中考圓知識點經(jīng)典總結(jié)

圓知識點學(xué)案

考點一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義

在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

考點二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)�。ǘ嘤萌齻�字母表示）；小于半圓的弧叫做劣�。ǘ嘤脙蓚�字母表示）

考點三、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過圓心垂直于弦

直徑平分弦知二推三平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧

考點四、圓的對稱性1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

考點五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

考點六、圓周角定理及其推論1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考點七、點和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：dr點P在⊙O外。

考點八、過三點的圓1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補。

考點九、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，

（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交dr；

考點十、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內(nèi)接四邊形

DC∴CBAD180BD180

DAEC

考點十一、切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；BA兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線O2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。MA以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

B考點十二、切線長定理

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長

O相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

P即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB；PO平分BPAA

考點十三、圓冪定理

1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，OB∴PAPBPCPDPC推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑

C所成的兩條線段的比例中項。

B即：在⊙O中，∵直徑ABCD，AOEENDA∴CE2AEBE

D2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交

點的兩條線段長的比例中項。

即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線

DAEO

PCB

∴PA2PCPB

3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如右圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

考點十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點

∴O1O2垂直平分AB

考點十五、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和

考點十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。

考點十七、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r

兩圓相交R-r

4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)

如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

考點十八、圓內(nèi)正多邊形的計算1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系

只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。3、正三角形

tBO中D進行：在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在ROD:BD:OB1:；3:2C

CB

OOOABDADBEA

4、正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在RtOAE中進行，OE:AE:OA1:1:2：5、正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在RtOAB中進行，AB:OB:OA1:3:2.

考點十九、與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心

OS正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

考點二十、正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

AlB

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

考點二十一、弧長和扇形面積1、弧長公式

nrn°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l

1802、扇形面積公式

n1S扇R2lR

3602其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側(cè)面積

1Sl2rrl

2其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

考點二十二、內(nèi)切圓及有關(guān)計算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。

abc（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。

21（3）S△ABC=r(abc)，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。

AD2O（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。CB

考點二十三、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

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圓知識點學(xué)案

考點一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義

在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

考點二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)�。ǘ嘤萌齻�字母表示）；小于半圓的弧叫做劣�。ǘ嘤脙蓚�字母表示）

考點三、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過圓心垂直于弦

直徑平分弦知二推三平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧

考點四、圓的對稱性1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

考點五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

考點六、圓周角定理及其推論1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考點七、點和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：dr點P在⊙O外。

考點八、過三點的圓1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補。

考點九、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交dr；

考點十、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

考點十一、切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）

MCDBAEOAN

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。

推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

考點十二、切線長定理

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB；PO平分BPA

考點十三、圓冪定理

1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PAPBPCPD

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線

∴PA2PCPB

3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如右圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線

∴PCPBPDPE

考點十四、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

APCDOBAEBOEDBPABOOPCADCA即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點

∴O1O2垂直平分AB

O1BO

考點十五、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和

CABO1O2

考點十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。

考點十七、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r

兩圓相交R-r

4、正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在RtOAE中進行，OE:AE:OA1:1:2：

5、正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在RtOAB中進行，AB:OB:OA1:3:2.

考點十九、與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑OS正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角�？键c二十、正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。考點二十一、弧長和扇形面積1、弧長公式

nrn°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l

180AlB2、扇形面積公式

S扇n360R212lR

其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側(cè)面積

S12l2rrl

其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑�？键c二十二、內(nèi)切圓及有關(guān)計算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=（3）S△ABC=

12abc2。

ADOB

r(abc)，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。

（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。

如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C

考點二十三、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

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