備戰(zhàn)201*高考數(shù)學(xué) 選擇題解題方法歸納總結(jié)(真題為例)：分類討論法

選擇題解法歸納總結(jié)

分類討論法

在解答某些問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納，綜合得出結(jié)論。對(duì)于分類討論法方法的使用，筆者將另文詳細(xì)解析。

典型例題：

例1：已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10【】

(A)7(B)5(C)(D)

【答案】D。【考點(diǎn)】等比數(shù)列。

【解析】∵an為等比數(shù)列，a4a72，a5a6a4a78，∴a44,a72或

a42,a74。

由a44,a72得a18,a101，即a1a107；

由a42,a74得a11,a108，即a1a107。故選D。

1)nan＝2n－1，則an的前60項(xiàng)和為【】例2：數(shù)列an滿足an1＋(－（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。

【考點(diǎn)】分類歸納（數(shù)字的變化類），數(shù)列。

1)nan＝2n－1得，【解析】求出an的通項(xiàng)：由an1＋(－a21a1；a33a2=2；a45a3=7；當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，1a1a當(dāng)n=4時(shí)，a57a4=a1；當(dāng)n=5時(shí)，a69a5=9a1；當(dāng)n=6時(shí)，

a711a6=2a1；

當(dāng)n=7時(shí)，a713a6=15a1；當(dāng)n=8時(shí)，a815a7=a1；

當(dāng)n=4m+1時(shí)，a4m28m1a1；當(dāng)n=4m+2時(shí)，a4m22a1；當(dāng)n=4m+3時(shí)，

a4m48m7a1；

當(dāng)n=4m+4時(shí)，a4m5a1（m=0,1,2，。）∵a4ma4m5a1，∴

{an}的四項(xiàng)之和為

a4m1a4m2a4m3a4m4=a18m1a12a18m7a1=16m10（m=0,1,2，。）

設(shè)bma4m1a4m2a4m3a4m4=16m10（m=0,1,2，。）

則{an}的前60項(xiàng)和等于{bm}的前15項(xiàng)和，而{bm}是首項(xiàng)為10，公差為16的等

差數(shù)列，

∴{an}的前60項(xiàng)和={bm}的前15項(xiàng)和=

101614102151830。故選D。

例3：6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有【】

A.240種B.360種C.480種D.720種【答案】C。

【考點(diǎn)】排列組合的應(yīng)用。

【解析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先的原則，選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，在其余4個(gè)次

115A5480序演講有C4種組合，則其余5位選手進(jìn)行全排列。因此，不同的演講次序共有C4種。故選C。

例4：從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為【】

A.24B.18C.12D.6【答案】B。

【考點(diǎn)】排列組合問題。

【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后百位（2種情況），共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個(gè)位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是O，一種倩況），共6種。因此總共有12+6=18種情況。故選B。例5：（201*年重慶市理5分）設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f"(x)，且函數(shù)

y(1x)f"(x)的圖像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是【】

（A）函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)（B）函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)（C）函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)（D）函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)

【答案】D。

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的圖象。

【分析】由圖象知，y(1x)f"(x)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，－2，1，2，∴f"(2)=0，f"(2)=0。由此得到x，y，1x，f"(x)和f(x)在(,)上的情況：

x(,2)2－(2,1)1(1,2)2(2,)y1xf"(x)f(x)＋＋＋0＋0極大值－＋－00－非極值＋－－0－0極小值－－＋

∴f(x)的極大值為f(2)，f(x)的極小值為f(2)。故選D。

例6：若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有【】

A．60種B．63種C．65種D．66種【答案】D。

【考點(diǎn)】分類討論，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。

【解析】1，2，2，…，9這9個(gè)整數(shù)中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)．要想同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)其和為偶數(shù)，則取法有：

4個(gè)都是偶數(shù)：1種；

222個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)：C5C460種；

44個(gè)都是奇數(shù)：C55種。

∴不同的取法共有66種。故選D。

例7：從概率位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是【】A.

