201*年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識總結(jié)與題型

課題：201*年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識總結(jié)與題型一．代數(shù)式冪的運(yùn)算公式：amanamnmanamnn

abnanb

平方差公式ababa2b2

2完全平方公式：aba2b22ab

ab2a2b22ab

練習(xí)：1．下列運(yùn)算正確的是()

A．a(chǎn)a2a2B．(ab)3ab3C．(a2)3a6D．a(chǎn)10a2a5

2.若x2＋2mx＋４是一個完全平方公式，則m的值為（）Ａ.２Ｂ.２或－２Ｃ.４Ｄ.４或－４3.圖①是一個邊長為(mn)的正方形，小穎將圖①中的陰影部mnm分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②能驗(yàn)證的式子是（）

nA．(mn)2(mn)24mnB．(mn)2(m2n2)2mn←m→←n→C．(mn)22mnm2n2D．(mn)(mn)m2n2

圖①

圖②

4.a29aa3先化簡，(x212)4xx43.

a33a再求值：x2x2，其中

二、方程：

1．解方程組：2xy2x2y3,3x2y102.解方程組

3x8y13;

3.解方程：x24解方程：

x3x2x2414.x11x1x2

4．已知一元二次方程x2+x─1=0，下列判斷正確的是（）

A.該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.該方程無實(shí)數(shù)根D.該方程根的情況不確定5.方程x24x0的解是。

6.閱讀材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如

下關(guān)系：xxbxc

1+2=－a，x12=a

根據(jù)上述材料填空：已知x2+4x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，則11

1、x2是方程xx1+x2

=_________.

三、一次函數(shù)y1．如右圖所示，一次函數(shù)ykxb（k為常數(shù)且k0）

02x的圖象，則使y0成立的x的取值范圍為．

2．一次函數(shù)y＝－3x－2的圖象不經(jīng)過（）

－4A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．直線y=2x+6與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是四、反比例函數(shù)反比例函數(shù)ykx的圖象上任取一點(diǎn)與，原點(diǎn)，坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是；

與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積是。1.如圖，矩形ABOC的面積為3，反比例函數(shù)ykx的

第1題圖

圖象過點(diǎn)A，則k=

2.如圖，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)

E都在y1x（x0）的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，）.

五、二次函數(shù)

1．已知二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx＋C的圖象如圖所示，

則下列結(jié)論正確的是()

A．a(chǎn)＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a(chǎn)＋b＋c＞02.將拋物線y12x2向上平移2個單位，再向右平移1個單位后，

得到的拋物線的解析式為____________．3．拋物線yx22x1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）。

A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(1,0)abc4.拋物線yax2bxc圖像如圖所示，則一次函數(shù)ybx4acb2與反比例函數(shù)

yx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為（）

xxxxx六、四邊形圖形形狀性質(zhì)邊角對角線對稱性對邊平行，兩對角線互相垂直菱形四條邊都對角相等平分，每一條對角中心對稱軸相等線平分一組對角對稱矩形對邊平行對角相等對角線互相平分且中心對稱軸且相等相等對稱對邊平行，兩條對角線互相平正方形四條邊都四個角都是分、垂直、相等，中心對稱軸相等直角每一條對角線平分對稱一組對角兩底平行，等腰梯形兩腰不平同一底上的對角線相等軸對稱行但相等兩個角相等1.兩組對角相等可判定一個四邊形為平行四邊形。2.當(dāng)四邊形的對角線互相垂直時，其面積可以用對角線相乘除以2進(jìn)行計算。

3.S三角形=；S圓=；S平行四邊形=；S矩形=；S梯形=；S菱形=；4.n邊形的內(nèi)角和公式：；n邊形的外交和為1.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直

C.對角線相等D.每條對角線平分一組對角2.下列敘述錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分。B.平行四邊形的四個內(nèi)角相等。C.矩形的對角線相等。D.有一個角時90的平行四邊形是矩形

3．若O是四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)且OA=OB=OC=OD，則四邊形ABCD是（）A、等腰梯形B、矩形C、正方形D、菱形4、下列命題中，不成立的是（）．

A、等腰梯形的兩條對角線相等B、菱形的對角線平分一組對角C、順次連結(jié)四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形D、兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

5、若菱形的周長為16，一個內(nèi)角為60°，則菱形的較短的對角線長______cm。6.菱形周長為40cm，它的一條對角線長10cm。則菱形的面積為（）cm2

A.503B.1003C.400D.100

DC

7.如下圖，□ABCD的周長是36cm，O是對角線交點(diǎn)，且△AOB周長

O比△BOC的周長多8cm，則AB＝_______cm.A8．若一個正多邊形的一個內(nèi)角是120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是()

B

A．9B．8C．6D．4

9、下列哪組條件不能能判別四邊形ABCD是平行四邊形？（）A、AB∥CD，AB＝CD

B、AB＝CD，AD＝BC

C、AB∥CD，AD∥BCD、AB∥CD，AD＝BC

10.下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形七、圓1.圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)。2.弦切角等于其所夾弧所對的圓周角。

3.在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角、弧不一定．．．相等。4.在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓心角一定．．相等。5.在同圓中，垂直于弦的直徑平分弦。6.在同圓中，平分弦的直徑不一定．．．垂直于弦。7.在同圓中，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦。8.弧長的計算公式：l=

())180扇形的面積公式：S=

(360=

圓錐的側(cè)面積公式：圓錐的側(cè)面積=9.直角三角形內(nèi)切圓半徑r=

練習(xí)：1.圓錐底面半徑為4cm，母線長為24cm，則側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為__________。2.直徑為30cm的⊙O中，有兩條平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，則弦AB和CD的距離為_______．

3.一個點(diǎn)與定圓上最近點(diǎn)的距離為4cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為9cm，則此圓的半徑是A.2.5cm或6.5cm

