高一數(shù)學必修四第二章 平面向量章末總結(jié)

高一數(shù)學章末總結(jié)【人教版】

必修四平面向量

班級：高一（13）班姓名：劉碧林

注：此總結(jié)所有內(nèi)容均為我個人所編，沒有任何抄襲現(xiàn)象，如與百度文庫中文件有絲毫雷同，純屬意外。

2.1平面向量的實際背景及基本概念

考點1向量的相關概念

※方法：明確向量及其相關概念的聯(lián)系和區(qū)別。①區(qū)分向量與數(shù)量：向量既強調(diào)大小，又強調(diào)方向，而數(shù)量只與大小有關。②明確向量與有向線段的區(qū)別：有向線段有三要素：起點、方向、長度，只要起點不同，另外兩個要素相同也不是同一條有向線段，但決定向量的要素只有兩個：大小與方向，與表示向量的有向線段的起點無關。③零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的。零向量的方向是任意的。④平行向量也叫共線向量，當兩共線向量的方向相同且模相等時，兩向量為相等向量。

考點2向量的模

※方法：向量的模實質(zhì)是表示它的有向線段的長度，因此求向量的模時，首先要找到其對應的有向線段的起點與終點，再利用直角坐標系中兩點之間的距離，求的有向線段的長。

考點3共線向量與相等向量

※方法：此問題即為向量的計數(shù)問題，將向量與幾何圖像相結(jié)合，把滿足題意的情形按照統(tǒng)一的標準分類，做到不重復不遺漏。

考點4向量的實際應用

①尋找共線向量與相等向量

※方法：將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，再通過求模的方法進行求解。②證明向量相等

※方法：證明兩個非零向量相等，首先證明它們是共線向量，再證明它們的方向相同，且模相等。例題例1：下列四個命題：①若|a|=0，則a為零向量；②若|a|=|b|，則a=b或a=-b；③若a//b，則|a|=|b|；④若a=0，則-a=0.其中正確的有（B）。A、1個B、2個C、3個D、4個

【解析】②中兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，并不意味著它們的方向是相同或相反的；③中兩個向量平行，只能說明這兩個向量的方向相同或相反，對向量的模沒有要求，故只有①④正確。

例2：求證：以A（-4，-1，-9），B（-10，1，-6），C（-2，-4，-3）為頂點的三角形是等腰直角三角形．

【解析】先利用空間兩點的距離公式分別求出AB，AC，BC的長，然后利用勾股定理進行判定是否為直角三角形，以及長度是否有相等，從而判定是否是等腰直角三角形．

例3：【解析】 2.2平面向量的線性運算

考點1向量的線性運算

①向量的加法、減法運算

※方法：向量的基本運算要抓住兩條主線，一是基于“形”，通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和（或差）；二是基于“數(shù)”，它是對上述操作的概括（或說“形式化”），要熟練掌握AB+BC+CD=AD.（字母為黑體均表示向量）②向量的數(shù)乘運算

※方法：關于實數(shù)與向量的積的有關運算，可按照實數(shù)積的運算方法進行，不過是將向量符號a，b，c等看作一般字母符號，其中向量數(shù)乘之間的和差運算，相當于合并同類項或提取公因式，這里的“同類項”與“公因式”指的是向量。③利用向量的線性運算將向量線性表示

※方法：（1）充分利用平面幾何的一些結(jié)論，轉(zhuǎn)化為相等向量、相反向量、共線向量及比例關系，建立已知向量與未知向量有直接關系的向量來解決問題。（2）注意幾何條件的應用：如△ABC中，DE//BC→△ADE∽△ABC等。（3）此類問題直接轉(zhuǎn)化困難時，可建立相關向量的方程求解。

④利用向量的線性運算求參數(shù)

※方法：含有參數(shù)的向量線性運算問題，只需要把參數(shù)當做已知條件，列出向量方程，根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運算化簡方程為已知形式，對比系統(tǒng)就可求出參數(shù)的值。

考點2共線問題

①證明兩向量共線或三點共線

※方法：（1）證明兩向量a，b共線可直接利用向量共線的條件，判斷是否存在實數(shù)λ，使得b=λa（a≠0）。（2）證明三點共線時可分兩步，第一步證明兩個向量共線，第二步證明兩個向量都經(jīng)過同一點。②利用向量共線求各參數(shù)的取值

※方法：根據(jù)向量共線及題目中所給條件列出關于參數(shù)的方程，再解方程求出參數(shù)。

考點3向量的模的問題

①利用加減運算求向量的模

※方法：（1）理解向量的幾何意義，能準確運用向量的線性運算。（2）恰當構(gòu)造相關圖形，靈活運用幾何性質(zhì)求解未知量。②求向量的模的取值范圍

※方法：靈活運用公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

（1）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，當a與b的方向相反且|b|≤|a|時，|a|-|b|=|a+b|；當a與b的方向相同時，|a+b|=|a|+|b|.（2）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，當a與b的方向相同且|b|≤|a|時，|a|-|b|=|a-b|；當a與b的方向相反時，|a-b|=|a|+|b|.例題例1：【解析】例2：【解析】

