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容起著承前啟后的作用。

根據(jù)“平面向量的數(shù)量積及運算律”在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用，并且考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)以人為本注重對學(xué)生自主能力的培養(yǎng)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，觀察問題，進而得以解決問題，在這一過程中希望能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用及滲透

平面向量作為一種工具，重在應(yīng)用，而且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題；而平面向量的數(shù)量積作為一種特殊的運算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長，夾角，推導(dǎo)正、余弦定理等。

由于向量來源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，眾所周知，物理與數(shù)學(xué)是密不可分的，而向量在物理中的應(yīng)用比比皆是，舉不勝舉，反過來物理又可為某些數(shù)學(xué)知識作有效的解釋。比如：本課時的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實上這也就是平面向量數(shù)量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學(xué)生更容易理解平面向量數(shù)量積的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。同時解析幾何也往往將向量作為有力的解題工具。

三、教學(xué)分析

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)：“數(shù)學(xué)課程要實現(xiàn)：人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”同時，她倡導(dǎo)的“關(guān)注過程”“強調(diào)本質(zhì)”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”“發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識”等都向我們昭示出高中數(shù)學(xué)課程的價值取向。

為使《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》得以順利實施，教師理應(yīng)不斷更新教學(xué)觀念，努力成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者。通過精心設(shè)計、實踐與反思，不斷改進教學(xué)方法和教學(xué)手段??以優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)的效率。課程設(shè)計必須從學(xué)生的角度出發(fā)，要與學(xué)生的經(jīng)歷和經(jīng)驗相聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的體驗、感悟和實踐過程。

基于以上認(rèn)識，對于“平面向量數(shù)量積及運算律”引入，我進行了這樣的

教學(xué)設(shè)計： 首先演示一個外力作功的實驗：m.hmlawpc.com)知識解決問題的能力將得到提高。由于課堂教學(xué)準(zhǔn)備的較充分，基本能達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。

教學(xué)反思，是教師對自身教學(xué)工作的檢查與評定，是整理教學(xué)中的反饋信息，適時總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)、找出教學(xué)的成功與不足的重要過程。因此教學(xué)后適時的反思有利于促進教學(xué)，以上就是我對本節(jié)課的理解和反思。

第四篇：用正弦定理證明三重向量積

用正弦定理證明三重向量積

作者：光信1002班 李立

內(nèi)容：通過對問題的討論和轉(zhuǎn)化，最后用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先，根據(jù)叉乘的定義，a、b、a?b可以構(gòu)成一個右手系，而且對公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn)，在公式中，a與b是等價的，所以我們不妨把a、b、a?b放在一個空間直角坐標(biāo)系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：

其中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

將式子帶入三重向量積的公式中，發(fā)現(xiàn)，化簡得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個式子等價

現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類推。

由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設(shè)(

a?b)?c?xa?yb，

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因為a?b）?c?abcsina,b

所以，解得k=abc， 于是解得：

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值，所以x，y都取負(fù)值，

所以，

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相對角度關(guān)系，以此類推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。

小結(jié)論：當(dāng)直觀解答有困難時，可以通過分析轉(zhuǎn)化的方法來輕松地解決。

第五篇：兩個向量的數(shù)量積

8、《兩個向量的數(shù)量積》說課稿

尊敬的各位評委老師：

大家好！今天我說課的內(nèi)容是《兩個向量的數(shù)量積》�，F(xiàn)代教育理論指出學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)、以學(xué)生活動為主線、在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上、建構(gòu)新的知識體系。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，我將此理念貫穿于整個教學(xué)過程中。下面就從教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、重難點分析、教法分析、學(xué)法分析、教學(xué)設(shè)計、板書設(shè)計及教學(xué)評價等方面進行說明。

一、教材分析

《兩個向量的數(shù)量積》是現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)第二冊下第九章第5節(jié)的內(nèi)容。在本節(jié)之前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的一些知識，包括空間向量的坐標(biāo)運算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識是學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ)。

向量概念的引入是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個捷徑，同時也引入了一種新的解決數(shù)學(xué)問題的方法：坐標(biāo)法，同時也引入了一種新的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想。同時，兩個向量之間的位置關(guān)系可以通過數(shù)量積來表示。因此，研究兩個向量的數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)的一個重點知識。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1．基礎(chǔ)知識目標(biāo)：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算律；

2．能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握兩個向量數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題。

3．個性品質(zhì)目標(biāo)：訓(xùn)練學(xué)生分析問題、解決問題的能力，了解數(shù)量積在實際問題中的初步應(yīng)用。

4．創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

三、重難點分析

教學(xué)的重點是兩個向量數(shù)量積的計算方法及其應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上應(yīng)該讓學(xué)生理解兩個向量數(shù)量積的幾何意義，這也就是本節(jié)課的難點。

下面，為了講清重點、難點，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我將從教法和學(xué)法上進行講解。

四、教法

教學(xué)過程是教師和學(xué)生共同參與的過程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，并為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，采用采用引導(dǎo)式、講練結(jié)合法進行講解。

五、學(xué)法

教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識更重要，本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間，我進行了以下學(xué)法指導(dǎo)：

(1)聯(lián)想法：要求學(xué)生聯(lián)想學(xué)過的向量知識，特別加深理解數(shù)學(xué)知識之間的相互滲透性。1

(2)觀察分析法：讓學(xué)生要學(xué)會觀察問題，分析問題和解決問題新。

(3)練習(xí)鞏固法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運用，從而檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。

下面，我將具體談?wù)勥@堂課的教學(xué)過程。

六、教學(xué)程序及設(shè)想

七、板書設(shè)計

板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進程，能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系；能指導(dǎo)教師的教學(xué)進程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識；同時不完全按課本上的呈現(xiàn)方式來編

排板書。即體現(xiàn)系統(tǒng)性、程序性、概括性、指導(dǎo)性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性的原則；（原則性）

以上就是我說課的內(nèi)容，希望各位老師對本堂課的說課提出寶貴的意見。 謝謝。

6

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