B.2.5cm

C.6.5cm

D.13cm或5cm

4.已知⊙O1和⊙O2的半徑分別是一元二次方程x1x20的兩根，

且O1O22，則⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系是．

5.一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（）．A．0.4米

B．0.5米

C．0.8米

D．1米

C6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若OAB28°，則C的大小為（）

OA．

28°

B．56°C．60°D．62°

AB八.三角函數(shù)與證明

1.海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在

海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。

2.某中學(xué)九年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”一章時，開展測量物體高度的實(shí)踐活動，他們要測量學(xué)校一幢教學(xué)樓的高度．如圖，他們先在點(diǎn)C測得教學(xué)樓AB的頂點(diǎn)A的仰角為30°，然后向教學(xué)樓前進(jìn)60米到達(dá)點(diǎn)D，又測得點(diǎn)A的仰角為45°。請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求出這幢教學(xué)樓的高度．(計算過程和結(jié)果均不取近似值)

ACDB

3．如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8,∠B=60°，BC=12,聯(lián)結(jié)AC．（1）求tanACB的值；

（2）若M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN，求線段MN的長．ADB

C

AQD

4.在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB5，AC6．

O過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E．（1）求△BDE的周長；

BPCE

（2）點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長交AD于點(diǎn)Q．求證：BPDQ．

九.統(tǒng)計與概率1.方差的計算公式：

2.連續(xù)五個整數(shù)的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。

1、有一組數(shù)據(jù)如下：3、a、4、6、7，它們的平均數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的方差是（）

A、10

B、

10C、2D、

2

2、某中學(xué)籃球隊12名隊員的年齡情況如下：則這個隊隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A．15，16B．15，15C．15，15.5D．16，153.某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測試，各項(xiàng)測試成績滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用．三位候選人的各項(xiàng)測試成績?nèi)缦卤硭�示�?/p>

測試項(xiàng)目測試成績甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測試的平均成績，誰將被錄用，說明理由；（2）根據(jù)實(shí)際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成績，誰將被錄用，說明理由．

4.某中學(xué)組織全校4000名學(xué)生進(jìn)行了民族團(tuán)結(jié)知識競賽．為了解本次知識競賽的成績分布情況，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分），并繪制了如圖6的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整）．

分組頻數(shù)頻率頻數(shù)

50.5~60.50.0516060.5~70.5140120

70.5~80.5801008080.5~90.50.2660

90.5~100.51480.374020

合計1050.560.570.580.590.5100.5成績/分請根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：圖6（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布表；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）上述學(xué)生成績的中位數(shù)落在哪一組范圍內(nèi)？

（4）學(xué)校將對成績在90.5~100.5分之間的學(xué)生進(jìn)行獎勵，請估計全校4000名學(xué)生中約有多少名獲獎？

十.應(yīng)用題

1、某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟(jì)危機(jī)影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元．（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？

（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦．已知甲種電腦每臺進(jìn)價為3500元，乙種電腦每臺進(jìn)價為3000元，公司預(yù)計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進(jìn)這兩種電腦共15臺，有幾種進(jìn)貨方案？

（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金a元，要使（2）中所有方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？年齡（單1415161718位：歲）人數(shù)14322.超市用5000元購進(jìn)一批新品種的蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥11000元資金購進(jìn)該品種蘋果，但這次的進(jìn)貨價比試銷時每千克多了0.5元，購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時的2倍．（1）試銷時該品種蘋果的進(jìn)貨價是每千克多少元?

（2）如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的400千克按定價的七折（“七折”即定價的70）售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？

3.為了迎接201*年大運(yùn)會，我市某一城區(qū)美化工程招標(biāo)時，有甲、乙兩個工程隊投標(biāo)．經(jīng)測算：甲隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天；若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？

（2）甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元．若該工程計劃在70天內(nèi)完成，在不超過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？

十一.動點(diǎn)與新知識題型

1.如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M(8,0)，點(diǎn)N(0,6)．點(diǎn)P從點(diǎn)N出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿N→O方向運(yùn)動，點(diǎn)Ｑ從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿O→M的方向運(yùn)動．已知點(diǎn)P、Ｑ同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Ｑ到達(dá)點(diǎn)M時，P、Ｑ兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）設(shè)四邊形．．．MNPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

（2）當(dāng)t為何值時，PＱ與l平行？yNP

MxOＱl

2.已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)yx1圖像的其中一個伴侶正方形。

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)yx1，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)ykx(k0)，他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m

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201*年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

代數(shù)部分

第一章：實(shí)數(shù)

基礎(chǔ)知識點(diǎn)：一、實(shí)數(shù)的分類：有理數(shù)實(shí)數(shù)無理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)數(shù)

正無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成的重要特征。

pq的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如2、34；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無限小數(shù)，如1.101001000100001……；特定意義的數(shù)，如π、sin45°等。3、判斷一個實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。二、實(shí)數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是－a；（2）a和b互為相反數(shù)a+b=02、倒數(shù)：

（1）實(shí)數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是3、絕對值：

（1）一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

1a；（2）a和b互為倒數(shù)ab1；（3）注意0沒有倒數(shù)

－1－

a,a0,a,a0a0a0

（2）實(shí)數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實(shí)數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性（正、負(fù)）確認(rèn)，再去掉絕對值符號。4、n次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a≥0，稱a叫a的平方根，a叫a的算術(shù)平方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。（3）立方根：3a叫實(shí)數(shù)a的立方根。

（4）一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根。三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)，而每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系。四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小。五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1、加法：

（1）同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結(jié)合律。2、減法：

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負(fù)，并把絕對值相乘。

－2－

（2）n個實(shí)數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0；若n個非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)。（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。（2）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（3）0除以任何數(shù)都等于0，0不能做被除數(shù)。5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級運(yùn)算，乘、除為二級運(yùn)算，加、減是一級運(yùn)算，如果沒有括號，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級的運(yùn)算，先算高級的運(yùn)算再算低級的運(yùn)算，有括號的先算括號里的運(yùn)算。無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算。六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

n1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N＞0，則N=a×。10（其中1≤a＜10，n為整數(shù)）

