中學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)教案
英才教育初中數(shù)學(xué)試題
二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn):
1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a、b、c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b、c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:
⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a、b、c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).
二次函數(shù)的基本形式
ya(xh)2k的性質(zhì):
總結(jié):
a的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸xh性質(zhì)時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨a0向上h,kX=hx的增大而減;xh時(shí),y有最小值k.時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨xha0向下h,kX=hx的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.
二次函數(shù)圖象的平移
1.平移步驟:
⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k);⑵保持拋物線yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處,具體平移方法如下:
y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k英才教育初中數(shù)學(xué)試題
二次函數(shù)yaxbxc的性質(zhì)對(duì)稱軸為x2b2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b2a,4acb4ab2ab2a2)
1.當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,.當(dāng)xb2ab2a時(shí),y隨x的增大而減。划(dāng)xb2ab時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x時(shí),ymin4acb4a2.2.
當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x2a時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)xy時(shí),
ymax4acb4a2.
六、二次函數(shù)解析式的表示方法
1.一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);
2.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0),其中h2b2a4a3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).
,k4acb2;
注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的確定:
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问,才能使解題簡(jiǎn)便.一般來說,有如下幾種情況:
1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;
2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(。┲,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.二次函數(shù)與一元二次方程:
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):
一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):
①當(dāng)b24ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程
axbxc0(a0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB|x1x2|2b4ac|a|2.
②當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
③當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn).
1"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;
2"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.
22.拋物線yaxbxc的圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);
3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):
⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;
⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;
⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a、b、c的符號(hào),或由二次函數(shù)中a、b、c的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;
⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).
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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn):
2b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,c可二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).
2yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征:2.二次函數(shù)
⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).⑵a,二次函數(shù)的基本形式
1.二次函數(shù)基本形式:yax的性質(zhì):
2oo
結(jié)論:a的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小?偨Y(jié):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨a0向上00,y軸x的增大而減;x0時(shí),y有最小值0.x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨a0向下00,y軸x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.2yaxc的性質(zhì):2.
結(jié)論:上加下減。
總結(jié):
a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨a0向上c0,y軸x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值c.x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨a0向下c0,y軸x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.3.yaxh的性質(zhì):
2結(jié)論:左加右減。
總結(jié):a的符號(hào)
開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨a0向上0h,X=hx的增大而減;xh時(shí),y有最小值0.xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨a0向下0h,X=hx的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.4.yaxhk的性質(zhì):
總結(jié):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨a0向上h,kX=hx的增大而減。粁h時(shí),y有最小值k.xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨a0向下h,kX=hx的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:
k;⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,2k處,具體平移方法如下:⑵保持拋物線yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h22yaxbxcya(xh)k,確定五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式
其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們0,c0,c2h,c選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、
x,0x,0與x軸的交點(diǎn)1,2(若與x軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).
畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與x軸的交點(diǎn),與y軸的交點(diǎn).
2五、二次函數(shù)yaxbxc的性質(zhì)
b4acb2b,x2a4a.a(chǎn)02a1.當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為
bbbxxx2a時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)2a當(dāng)
4acb2時(shí),y有最小值4a.
b4acb2b,x2a4a.當(dāng)a02a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2.當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為
bbbxxx2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)2a時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)2a時(shí),y4acb2有最大值4a.
六、二次函數(shù)解析式的表示方法
21.一般式:yaxbxc(a,b,c為常數(shù),a0);
2.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0);
3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫
成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即b4ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交
點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.
22七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系
1.二次項(xiàng)系數(shù)a
2yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.二次函數(shù)
⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;
⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.
總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大小.2.一次項(xiàng)系數(shù)b
在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸.
⑴在a0的前提下,
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;
b0當(dāng)b0時(shí),2a,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).
總結(jié)起來,在a確定的前提下,b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.總結(jié):
3.常數(shù)項(xiàng)c
⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來,c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.
b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.總之,只要a,二次函數(shù)解析式的確定:
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问,才能使解題簡(jiǎn)便.一般來說,有如下幾種情況:
1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;
2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(。┲,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.
二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱
2關(guān)于cx軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;yaxbxyaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;
2.關(guān)于y軸對(duì)稱
2關(guān)于cy軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;yaxbxyaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是cyax2bxc;yaxbx22kyaxhk;yaxh關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是
4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱
22b2yaxbxc2yaxbxc2a;關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是
2yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk.
22n對(duì)稱5.關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱后,得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m,22根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.
二次函數(shù)與一元二次方程:
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):
22一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):
20,Bx2,0(x1x2),①當(dāng)b4ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,其中的x1,x22是一元二次方程axbxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離
b24acABx2x1a.
②當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);③當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn).
1"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;2"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.
2yaxbxc的圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);2.拋物線
3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):
⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;
⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a,b,c的符號(hào),或由二次函數(shù)中a,
b,c的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;
⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).
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