2.3平面向量的基本定理及坐標表示

考點1平面向量基本定理的概念問題

※方法：解關于平面向量基本定理的概念問題時，關鍵是深刻理解平面向量基本定理，并注意定理中的一組基底是由兩個不共線的向量構(gòu)成。

考點2用基底表示向量

※方法：將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：第一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；第二種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解。

考點3向量的夾角問題

※方法：求向量的夾角時，首先做出圖形，找到所要求的角，再結(jié)合圖形的特征以及幾何知識求出角度。

考點4求向量的坐標

※方法：求向量的坐標有兩種方法：其一是平移法，把向量的起點移至坐標原點，終點坐標即為向量的坐標；其二是用表示向量的有向線段的終點的相應坐標減去起點的相應坐標。例題例1：【解析】例2：【解析】

2.4平面向量的數(shù)乘積 2.5平面向量應用舉例

考點1向量數(shù)量積得計算問題

①利用向量數(shù)量積得定義解題

※方法：解此類題應嚴格按照向量數(shù)量積的定義ab=|a||b|cosα，注意家教的范圍為α∈[0°，180°]。a與b共線時有α=0°和α=180°兩種情況。主要應用化歸的思想。②利用向量數(shù)量積的坐標運算解題

※方法：若題目中直接給出向量的坐標，則可直接利用公式ab=x1x2+y1y2進行求解；若題目中涉及圖形的數(shù)量積的運算，要充分利用向量終點坐標與起點坐標之差表示出向量坐標，再由向量坐標運算求解數(shù)量積。

考點2向量夾角計算問題

※方法：先表示出兩向量的數(shù)量積及其模，再利用數(shù)量積的夾角公式計算即可。

考點3結(jié)論a⊥b→ab=0的應用

※方法：對于非零向量a，b，a⊥b→ab=0，可用來證明兩向量垂直，或由兩向量垂直列方程求解向量，以及解決平面幾何圖形中有關垂直的問題。

考點4利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀

※方法：判斷三角形或四邊形形狀時，一般是由邊長和角的關系來進行判斷，充分利用向量的數(shù)量積公式求圖形的邊長、角度，再根據(jù)幾何圖形的特征判斷圖形形狀。

考點5利用向量解決幾何中的垂直問題

※方法：垂直問題的解決，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，而在此過程中，需運用向量的線性運算，將目標向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運算使問題獲解。當然基底的選取應以能夠方便運算為準，及它們的夾角是明確的，且長度易知。

考點6利用向量解決幾何中的長度與角度問題

※方法：根據(jù)圖形已知向量表示出目標向量，再求出目標向量的模即為長度，再根據(jù)公式可求出向量的夾角。例題例1：【解析】

例2：

【解析】

例3：【解析】

例4：

【解析】

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高一數(shù)學必修4第2章平面向量章末測試

一、選擇題

1．下列命題中，真命題的個數(shù)為(其中a≠0，b≠0)()①|(zhì)a|＋|b|＝|a＋b|a與b方向相同②|a|＋|b|＝|a－b|a與b方向相反③|a＋b|＝|a－b|a與b有相等的模④|a|－|b|＝|a－b|a與b方向相同

A．0B．1C．2D．3

2．(201*廣東文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．3

3．已知兩個力F1、F2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°，則F1的大小為()A．53NB．5NC．10ND．52N

4．直角坐標系xOy中，i、j分別是與x、y軸正方向同向的單位向量．若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，則k的可能值個數(shù)是()

A．1B．2C．3D．4

5．已知|a|＝3|b|≠0，且關于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有實根，則a與b夾角的取值范圍是()πππ2ππ

0，B.，πC.，D.，πA.63336

6．(201*膠州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與b垂直，則λ等于()A．－1B．1C．－2D．2

7．(201*新鄉(xiāng)市�？�)設平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為()

A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四邊形

8．已知O為原點，點A、B的坐標分別為A(a,0)、B(0，a)，其中常數(shù)a>0，點P在線段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，則的最大值為()

A．a(chǎn)B．2aC．3aD．a(chǎn)29．給出下列等式：

bab00②0a0③0ABBA④a①a⑤若a0,b0,則ab0,則a與b中至少有一個為0b0⑥a22⑦a與b是兩個單位向量，則ab

以上各式成立的是

A．①②③⑥⑦B．③④⑦C．②③④⑤D．③⑦

10已知a(5,2),b(4,3)c(x,y),若a2b3c0,則c的坐標為8138C.(13,4)134A.(1,)B.(,)D.(,)

333833311.設i,j是平面直角坐標系內(nèi)分別于x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，

O為坐標原點，若OA4i3j,OB3i4j，2OAOB的坐標是

A.(1,2)B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)

bc(ab)//c,(bc)//a，則下列結(jié)論中12已知.a、、是兩兩不共線的非零向量，且不正確的是

A．a(chǎn)c與b共線B．a(chǎn)bc=0

C．a(chǎn)c與2b共線D．a(chǎn)2bc=0

二、填空題

13．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應滿足的條件為________．

14．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，則a與b的夾角θ＝________.15．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則b在a方向上的投影為________．

16.已知點M是ABC的重心，AB=e1,ACe2用e1,e2表示MC_____

三、解答題

17．如右圖所示，在△AOB中，若A，B兩點坐標分別為(2,0)，(－3,4)，點C在AB上，且平分∠BOA，求點C的坐標．

18．在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，求證：AF⊥DE.