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數(shù)字。例題：

例1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且ab�；�簡：aabba

分析：從數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的位置可以看到：a＜0，b＞0且ab所以可得：解：原式aabbaa例2、若a(4343)3,33b(),4333c()，比較a、b、c的大小。

43分析：a()1；b1且b0；c＞0；所以容易得出：

34a＜b＜c。解：略

例3、若a2與b2互為相反數(shù)，求a+b的值。分析：由絕對值非負(fù)特性，可知a20,b20，又由題意可知：a2b20

－3－

所以只能是：a2=0，b+2=0，即a=2，b=2，所以a+b=0解：略例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1，求解：原式=0110

11eeee（2）2222abmcdm的值。

2例5、計算：（1）819940.1251994解：（1）原式=(80.125)1994119941

1111eeeeeeee=e11（2）原式=e2222代數(shù)部分第二章：代數(shù)式

基礎(chǔ)知識點(diǎn)：一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式。單獨(dú)一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。3、代數(shù)式的分類：有理式代數(shù)式無理式整式分式單項(xiàng)式多項(xiàng)式

二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

1、概念

（1）單項(xiàng)式：像x、7、2xy，這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個數(shù)或字母也

－4－

是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

升（降）冪排列：把一個多項(xiàng)式按某一個字母的指數(shù)從�。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋恚�叫做把多項(xiàng)式按這個字母升（降）冪排列。

（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、運(yùn)算

（1）整式的加減：

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號法則：括號前面是—+‖號，把括號和它前面的—+‖號去掉，括號里各項(xiàng)都不變；括號前面是—‖號，把括號和它前面的—‖號去掉，括號里的各項(xiàng)都變號。

添括號法則：括號前面是—+‖號，括到括號里的各項(xiàng)都不變；括號前面是—‖號，括到括號里的各項(xiàng)都變號。

整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項(xiàng)。

（2）整式的乘除：

冪的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：aaa(a)amnmnnmnmn；同底數(shù)冪相除：anmanamn；冪的乘方：

積的乘方：(ab)ab。

n單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得

－5－

的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)，再把所得的商相加。乘法公式：

平方差公式：(ab)(ab)a2b2；

完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：mambmcm(abc)（2）運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完全平方公式：a22abb2(ab)2（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)

（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。（5）運(yùn)用求根公式法：若ax2bxc0(a0)的兩個根是x1、x2，則有：

ax2bxca(xx1)(xx2)

3、因式分解的一般步驟：

（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。四、分式

1、分式定義：形如

AB的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

（1）分式無意義：B=0時，分式無意義；B≠0時，分式有意義。（2）分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。

（3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

－6－

（4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。

（5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。

（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。2、分式的基本性質(zhì)：（1）

ABAMBM（2）(M是0的整式)；

ABAMBM(M是0的整式)

（3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。3、分式的運(yùn)算：

（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。五、二次根式

1、二次根式的概念：式子a(a0)叫做二次根式。

（1）最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

（2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式（常用的有理化因式有：a與a；abcd與abcd）2、二次根式的性質(zhì)：

－7－

（1）(a)2a(a0)；（2）a2aababaa(a0)(a0)；（3）abab（a≥0，

b≥0）；（4）(a0,b0)

3、運(yùn)算：

（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。（2）二次根式的乘法：ab（3）二次根式的除法：

ababab（a≥0，b≥0）。(a0,b0)

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。例題：

一、因式分解：1、提公因式法：

例1、24a2(xy)6b2(yx)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[規(guī)律總結(jié)]因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進(jìn)行最后的審查，如果還能分解，應(yīng)繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、（1）x5x36；（2）(xy)4(xy)12

分析：可看成是x和(x+y)的二次三項(xiàng)式，先用十字相乘法，初步分解。解：略[規(guī)律總結(jié)]應(yīng)用十字相乘法時，注意某一項(xiàng)可是單項(xiàng)的一字母，也可是某個多項(xiàng)式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：例3、x2xx2

分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三、第四項(xiàng)一組，后提取，再公式。解：略[規(guī)律總結(jié)]對多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

－8－

3224

例4、x25x5解：略二、式的運(yùn)算

巧用公式例5、計算：(11ab)(121ab)

2分析：運(yùn)用平方差公式因式分解，使分式運(yùn)算簡單化。解：略

[規(guī)律總結(jié)]抓住三個乘法公式的特征，靈活運(yùn)用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運(yùn)用公式的技巧，使運(yùn)算簡便準(zhǔn)確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2(3x25x2)(4y27xy)，其中x=1y=1[規(guī)律總結(jié)]一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。3、分式的計算：例7、化簡

a52a6(16a3a3)

22

分析：a3可看成a9a3解：略

[規(guī)律總結(jié)]分式計算過程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負(fù)號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式2b1和7b是同類二次根式，求b的值。分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+1=7b。解：略

[規(guī)律總結(jié)]二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算是中考必考內(nèi)容，特別是二次根式的化簡、求值及性質(zhì)的運(yùn)用是中考的主要考查內(nèi)容。

代數(shù)部分

第三章：方程和方程組

基礎(chǔ)知識點(diǎn)：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個未知數(shù)的

－9－

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）（2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1。（4）一元一次方程有唯一的一個解。2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，a≠0）

（2）一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。（4）一元二次方程的根的判別式：b24ac當(dāng)Δ＞0時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時方程沒有實(shí)數(shù)根，無解；當(dāng)Δ≥0時方程有兩個實(shí)數(shù)根（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

