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弦切角定理的證明

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時(shí)間:2019-05-22 10:31:08 | 移動(dòng)端:弦切角定理的證明

第一篇:弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)

如右圖所示,直線pt切圓o于點(diǎn)c,bc、ac為圓o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明:

證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠tcb(敬請(qǐng)期待公文素材庫更好文章:m.hmlawpc.coma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對(duì)的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)e

那么,連接ec、ed、ea

則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a,∠cba=60°,ab=a求bc長(zhǎng).

解:連結(jié)oa,ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)

例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d,與ab,ac分別相交于e,f.

求證:ef∥bc.

證明:連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,

求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.

證明:∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b,

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b,

∴∠mca=∠acd,

即ac平分∠mcd,

同理:bc平分∠ncd.

第二篇:弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理:定義弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,oa。過點(diǎn)a作tp的平行線交bc于d,

則∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠ocd

∴,∠boc=2∠tcb

證明:分三種情況:

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑,ab切⊙o于a,

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

那么

.

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么

2

連接并延長(zhǎng)to交圓o于點(diǎn)d,連接bd因?yàn)閠d為切線,所以td垂直tc,所以角btc+角dtb=90因?yàn)閠d為直徑,所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

編輯本段弦切角定義頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)如右圖所示,直線pt切圓o于點(diǎn)c,bc、ac為圓o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明:證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,!摺蟭cb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半)∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)證明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切線,a為切點(diǎn),弧是弦切角∠bac所夾的弧.求證:(弦切角定理)證明:分三種情況:(1)圓心o在∠bac的一邊ac上∵ac為直徑,ab切⊙o于a,∴弧cma=弧ca∵為半圓,∴∠cab=90=弦ca所對(duì)的圓周角b點(diǎn)應(yīng)在a點(diǎn)左側(cè)(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.過a作直徑ad交⊙o于d,若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)e那么,連接ec、ed、ea則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圓心o在∠bac的外部,過a作直徑ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等應(yīng)用舉例例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a,∠cba=60°,ab=a求bc長(zhǎng).解:連結(jié)oa,ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d,與ab,ac分別相交于e,f.求證:ef∥bc.證明:連df.ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.證明:∵ab是⊙o直徑∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b,∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b,∴∠mca=∠acd,即ac平分∠mcd,同理:bc平分∠ncd.

第三篇:弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連oc、oa,則有oc⊥cd于點(diǎn)c。得oc‖ad,知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac,得∠cad=∠oac。進(jìn)而有∠oac=∠bac。

由此可知,0a與ab重合,即ab為⊙o的直徑。

(2)連接bc,且作ce⊥ab于點(diǎn)e。立即可得△abc為rt△,且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae,ac公用,∠cda=∠cea,得△cea≌△cda,有ad=ae,所以,ac²=ab*ad。

第一題重新證明如下:

首先證明弦切角定理,即有∠acd=∠cba。

連接oa、oc、bc,則有

∠acd+∠aco=90°

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc,

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圓周角等于圓心角的一半),

得∠acd=∠cba。

另外,∠acd+∠cad=90°,∠cad=∠cab,

所以有∠cab+∠cba=90°,得∠bca=90°,進(jìn)而ab為⊙o的直徑。

2

證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切線,a為切點(diǎn),弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證:(弦切角定理)

證明:分三種情況:

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑,ab切⊙o于a,

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對(duì)的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.

過a作直徑ad交⊙o于d,

若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)e

那么,連接ec、ed、ea

則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點(diǎn)a,∠cba=60°,ab=a求bc長(zhǎng).

解:連結(jié)oa,ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)

例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點(diǎn)a的⊙o與bc切于點(diǎn)d,與ab,ac分別相交于e,f.

求證:ef∥bc.

證明:連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,

求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.

證明:∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b,

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b,

∴∠mca=∠acd,

即ac平分∠mcd,

同理:bc平分∠ncd.

第四篇:弦切角的逆定理的證明

弦切角逆定理證明

已知角cae=角abc,求證ae是圓o的切線

證明:連接ao并延長(zhǎng)交圓o于d,連接cd,

則角adc=角abc=角cae

而ad是直徑,因此角acd=90度,所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae為切線

第五篇:弦切角、切割線、相交弦三條圓這一章已刪定理的證明

肯特教育歡迎各位朋友批評(píng)指正,王老師18201*60373

弦切角、切割線、相交弦

三條圓這一章已刪定理的證明

一、弦切角定理

1、弦切角的定義:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖(1)所示,ab為圓的一條弦,bc為圓的切線,∠abc即為圓的的弦切角。

圖(1)

bc

2、弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角,等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半。證明如下:

a

圖(2)

如圖(2)所示,已知ab為⊙o的直徑,bd為過圓上b點(diǎn)的切線,求證:(1)∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb(2)∠cbd=∠cob 21證明:(1)∵ab為⊙o的直徑,bd為過b點(diǎn)的切線∴ab⊥bd

∴∠abd=90o

第 1 頁共 1 頁

肯特教育歡迎各位朋友批評(píng)指正,王老師18201*60373∴∠abc+∠cbd=90°

∵ab為⊙o直徑

∴∠acb=90°

則∠abc+∠cab=90°

∴∠cbd=∠cab

∵∠cab和∠ceb同弧所對(duì)的圓周角∴∠cab=∠ceb

則∠cbd=∠ceb

(2)∵∠cab和∠cob是同弧所對(duì)的圓周角和圓心角∴ ∠cab=∠cob 21

又∵∠cbd=∠cab

∴∠cab=∠cob 21

二、切割線定理及推論

1、切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。證明如下:

圖(3)

如圖(3)所示,直線pa與圓相切于a點(diǎn),直線pc與圓相交于b、c兩點(diǎn),求證:pa2=pb·pc

證明:連結(jié)ba、ca

∵pa為圓的切線∴∠pab=∠pca(弦切角定理)

∵∠pab=∠pca,∠bpa=∠apc(公共角)∴△pab∽△pca

∴pa

pc = pb

pa

∴ pa2=pb·pc

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