4121B.C.D.9399【答案】D。

【考點(diǎn)】分類討論的思想，概率。

【解析】由題意知，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)應(yīng)該一奇一偶。

①個(gè)位數(shù)為奇數(shù)，十位數(shù)為偶數(shù)共有5×5=25個(gè)兩位數(shù)；②個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，十位數(shù)為奇數(shù)共有5×4=20個(gè)兩位數(shù)。

兩類共有25+20=45個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)為0，十位數(shù)為奇數(shù)的有10,30,50,70,90共5

個(gè)數(shù)。

∴概率位數(shù)為0的概率是

2251=。故選D。459例8：方程aybxc中的a,b,c{3,2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有【】

A、60條B、62條C、71條D、80條【答案】B。

【考點(diǎn)】分類討論的思想，拋物線的定義。

【解析】將方程aybxc變形得x222ac，若表示拋物線，則a0,b0yb2b2∴分b=－3,－2，1，2，3五種情況：

a2,c0,或1,或2,或3a1,c2,或0,或2,或3（1）若b=－3，;（2）若b=3,

a2,c2,或0,或1,或3a3，c2,或0,或1,或2a2,c0,或1,或2,或3a1,c2,或0,或2,或3a2,c2,或0,或1,或3a3，c2,或0,或1,或2以上兩種情況下有9條重復(fù)，故共有16+7=23條；

同理當(dāng)b=－2,或2時(shí)，共有23條；當(dāng)b=1時(shí)，共有16條。綜上，共有23+23+16=62條。故選B。

例9：兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局著獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有【】

A.10種B.15種C.20種D.30種【答案】D。

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，分類計(jì)數(shù)原理。

【解析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有可能情形可分為3:0，3:1，3:2三類，在每一類中可利用組合數(shù)公式計(jì)數(shù)，最后三類求和即可得結(jié)果：

當(dāng)比分為3:0時(shí)，共有2種情形；當(dāng)比分為3:1時(shí)，共有C4A2=8種情形；當(dāng)比分為3:2時(shí)，共有C5A2=20種情形�？偣灿�2+8+20=30種。故選D。

例10：函數(shù)fx=xcosx在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【】

22212A.4B.5C.6D.7【答案】C。

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程，三角函數(shù)的周期性。

2【解析】由fx=xcosx=0得x=0或cosx=0。

2

當(dāng)x=0時(shí)，f0=0，∴x=0是函數(shù)fx=xcosx在區(qū)間[0,4]上的一個(gè)零點(diǎn)。

2當(dāng)cosx=0時(shí)，∵0

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選擇題解法歸納總結(jié)

篩選排除法

篩選排除法是解選擇題的一種常用方法，使用排除法的前提條件是答案唯一，它的解題方法是根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合選項(xiàng)，通過觀察、比較、猜想推理和計(jì)算，進(jìn)行排查，從四個(gè)選項(xiàng)中把不正確的答案一一淘汰，最后得出正確答案的方法。篩選排除法可通過觀察、比較、分析和判斷，進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算選出正確的答案，特別對(duì)用由因?qū)Ч�法解之較困難而答案又模棱兩可者更有用。

典型例題：

ａ例1：已知n為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是【】

a12a322a22C.若a1=a3，則a1=a2D.若a3＞a1，則a4A.a1a32a2B.＞a2【答案】B。

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的基本概念，均值不等式。

ａ【解析】本題易用排除法求解：設(shè)等比數(shù)列n的公比為q，則

A，當(dāng)a1

對(duì)于A，令y=fx=cos2x，則fx=cos2x=cos2x=fx，∴函數(shù)為偶函

數(shù)。

而ycos2x在0，（1，2）中上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

22，1，，22所以ycos2x在區(qū)間（1，2）內(nèi)不全是增函數(shù)，故排除A。

對(duì)于B，函數(shù)ylog2x為偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)ylog2xlog2x為增函

數(shù)，所以在(1,2)上也為增函數(shù)，故B滿足題意。

exex對(duì)于C，令y=fx，xR，則fx=fx，∴函數(shù)為偶函數(shù)為奇

2函數(shù)，故可排除C

對(duì)于D，為非奇非偶函數(shù)，可排除D。故選B。

例3：已知0，函數(shù)f(x)sin(x

則的取值范圍是【】)在(,)上單調(diào)遞減。

2415131](A)[,](B)[,](C)(0,](D)(0,222424【答案】A。

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)。

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)利用排它法逐項(xiàng)判斷：

59,]，不合題意，∴排除(D)。

44435∵1時(shí)，(x)[(。故選),]，合題意，∴排除(B)CA。

444∵2時(shí)，(x)[例4：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量【】A．若|ab||a||b|，則abB．若ab，則|ab||a||b|

C．若|ab||a||b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD．若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab||a||b|

【答案】C。

【考點(diǎn)】平面向量的綜合題。

【解析】利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的：

∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，∴選項(xiàng)A：|a＋b|＝|a|－|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量，不正確；選項(xiàng)B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正確；