2若x1,x2是一元二次方程axbxc0的兩個根，那么：x1x2ba，

x1x2ca

（6）以兩個數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是：

x(x1x2)xx1x20

2三、分式方程

（1）定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：

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一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。特殊方法：換元法。

（3）檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組3、一次方程組：（1）二元一次方程組：

a1xb1yc1一般形式：（a1,a2,b1,b2,c1,c2不全為0）

axbyc222解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當(dāng)兩個方程相同時有無數(shù)的解。（2）三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法4、二元二次方程組：

（1）定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組�？键c(diǎn)與命題趨向分析例題：

一、一元二次方程的解法例1、解下列方程：（1）

12(x3)22；（2）2x3x1；（3）

24(x3)25(x2)

2分析：（1）用直接開方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法解：略

[規(guī)律總結(jié)]如果一元二次方程形如(xm)n(n0)，就可以用直接開方法來解；利用公式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時，一定要把方程

－11－

化成一般形式。例2、解下列方程：

（1）x2a(3x2ab)0(x為未知數(shù))；（2）x22ax8a20

分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。[規(guī)律總結(jié)]對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時要注意判斷△的正負(fù)。二、分式方程的解法：例3、解下列方程：（2）

21x21x1（2）1；

x2x26xx225

分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法解：略

[規(guī)律總結(jié)]一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可采用換元法來解。三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于x的方程：(p1)x22pxp30有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求p的值。分析：由題意可得=0，把各系數(shù)代入=0中就可求出p，但要先化為一般形式。[規(guī)律總結(jié)]對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0例5、已知a、b是方程x（1）ab；（2）

2222x10的兩個根，求下列各式的值：

1a1b

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。

[規(guī)律總結(jié)]此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程xx50的兩個根小3分析：先出求原方程的兩根之和x1x2和兩根之積x1x2再代入求出(x13)(x22)和(x13)(x23)的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略

2[規(guī)律總結(jié)]此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡單。三、方程組

－12－

例7、解下列方程組：

xy2z12x3y3（1）；（2）2xyz5

x2y5xy3z4分析：（1）用加減消元法消x較簡單；（2）應(yīng)該先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。解：略

[規(guī)律總結(jié)]加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最簡單就先消那個未知數(shù)。

例8、解下列方程組：

22xy73xxy4y3x4y0（1）；（2）

22xy12xy25分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來求解；（2）要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。解：略

[規(guī)律總結(jié)]對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。

代數(shù)部分

第四章：列方程（組）解應(yīng)用題

知識點(diǎn)：

一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟1、審題：2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；4、解方程（組）；5、檢驗(yàn)，作答；

二、列方程（組）解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；1、工程問題

－13－

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率×工作時間

（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量（3）注意：工程問題常把總工程看作—1‖，水池注水問題屬于工程問題2、行程問題

（1）基本量之間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間（2）常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（設(shè)甲速度快）：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程乙走的路程=原來甲、乙相距路程同地不同時：甲的時間=乙的時間時間差；甲的路程=乙的路程3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；逆流速度=船在靜水中的速度水流速度4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量×（1+增長率）；5、數(shù)字問題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)×10+百位上的數(shù)×100三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合作5天后，甲組另有任務(wù)，由乙組再單獨(dú)工作1天就可完成，若單獨(dú)完成這項(xiàng)工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾天？

分析：設(shè)工作總量為1，設(shè)甲組單獨(dú)完成工程需要x天，則乙組完成工程需要(x+2)天，

－14－

等量關(guān)系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米，恰好在全程的處追上甲連。

31求乙連的行進(jìn)速度及追上甲連的時間

分析：設(shè)乙連的速度為v千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲連的速度為（v28）千米/小時，這時乙連行了(t74)小時，其等量關(guān)系為：甲走的路程=乙走的路程=30

例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺支援抗洪，由于改進(jìn)了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺？

分析：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺，則改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)x（1+0.5）臺，等量關(guān)系為：原計劃所用時間改進(jìn)技術(shù)后所用時間=2天解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經(jīng)營不善，銷售額下降10%，以后經(jīng)加強(qiáng)管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析：設(shè)三、四月份平均每月增長率為x%，二月份的銷售額為60（110%）萬元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，四月份的銷售額又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬元。解：略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%，所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：

稅后利息=1002.25%1002.25%20%1002.25%(120%)

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲戶存入了多少本金？

分析：設(shè)存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為2.25%(1－20%)x元，方程容易得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕档统杀敬胧�，�?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？

－15－

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)該降價x元，則每件襯衫的利潤為（40－x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，由關(guān)系式：

總利潤=每件的利潤×售出商品的叫量，可列出方程解：略

代數(shù)部分

第五章：不等式及不等式組

知識點(diǎn)：

一、不等式與不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用符號：≠，＜，＞）。2、不等式的性質(zhì)：

（l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變，如a＞b，c為實(shí)數(shù)a＋c＞b＋c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，如a＞b，c＞0ac＞bc。

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，如a＞b，c＜0ac＜bc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實(shí)數(shù)時，一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號方向是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯。

3、任意兩個實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系（三種）：

（1）ab＞0a＞b（2）ab=0a=b（3）ab＜0a＜b4、（1）a＞b＞02a2b

（2）a＞b＞0ab

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個不等式（組）的一個解。不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。

－16－

不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。2．求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。三、不等式（組）的類型及解法1、一元一次不等式：

（l）概念：含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等式的兩邊同乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)時，不等號方向要改變。2、一元一次不等式組：

（l）概念：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。例題：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)1、判斷正誤：

（1）若a＞b，c為實(shí)數(shù)，則ac2＞bc2；（2）若ac2＞bc2，則a＞b

分析：在（l）中，若c=0，則ac=bc；在（2）中，因?yàn)椤�＞‖，所以。C≠0，否則應(yīng)有ac=bc故a＞b解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條基本性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進(jìn)行討論。方法2：特殊值法