19．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求a與b的夾角θ.

20．（10分）已知矩形ABCD，且AD=2AB,又△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)為ED的中點，

EA=e1,EF=e2,以1,

ee2為基底，

試表示向量AF，AB，AD及BD.

c421.（10分）已知cmanb(23,2)，a與c垂直,b與c的夾角120，且b求實數(shù)m，n的值及a與b的夾角

22.（12分）已知：

,a22，

a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中

a=（1，2）

（Ⅰ）若|

c|25，且c//a，求

c的坐標；

垂直，求

（Ⅱ）若|b|=

5,且2a2b與aba與b的夾角θ.

答案

[解析]對于③當a與b互相垂直時，構(gòu)成矩形時才有|a＋b|＝|a－b|因此③錯，對于④當a與b方向相同且|b|≤|a|時才有|a|－|b|＝|a－b|因此④錯，①②正確，故選C.

2[答案]C

[解析](8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.故選C.3[答案]B

[解析]|F1|＝|F|cos60°＝5.4[答案]B

[解析]不妨取A(0,0)，則B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．當AB⊥BC時，＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.當AB⊥AC時，＝6＋k＝0，∴k＝－6.當AC⊥BC時，＝3＋k2－k＝0，無解．所以滿足要求的k的可能值有2個．5[答案]B

[解析]∵關于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有實根，∴Δ＝4|a|2－24ab≥0，即|a|2≥6ab.

∴|a|2≥6|a||b|cos〈a，b〉，又∵|a|＝3|b|≠0.1∴cos〈a，b〉≤，

2π

∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.

36[答案]C

[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b與b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)(4，－2)＝4(λ

＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.

7[答案]D

[解析]解法一：設AC的中點為G，則＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G為BD的中點，∴四邊形ABCD的兩對角線互相平分，∴四邊形ABCD為平行四邊形．

解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴ABCD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．8[答案]D[解析]∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(a－at，at)∴＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴≤a2.9D10D11D12D1

13[答案]m∈R且m≠

2

[解析]若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線．∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，1

∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.21

即實數(shù)m≠，滿足條件．

214[答案]120°

[解析]ab＝(2e1＋e2)(－3e1＋2e2)7＝－6|e1|2＋e1e2＋2|e2|2＝－，

2|a|＝(2e1＋e2)2＝7，|b|＝(－3e1＋2e2)2＝7，ab1

cosθ＝＝－，∴θ＝120°.

|a||b|215[答案]

13ab13[解析]b在a方向上的投影為＝＝13.

|a|13

1216.e1e2

33

17[解析]設點C坐標為(x，y)，由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，∴＝，

(2，0)(x，y)(－3，4)(x，y)∴＝，

25∴y＝2x.①

又∵與共線，＝(x＋3，y－4)，＝(x－2，y)，∴(x＋3)y－(x－2)(y－4)＝0，∴4x＋5y－8＝0.②

由①，②聯(lián)立解之得8

y＝7.

48∴C點的坐標為7，7.

4

x＝，7

18[證明]設＝a，＝b，則|a|＝|b|，ab＝0，

11

由條件知，＝a，＝b，

221

∴＝－＝a－b，

211

＝＋＝＋＝a＋b，

221a＋1ba－b∴＝22111

＝a2＋ab－ba－b2＝0.242即，∴DE⊥AF.

19[解析]∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4a2－4ab－3b2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ab＝－6.

ab1∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.

|a||b|2

20.解答AF=e2-e1,AB=e2,AD=2e2-e1,BD=e2-e1

221.解答∵ac∴ac0又∵cmacnbc

cbccos120∴4n124∴n4且b1∴4b4()∴b2

222從而acma4bc∴ab2m又∵bcm(ab)4b

∴42m216∴m26∴m6

ab263當m6時，ab26∴cos∴

6ab222235當m6時，ab26∴cos∴

62因此m

22.解：（Ⅰ）設c(x,y),|c|25,x2y225,x2y220c//a,a(1,2),2xy0,y2x

x2x2y2x由2∴或∴c(2,4),或c(2,4)2y4y4xy206,n4,6；m6,n4,56（Ⅱ）(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)2a3ab2b0,2|a|23ab2|b|20……（※）|a|25,|b|2(2255525),代入（※）中,253ab20ab

42245ab,cos2|a||b|552521

|a|5,|b|

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