選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然|a＋b|

＝|a|－|b|，不正確。

故選C。

例5：（201*年湖南省理5分）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【】

【答案】D。

【考點(diǎn)】組合體的三視圖。

【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗�的正視圖上面應(yīng)為如圖的矩形。故選D。例6：（201*年江西省理5分）下列函數(shù)中，與函數(shù)y1定義域相同的函數(shù)為【】3xA．y1lnxsinxxB.yC.yxeD.y

xsinxx【答案】D。

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域。

【解析】求函數(shù)的定義域的依據(jù)就是要使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍。其求解根據(jù)一般有:(1)分式中，分母不為零;(2)偶次根式中，被開方數(shù)非負(fù)；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0：（4）

實(shí)際問題還需要考慮使題目本身有意義。由函數(shù)y1的意義可求得其定義域?yàn)?x{x|xR，x0}，于是對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得答案：

1的其定義域?yàn)閧x|xk，kZ}，故A不滿足；sinxlnx對(duì)于B，y的定義域?yàn)閧x|xR，x>0}，故B不滿足；

x對(duì)于A，y對(duì)于C，yxe的定義域?yàn)閧x|xR}，故C不滿足；對(duì)于D，yxsinx的定義域?yàn)閧x|xR，x0}，故D滿足。x1sinx定義域相同的函數(shù)為：y。故選D。3xx綜上所述，與函數(shù)y例7：下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C。

【考點(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)�！窘馕觥坎捎门懦�法：

若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也

可能相交，所以A錯(cuò)；

一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B

錯(cuò)；

若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確。故選C。

例8：（201*年四川省理5分）函數(shù)yax1(a0,a1)的圖象可能是【】a

A、B、C、D、

【答案】D�！究键c(diǎn)】函數(shù)圖像。

【解析】采用排除法：函數(shù)yax1，選項(xiàng)只有D符合，故選D。(a0,a1)恒過（－1,0）

a例9：如下圖，已知正四棱錐SABCD所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SEx(0x1),截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)yV(x)的圖像大致為【】

【答案】A。

【考點(diǎn)】棱錐的體積公式，線面垂直，函數(shù)的思想。

【解析】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問題，若函數(shù)yfx的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，可采用定性排它法：

1時(shí)，隨著x的增大，Vx單調(diào)遞減，且遞減的速度越21來越快，不是SEx的線性函數(shù)，可排除C，D。當(dāng)x1時(shí)，隨著x的增大，Vx單

2觀察圖形可知，當(dāng)0x調(diào)遞減，且遞減的速度越來越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。

如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而

造成前功盡棄，并且作為選擇題也沒有太多的時(shí)間去解答。我們也解答如下：

連接AC，BD，二者交于點(diǎn)O，連接SO，過點(diǎn)E作底面的垂線EH。

當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE。

∴SE⊥面BDE�！喈�(dāng)SEx1時(shí)，截面為三角形EBD，截面下面部分錐體的底為BCD。222又∵SA＝SC＝1，AC＝2，SO＝2。此時(shí)EH。

4∴V(x)11221。32424當(dāng)0

22：EH1：1x，即EH1x。22由EI∥SA，SEx，CS1,AC2得x：AI1：2，即AI2x。易知AFG是

等腰直角三角形，即FG2AI22x。∴SAFG∴

11FGAI22x2x2x2。2211122V(x)SBCDFGEHSABCDSAFGEH12x21x12x21x。33326當(dāng)

1

例10：如下圖，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m),OA與OB的夾角為

，以A為圓心，AB6為半徑作圓弧BDC與線段OA延長線交與點(diǎn)C.甲。乙兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，甲先以速度1（單位:ms）沿線段OB行至點(diǎn)B，再以速度3（單位：m/s）沿圓弧BDC行至點(diǎn)C后停止，

乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至A點(diǎn)后停止。設(shè)t時(shí)刻甲、乙所到的兩點(diǎn)連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為S，則函數(shù)yS的圖像大致是【】（t）（t）（（S0）0）

A.B.C.D.

【答案】A。

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象。

【解析】由題設(shè)知，OA=2（單位：m）,OB=1(單位：m)，兩者行一秒后，甲行到B停止，乙此時(shí)行到A，故在第一秒內(nèi)，甲、乙所到的兩點(diǎn)連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為的值增加得越來越快，一秒鐘后，隨著甲的運(yùn)動(dòng)，所圍成的面積增加值是扇形中AB所S（t）掃過的面積，由于點(diǎn)B是勻速運(yùn)動(dòng)，故一秒鐘后，面積的增加是勻速的，且當(dāng)甲行走到C后，即B與C重合后，面積不再隨著時(shí)間的增加而改變，故函數(shù)yS隨著時(shí)間t的增加先是增（t）加得越來越快，然后轉(zhuǎn)化成勻速增加，然后面積不再變化，考察四個(gè)選項(xiàng)，只有A符合題意。故選A。

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