例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（）A、

1a1b2222B、ab＜0C、

ab1D、

ab1

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時間，又因?yàn)榇鸢冈谝话闱闆r下成立，當(dāng)然特殊情況也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)a＜b＜0的條件，可取a=2，b=l，代入檢驗(yàn)，易知

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ab1，所以選D

[規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識有限，不能直接解答時使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來。（1）82（x＋2）＜4x2；（2）1x122x13

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化成1，需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向。解：略

[規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要注意當(dāng)不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)生容易理解新知識和掌握新知識。方法4：數(shù)形結(jié)合法

2(x8)104(x3)例4、求不等式組：x16x7的非負(fù)整數(shù)解

132分析：要求一個不等式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不等式組的解集，再從解集中找出其中的非負(fù)整數(shù)解。解：略方法5：逆向思考法

例5、已知關(guān)于x的不等式(a2)x10a的解集是x＞3，求a的值。

分析：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為x＞3，與原不等式的不等號同向，所以有a2>0，即原不等式的解集為x10aa2，

10aa23解此方程求出a的值。解：略

[規(guī)律總結(jié)]此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。

代數(shù)部分

第六章：函數(shù)及其圖像

知識點(diǎn)：

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一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一對應(yīng)的關(guān)系。2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：點(diǎn)P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；點(diǎn)P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；點(diǎn)P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；點(diǎn)P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0。（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P（x,y）在x軸上y為0，x為任意實(shí)數(shù)。點(diǎn)P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實(shí)數(shù)。3．點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)的幾何意義：（1）點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離是|y|；（2）點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)袖的距離是|x|；（3）點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)的距離是

xy22

4．關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)P（a,b）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是P1(a,b)；（2）點(diǎn)P（a,b）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是P2(a,b)；（3）點(diǎn)P（a,b）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是P3(a,b)；二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。（1）自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)。③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是使被開方數(shù)非負(fù)的

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實(shí)數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，如果遇到實(shí)際問題，還必須使實(shí)際問題有意義。

（2）函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應(yīng)值。（3）函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

（4）由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點(diǎn)；③連線三、幾種特殊的函數(shù)1、一次函數(shù)

直線位置與k，b的關(guān)系：

（1）k＞0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角；（2）k＜0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；

（3）b＞0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的上方；（4）b＝0直線過原點(diǎn)；

（5）b＜0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；2、二次函數(shù)

－20－

拋物線位置與a，b，c的關(guān)系：

a0開口向上（1）a決定拋物線的開口方向

a0開口向下

（2）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置：

c>0圖像與y軸交點(diǎn)在x軸上方；c=0圖像過原點(diǎn)；c

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)P（m，4），已知點(diǎn)P到x軸的距離是到

y軸的距離2倍.

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo).；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。解：略

例2、已知a，b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的表達(dá)式，然后判斷所得結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.證明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.整理，得y=kx+(ka－b).①

因?yàn)閗≠0且ka－b是常數(shù)，故y=kx+(ka－b)是x的一次函數(shù)式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，則此直線經(jīng)過第________象限.

分析：先把a(bǔ)x+by+c=0化為abxcb.因?yàn)閍＜0，b＜0，所以aab0,b0，又bc＜0，

即c＜0，故－c＞0.相當(dāng)于在一次函數(shù)y=kx+l中，k=－abbb＜0，l=－

cb＞0，此直線與y

軸的交點(diǎn)(0，－cb)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直

線過第一、二、四象限.例4、把反比例函數(shù)y=

kx與二次函數(shù)y=kx2(k≠0)畫在同一個坐標(biāo)系里，正確的是().

－22－

答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負(fù)號應(yīng)相同(圖13－110).

例5、畫出二次函數(shù)y=x－6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）當(dāng)x=－1，1，3時y的值是多少？（2）當(dāng)y=2時，對應(yīng)的x值是多少？

（3）當(dāng)x＞3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？（4）當(dāng)x的值由3增加1時，對應(yīng)的y值增加多少？

分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把y=x－6x+7變形為y=（x－3）

222

－2，確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表、描點(diǎn)、畫圖．解：圖象略．

例6、拖拉機(jī)開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗油6升．（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象．答：（1）Q=45－6t．

（2）圖象略．注意：這是實(shí)際問題，圖象只能由自變量t的取值范圍0≤t≤7.5決定是一條線段，而不是直線．

代數(shù)部分第七章：統(tǒng)計初步

知識點(diǎn)：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)1、平均數(shù)

－23－

（1）x1,x2,x3,,xn的平均數(shù)，x1n(x1x2xn)

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，……，xk出現(xiàn)fk次（這里f1f2fkn），則x（3）平均數(shù)的簡化計算：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,xn中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與常數(shù)a接近時，設(shè)

x1a,x2a,x3a,,xna的平均數(shù)為x"則：xx"a。

1n(x1f1x2f2xkfk)

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個。

三、反映數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)：1、方差：

（l）x1,x2,x3,,xn的方差，S2222(x1x)(x2x)(xnx)n22222

（2）簡化計算公式：Sx1x2xnnx（x1,x2,x3,,xn為較小的整數(shù)

時用這個公式要比較方便）

2（3）記x1,x2,x3,,xn的方差為S，設(shè)a為常數(shù)，x1a,x2a,x3a,,xna的

方差為S`，則S=S`。

注：當(dāng)x1,x2,x3,,xn各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時，用該法計算方差較簡便。2、標(biāo)準(zhǔn)差：方差（S）的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差（S）。注：通常由方差求標(biāo)準(zhǔn)差。四、頻率分布1、有關(guān)概念

（1）分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組稱為分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，通常分成5－12組。

（2）頻數(shù)：每個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各個小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)

