第一篇:怎樣證明弦切角
怎樣證明弦切角
設(shè)圓心為o,連接oc,ob,oa。過點a作tp的平行線交bc于d,
則∠tcb=∠cda
∵∠tcb=90-∠ocd
∵∠boc=180-2∠ocd
∴,∠boc=2∠tcb(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠boc=2∠cab
∴∠tcb=∠cab(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)
2
接oboc過o做oe⊥bc
所以∠a=1/2
又因為∠oct=90°
∠oec=90°
所以∠eoc=∠tcb
所以∠tcb=∠a
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溫馨提示
設(shè)切點為a切線ab弦ac圓心為o過a作直徑ad連oc
角cab等于90度減角dac
因為oa等于oc所以角aoc等于180度減去二倍的角dac
即可證明角aoc等于二倍的角cab
參考資料:弦切角是這弦所對的圓心角的一半
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線段ad與線段ef互相垂直平分。
證明:設(shè)ad交ef于點g.
因為ap為切線,所以弦切角等于所對的圓周角,即∠pac=∠b,
又因為ad平分∠bac,所以∠dac=∠bad,
從而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,
而∠pac+∠dac=∠pad,
∠b+∠bad=∠pda,所以
∠pad=∠pda,則△pad為等腰三角形,
因pm平分∠apd,所以pm垂直平分ad,則ef垂直平分ad,
從而ad垂直ef,
則∠age=∠agf=90°,
再由∠gaf=∠gae,得到
△eag≌△fag,
從而eg=fg,從而ad也垂直平分ef。
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(1)圓心o在∠bac的一邊ac上
∵ac為直徑,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵為半圓,
∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.
過a作直徑ad交⊙o于d,
若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點e
那么,連接ec、ed、ea
則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圓心o在∠bac的外部,
過a作直徑ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點a,∠cba=60°,ab=a求bc長.
解:連結(jié)oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)
例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點a的⊙o與bc切于點d,與ab,ac分別相交于e,f.
求證:ef∥bc.
證明:連df.
ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
第二篇:弦切角的逆定理的證明
弦切角逆定理證明
已知角cae=角abc,求證ae是圓o的切線
證明:連接ao并延長交圓o于d,連接cd,
則角adc=角abc=角cae
而ad是直徑,因此角acd=90度,所以角dac=90度-角adc=90度-角cae
所以角dae=角dac+角cae=90度
故ae為切線
第三篇:弦切角定理證明
弦切角定理證明
弦切角定理
編輯本段弦切角定義
頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)
如右圖所示,直線pt切圓o于點c,bc、ac為圓o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都為弦切角。
編輯本段弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明:
證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)
∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)
證明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切線,a為切點,弧是弦切角∠bac所夾的弧.
求證:(弦切角定理)
證明:分三種情況:
(1)圓心o在∠bac的一邊ac上
∵ac為直徑,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵為半圓,
∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.
過a作直徑ad交⊙o于d,
若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點e
那么,連接ec、ed、ea
則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圓心o在∠bac的外部,
過a作直徑ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點a,∠cba=60°,ab=a求bc長.
解:連結(jié)oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)
例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點a的⊙o與bc切于點d,與ab,ac分別相交于e,f.
求證:ef∥bc.
證明:連df.
ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,
求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.
證明:∵ab是⊙o直徑
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b,
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b,
∴∠mca=∠acd,
即ac平分∠mcd,
同理:bc平分∠ncd.
第四篇:弦切角定理的證明
弦切角定理的證明
弦切角定理:定義弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明
證明:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,oa。過點a作tp的平行線交bc于d,
則∠tcb=∠cda
∵∠tcb=90-∠ocd
∵∠boc=180-2∠ocd
∴,∠boc=2∠tcb
證明:分三種情況:
(1)圓心o在∠bac的一邊ac上
∵ac為直徑,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵為半圓,
(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.
過a作直徑ad交⊙o于d,
那么
.
(3)圓心o在∠bac的外部,
過a作直徑ad交⊙o于d
那么
2
連接并延長to交圓o于點d,連接bd因為td為切線,所以td垂直tc,所以角btc+角dtb=90因為td為直徑,所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a
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編輯本段弦切角定義頂點在圓上,一邊和圓相交,另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)如右圖所示,直線pt切圓o于點c,bc、ac為圓o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明:證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,!摺蟭cb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)證明已知:a(更多請搜索:m.hmlawpc.com所對的劣弧上有一點e那么,連接ec、ed、ea則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圓心o在∠bac的外部,過a作直徑ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等應(yīng)用舉例例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點a,∠cba=60°,ab=a求bc長.解:連結(jié)oa,ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點a的⊙o與bc切于點d,與ab,ac分別相交于e,f.求證:ef∥bc.證明:連df.ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.證明:∵ab是⊙o直徑∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b,∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b,∴∠mca=∠acd,即ac平分∠mcd,同理:bc平分∠ncd.
第五篇:弦切角定理證明方法
弦切角定理證明方法
(1)連oc、oa,則有oc⊥cd于點c。得oc‖ad,知∠oca=∠cad。
而∠oca=∠oac,得∠cad=∠oac。進(jìn)而有∠oac=∠bac。
由此可知,0a與ab重合,即ab為⊙o的直徑。
(2)連接bc,且作ce⊥ab于點e。立即可得△abc為rt△,且∠acb=rt∠。
由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae,ac公用,∠cda=∠cea,得△cea≌△cda,有ad=ae,所以,ac²=ab*ad。
第一題重新證明如下:
首先證明弦切角定理,即有∠acd=∠cba。
連接oa、oc、bc,則有
∠acd+∠aco=90°
=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)
=(1/2)(2∠aco+∠aoc)
=∠aco+(1/2)∠aoc,
所以∠acd=(1/2)∠aoc,
而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圓周角等于圓心角的一半),
得∠acd=∠cba。
另外,∠acd+∠cad=90°,∠cad=∠cab,
所以有∠cab+∠cba=90°,得∠bca=90°,進(jìn)而ab為⊙o的直徑。
2
證明一:設(shè)圓心為o,連接oc,ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠boc=2∠cab(圓心角等于圓周角的兩倍)
∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)
證明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切線,a為切點,弧是弦切角∠bac所夾的弧.
求證:(弦切角定理)
證明:分三種情況:
(1)圓心o在∠bac的一邊ac上
∵ac為直徑,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵為半圓,
∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內(nèi)部.
過a作直徑ad交⊙o于d,
若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點e
那么,連接ec、ed、ea
則有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圓心o在∠bac的外部,
過a作直徑ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1:如圖,在rt△abc中,∠c=90,以ab為弦的⊙o與ac相切于點a,∠cba=60°,ab=a求bc長.
解:連結(jié)oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等于斜邊的一半)
例2:如圖,ad是δabc中∠bac的平分線,經(jīng)過點a的⊙o與bc切于點d,與ab,ac分別相交于e,f.
求證:ef∥bc.
證明:連df.
ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3:如圖,δabc內(nèi)接于⊙o,ab是⊙o直徑,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,
求證:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.
證明:∵ab是⊙o直徑
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b,
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b,
∴∠mca=∠acd,
即ac平分∠mcd,
同理:bc平分∠ncd.
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