－24－

2

2

總數(shù)n。

（3）頻率：每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。

（4）頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。

（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制成的，以數(shù)據(jù)的各分點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距為縱坐標(biāo)的直方圖，叫做頻率分布直方圖。圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。每個小長方形的面積等于該組的頻率。

所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。

2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：

（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數(shù)；（3）決定分點(diǎn)；（4）列領(lǐng)率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。例題：

例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鱔魚苗201*0尾，其成活率為70％，隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千克）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9

根據(jù)樣本平均數(shù)估計這塘魚的總產(chǎn)量是多少千克？

分析：先算出樣本的平均數(shù)，以樣本平均數(shù)乘以201*0，再乘以70%。解：略［規(guī)律總結(jié)］求平均數(shù)有三種方法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散時，一般用平均數(shù)的概念來求；著所給數(shù)據(jù)較大且都在某一數(shù)a上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，通常采用加權(quán)平均數(shù)公式來計算。

例2、一次科技知識競賽，兩次學(xué)生成績統(tǒng)計如下

－25－

已經(jīng)算得兩個組的人均分都是80分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識進(jìn)一步判斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由

解：（l）甲組成績的眾數(shù)90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從眾數(shù)比較看，甲組成績好些。（2）算得S甲=172，S乙256所以甲組成績較乙組波動要小。

（3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)都是80分，甲組成績在中位數(shù)以上的有33人，乙組成績在中位數(shù)以上的有26人，從這一角度看甲組的成績總體要好。

（4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績高于80分的人數(shù)為20人，乙組成績高于80分的人數(shù)為24人，所以，乙組成績集中在高分段的人數(shù)多，同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績較好。

[規(guī)律總結(jié)］明確方差或標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)的波動的大小的，恰當(dāng)選用方差的三個計算公式，應(yīng)抓住三個公式的特征，根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選用計算公式。

例3、到從某學(xué)校3600人中抽出50名男生，取得他們的身高（單位cm），數(shù)據(jù)如下：181181179177177177176175175175175174174174174173173173173172172172172172171171171170170169l69168167167167166l66l66166166165165165163163162161160158157

1、計算頻率，并畫出頻率分布直方圖

2、上指出身高在哪一組內(nèi)的男學(xué)生人數(shù)所占的比最大

3．請估計這些初三男學(xué)生身高在166．5cm以下的約有多少人？

22－26－

解：1、各組頻率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.12

2、從頻率分布表（或圖）中，可見身高在171.5176.5組內(nèi)男學(xué)生人數(shù)所占的比最大。3、這個地方男學(xué)生身高166.5側(cè)以下的約為3000(0.080.22)900（人）[規(guī)律總結(jié)］要掌握獲得一組數(shù)據(jù)的頻率分布的五大步驟，掌握整理數(shù)據(jù)的步驟和方法。會對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分組。

幾何部分

第一章：線段、角、相交線、平行線

知識點(diǎn)：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是—直‖和—向兩方無限延伸‖。

二、直線的性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個交點(diǎn)。三、射線：

－27－

1、射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分叫做射線。2．射線的特征：—向一方無限延伸，它有一個端點(diǎn)�！�四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段，這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。2、線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。五、線段的中點(diǎn)：

1、定義如圖1一1中，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段，點(diǎn)B叫做線段圖1－1AC的中點(diǎn)。2、表示法：

∵AB＝BC

∴點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)或∵AB＝

12MAC

∴點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，或∵AC＝2AB，∴點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)反之也成立

∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AB=

12AC

或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AC=2BC

六、角

1、角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個重點(diǎn)①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個公共端點(diǎn)。另一種是一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。可以看出在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個角。2．角的平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。表示法有三種：如圖12（1）∠AOC＝∠BOC

（2）∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=

12∠AOB

－28－

七、角的度量：度量角的大小，可用—度‖作為度量單位。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。八、角的分類：

（1）銳角：小于直角的角叫做銳角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）鈍角：大于直角而小于平角的角

（4）平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時，所成的角叫做平角。

（5）周角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角。

（6）周角、平角、直角的關(guān)系是：l周角=2平角=4直角=360°九、相關(guān)的角：

1、對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。2、互為補(bǔ)角：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角做互為補(bǔ)角。3、互為余角：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。

4、鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長線的兩個角做互為鄰補(bǔ)角。注意：互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置無關(guān)，而互為鄰補(bǔ)角則要求兩個角有特殊的位置關(guān)系。十、角的性質(zhì)1、對頂角相等。

2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的補(bǔ)角相等。十一、相交線

1、斜線：兩條直線相交不成直角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點(diǎn)叫做斜足。

2、兩條直線互相垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。

3、垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。4、垂線的性質(zhì)

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（l）過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直。

（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。簡單說：垂線段最短。十二、距離

1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)的距離。

2、從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離。

3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。

說明：點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離實(shí)際上是兩個特殊點(diǎn)之間的距離，它們與點(diǎn)到直線的垂線段是分不開的。十三、平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

2、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

3、平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是指它們所在的直線平行。4、平行線的判定：

（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行。（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等。

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時，則應(yīng)用性質(zhì)定理。

6、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時，這兩個角相等。當(dāng)角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補(bǔ)。例題：

方法1：利用特殊—點(diǎn)‖和線段的長

例1、已知：如圖1－3，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB

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的中點(diǎn)，BD＝1.2cm。求：AD的長。

[思路分析]由D是CB中點(diǎn)，DB已知可求出CB，再由C點(diǎn)是AB中點(diǎn)可求出AB長，用AB減減去DB可求AD。解：略

[規(guī)律總結(jié)]利用線段的特殊點(diǎn)如—中點(diǎn)‖—比例點(diǎn)‖求線段的長的方法是較為簡便的解法。方法2：如何辨別角的個數(shù)與線段條數(shù)。

例2、如圖1－4在線段AE上共有5個點(diǎn)A、B、C、D、E怎樣才數(shù)出所有線段，

[思路分析]本問題如不認(rèn)真審題會誤以為有4點(diǎn)恰有4

個空就是4條線段即AB、BC、CD、ED；而如果從一個端點(diǎn)出發(fā)、再找出另一個端點(diǎn)確定線段，就會發(fā)現(xiàn)有10條線段：

即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。[規(guī)律總結(jié)]此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個端點(diǎn)出發(fā)，再找出另一個端點(diǎn)確定線段。

例3、如圖1一5指出圖形中直線AB上方角的個數(shù)（不含平角）

[思路分析]此題有些同學(xué)不認(rèn)真分析誤認(rèn)為就4個角，其實(shí)共有9個角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9個角。

[規(guī)律總結(jié)]從一個頂點(diǎn)引出多條射線時．為了確定角的個數(shù)，一般按邊順序分類統(tǒng)計，避免既不重復(fù)又不遺漏。方法3：用代數(shù)法求角度

例4、已知一個銳角的余角，是這個銳角的補(bǔ)角的

16，求這個角。

[思路分析]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補(bǔ)角。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們在數(shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為x，則它的余角為90x。，它的補(bǔ)角為180x，這就可以列方程了。解：略

[規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。

方法4：添加輔助線平移角例5、已知：如圖l6，AB∥ED求證：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

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[思路分析]我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關(guān)的以C為頂點(diǎn)的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點(diǎn)的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個角組成一分周角，則可推出結(jié)論。證時：略

規(guī)律總結(jié)]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。

幾何部分第二章：三角形

知識點(diǎn)：

一、關(guān)于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。1、三角形的角平分線。

三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對邊交線間的距離）2、三角形的中線

三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)間的距離）3．三角形的高

三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對邊的距離）注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。

如圖2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內(nèi)如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內(nèi)

而圖2－3，說明高線不一定在△ABC內(nèi)，

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圖2－3（1），中三條高線都在△ABC內(nèi)，

圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊；圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內(nèi)，而高線AD、CF在△ABC外。三、三角形三條邊的關(guān)系

圖23（1）圖23（2）圖2－3一（3）

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。

三角形接邊相等關(guān)系來分類：

不等邊三角形三角形三角形底邊和腰不相等的等腰等腰三角形等邊三角形三角形

用集合表示，見圖2－4

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。

例如三條線段長分別為5，6，1人因?yàn)?＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。

三、三角形的內(nèi)角和

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定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知△ABC的兩個角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°90°40°＝50°由定理可以知道，三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角。推論1：直角三角形的兩個銳角互余。三角形按角分類：

直角三角形三角形銳角三角形斜三角形鈍角三角形

用集合表示，見圖

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。例如圖26中

∠1＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。四、全等三角形

能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。

兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。全等用符號—≌‖表示

△ABC≌△A`B`C`表示A和A`，B和B`，C和C`是對應(yīng)點(diǎn)。全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

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邊是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A，∠B，∠C的對應(yīng)角是∠A`、∠B`、∠C`。

如圖27，△ABC≌△A`B`C`，則有A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A`、B`、C`；AB、BC、CA的對應(yīng)

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`五、全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成—邊角邊‖或—SAS‖）

注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成—角邊角—或—ASA‖）

3、推論有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成—角角邊’域—AAS‖）

4、邊邊邊公理有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成—邊邊邊‖或—SSS‖）由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。

除了上面的判定定理外，—邊邊角‖或—角角角‖都不能保證兩個三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成—斜邊，直角邊‖或—HL‖）六、角的平分線

定理1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。定理2、一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。

可以證明三角形內(nèi)存在一個點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）

在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那

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么另一個叫它的逆命題。

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定理。

例如：—兩直線平行，同位角相等‖和—同位角相等，兩直線平行‖是互逆定理。一個定理不一定有逆定理，例如定理：—對頂角相等‖就沒逆定理，因?yàn)椤�相等的角是對頂角‖這是一個假命顆。

七、基本作圖

限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作網(wǎng)＿

最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應(yīng)角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到對應(yīng)角相等。

3、經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線：（1）若點(diǎn)在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點(diǎn)，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點(diǎn)，連結(jié)CD即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線：線段的垂直平分線也叫中垂線。做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（SSS）。也可以用這個方法作線段的中點(diǎn)。八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形2、已知底邊上的高，求作等腰三角形九、等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成—等邊對等角‖）推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊�三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等n

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十、等腰三角形的判定

定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成—等角對等動‖）。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。十一、線段的垂直平分線

定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。十二、軸對稱和軸對稱圖形

把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，這條直線叫對稱軸。兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫軸對稱。

定理1：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

定理2：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。定理3：兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長相交。那么交點(diǎn)在對稱軸上。

逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：abc勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：abc那么這個三角形是直角三角形

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例題：

例1、已知：AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OC=OD,E、F為AB上兩點(diǎn)，且AE=BF.求證：CE=DF

分析：要證CE=DF，可證△ACE≌△BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出

△AOC≌△BOD，得出AC=BD，從而證出△ACE≌△BDF.

證明：略

例2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE=CF。求證：BF=DE分析：觀察圖形，BF和DE分別在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。

證明：略

例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角,∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC證明：略

例4、已知：如圖3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用—等角的余角相等‖可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等．證明：略

幾何部分

第三章：四邊形

知識點(diǎn)：

一、多邊形

1、多邊形：由一些線段首尾順次連結(jié)組成的圖形，叫做多邊形。2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。

3、多邊形的頂點(diǎn)：多邊形每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)。

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4、多邊形的對角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線。5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。

6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。

說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角。8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。

注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角。9、n邊形的對角線共有

12n(n3)條。

說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數(shù)計算出它的對角線的條數(shù)，也可以由一個多邊形的對角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。

10、多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于（n－2）180°。11、多邊形內(nèi)角和定理的推論：n邊形的外角和等于360°。

說明：多邊形的外角和是一個常數(shù)（與邊數(shù)無關(guān)），利用它解決有關(guān)計算題比利用多邊形內(nèi)角和公式及對角線求法公式簡單。無論用哪個公式解決有關(guān)計算，都要與解方程聯(lián)系起來，掌握計算方法。二、平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。3、平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等。

4、平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。5、平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。

6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

說明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎(chǔ)。同時又是

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證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質(zhì)，又是平行四邊形的一個判定方法。三、矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)?0°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充的。1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）2、矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角。3．矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等。

4、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。

說明：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。

5、矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。說明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）四、菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當(dāng)兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。說明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）（五）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時運(yùn)動時，又能使平行四邊形的一個內(nèi)

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角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。

3、正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）六、梯形

1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性質(zhì)定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。8、等腰梯形性質(zhì)定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。

9、等腰梯形的判定定理l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點(diǎn)；或延長兩腰交于一點(diǎn)。七、中位線

1、三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2、梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線。

－41－

3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

八、多邊形的面積

說明：多邊形的面積常用的求法有：

（1）將任意一個平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3－l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點(diǎn)向這條對角線引垂線，把六邊形分成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。（2）將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當(dāng)?shù)奈恢蒙�，從而改變原來圖形的形狀。利用計算變形后的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補(bǔ)法。（3）將一個平面圖形通過拼補(bǔ)某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋�圖形，利用新的圖形減去所補(bǔ)充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。

注意：兩個圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積相等。一個圖形的面積等于它的各部分面積的和。例題：

例1、如圖41－2，求∠B+∠C+∠D的度數(shù)和。

－42－

例2、一個多邊形的每一個外角都等于45°，那么這個多邊形的內(nèi)角和是多少度。分析：用多邊形外角和公式就可以求解。

例3、已知：如圖43－1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD內(nèi)角的度數(shù)與邊長。

例4、如圖45－4，在□ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，EF過O分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，且AE⊥BC，求證：四邊形AECF是矩形。

例5、如圖48－3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點(diǎn)，且

MN⊥AB。

求證：梯形ABCD是等腰梯形。

圖48－3

例6、已知：如圖49－2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求證：AE=EB。

－43－

幾何部分第四章：相似形

知識點(diǎn)：

一、比例線段

1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或

abmn）

2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如

ababcdcdabcd

4、比例外項(xiàng)：在比例5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例

（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。

ab（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

cd6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

abba7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。

（或a:b=b:c時，我們

8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。11、合比性質(zhì)：如果

abcd，那么

abbcdd

－44－

12．等比性質(zhì)：如果

abcdmn，（bdm0），那么

acmbdnab

說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時常采用設(shè)已知條件為k，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。

說明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的

512倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。

二、平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

格式：如果直線L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l

說明：由此定理可知推論1和推論2

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰。格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

格式，如果△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖432、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。

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3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例。

說明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語言來表達(dá)。如圖44說明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關(guān)系依然存在。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

5、三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。

6、線段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線段上的一個點(diǎn)，將線段分成兩條線段，這個點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。

7、線段的外分點(diǎn)：在一條線段的延長線上的點(diǎn)，有時也叫做這條線段的外分點(diǎn)。說明：外分點(diǎn)分線段所得的兩條線段，也就是這個點(diǎn)分別和線段的兩個端點(diǎn)確定的線段。

三、相似三角形

1、相似三角形：兩個對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。說明：證兩個三角形相似時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。

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2、相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

說明：這個定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么就兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。

（2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

（3）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時，也可以用它們來判定兩個三角形的相似。

第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。第二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形．相似。5、相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

（2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比。

說明：以上兩個性質(zhì)簡單記為：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比。（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說明：兩個三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這個性質(zhì)。

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6、介紹有特點(diǎn)的兩個三角形

（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個三角形叫做共邊三角形。

（2）共角三角形有一個角相等或互補(bǔ)的兩個三角形叫做共角三角形，如圖4－6

（3）公邊共角有一個公共角，而且還有一條公共邊的兩個三角形叫做公邊共角三角形。說明：具有公邊共角的兩個三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖47若△ACD∽△ABC，則AC2＝ADAB例題：

例1、已知：

a2bbcab的值.,.求:354bc分析：已知等比條件時常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；

(3)方程的思想，用其中一個字母表示其他字母.解：由

a2b3及b5c4，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k,則

(a+b):(b－c)=25:3.

例2已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點(diǎn)，過O作EF∥BC，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF;(2)求證AF∥MC.

1AD1BC2EF;(3)若MN為梯形中位線，

－48－

分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.①若

adcdbac"",a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；,則a=b(只適用于線段，對實(shí)數(shù)不成立)；

②若

ada③若,ac,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.

"ddd"d(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.(3)證明

ca1ADcb1BC2EF時，可將其轉(zhuǎn)化為—

1a1b1c‖類型后：

①化為

1直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

②直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例.

(4)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.延長BA，CD交于S，AF∥MC

∴AF∥MC成立.

(5)用運(yùn)動的觀點(diǎn)將問題進(jìn)行推廣.

若直線EF平行移動后不過點(diǎn)O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5－126(b),O1F

與O2F是否相等?為什么?

(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等

－49－

例3已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.

(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到

ADBCDFCEADDCDECF

結(jié)合中點(diǎn)定義得到得到AF⊥BE.

,結(jié)合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進(jìn)一步可

(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③三角形相似的預(yù)備定理；④直接利用相似三角形的性質(zhì)；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面積關(guān)系.

例4已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.

求證：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

掌握基本圖形—RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D‖中的常用結(jié)論.①勾股定理：AC2+BC2=AB2.②面積公式：ACBC=ABCD.

③三個比例中項(xiàng)：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

22⑤ACBCAD

BD證明：第(1)題：∵CD2=ADBD,

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