堪稱經(jīng)典的高一數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、集合與簡(jiǎn)易邏輯易錯(cuò)點(diǎn)1遺忘空集致誤

錯(cuò)因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，對(duì)于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三種情況，在解題中如果思維不夠縝密就有可能忽視了B≠φ這種情況，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，更要充分注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況�？占�是一個(gè)特殊的集合，由于思維定式的原因，考生往往會(huì)在解題中遺忘了這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或是解題不全面。易錯(cuò)點(diǎn)2忽視集合元素的三性致誤

錯(cuò)因分析：集合中的元素具有確定性、無(wú)序性、互異性，集合元素的三性中互異性對(duì)解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)字母參數(shù)的一些要求。在解題時(shí)也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。易錯(cuò)點(diǎn)3四種命題的結(jié)構(gòu)不明致誤

錯(cuò)因分析：如果原命題是“若A則B”，則這個(gè)命題的逆命題是“若B則A”，否命題是“若┐A則┐B”，逆否命題是“若┐B則┐A”。這里面有兩組等價(jià)的命題，即“原命題和它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)”。在解答由一個(gè)命題寫出該命題的其他形式的命題時(shí)，一定要明確四種命題的結(jié)構(gòu)以及它們之間的等價(jià)關(guān)系。另外，在否定一個(gè)命題時(shí)，要注意全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。如對(duì)“a,b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a,b不都是偶數(shù)”，而不應(yīng)該是“a,b都是奇數(shù)”。易錯(cuò)點(diǎn)4充分必要條件顛倒致誤

錯(cuò)因分析：對(duì)于兩個(gè)條件A，B，如果A=>B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果B=>A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果AB，則A，B互為充分必要條件。解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時(shí)一定要根據(jù)充要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷。易錯(cuò)點(diǎn)5邏輯聯(lián)結(jié)詞理解不準(zhǔn)致誤

錯(cuò)因分析：在判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題時(shí)很容易因?yàn)槔斫獠粶?zhǔn)確而出現(xiàn)錯(cuò)誤，在這里我們給出一些常用的判斷方法，希望對(duì)大家有所幫助：p∨q真p真或q真，命題p∨q假p假且q假（概括為一真即真）；命題p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假（概括為一假即假）；┐p真p假，┐p假p真（概括為一真一假）。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)6求函數(shù)定義域忽視細(xì)節(jié)致誤錯(cuò)因分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此要求定義域就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái)，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。在求一般函數(shù)定義域時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：（1）分母不為0；（2）偶次被開放式非負(fù)；（3）真數(shù)大于0；（4）0的0次冪沒有意義。函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集，在解決函數(shù)定義域時(shí)不要忘記了這點(diǎn)。對(duì)于復(fù)合函數(shù)，要注意外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)的值域決定的。

易錯(cuò)點(diǎn)7帶有絕對(duì)值的函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：帶有絕對(duì)值的函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是分段函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一是在各個(gè)段上根據(jù)函數(shù)的解析式所表示的函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，最后對(duì)各個(gè)段上的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合；二是畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷。研究函數(shù)問題離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反應(yīng)了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研究函數(shù)問題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到函數(shù)的圖象，學(xué)會(huì)從函數(shù)圖象上去分析問題，尋找解決問題的方案。對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增（減）區(qū)間，千萬(wàn)記住不要使用并集，只要指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可。易錯(cuò)點(diǎn)8求函數(shù)奇偶性的常見錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：求函數(shù)奇偶性的常見錯(cuò)誤有求錯(cuò)函數(shù)定義域或是忽視函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)具有奇偶性的前提條件不清，對(duì)分段函數(shù)奇偶性判斷方法不當(dāng)?shù)�。判斷函�?shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶的函數(shù)。在定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，在用定義進(jìn)行判斷時(shí)要注意自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意性。

易錯(cuò)點(diǎn)9抽象函數(shù)中推理不嚴(yán)密致誤

錯(cuò)因分析：很多抽象函數(shù)問題都是以抽象出某一類函數(shù)的共同“特征”而設(shè)計(jì)出來(lái)的，在解決問題時(shí)，可以通過(guò)類比這類函數(shù)中一些具體函數(shù)的性質(zhì)去解決抽象函數(shù)的性質(zhì)。解答抽象函數(shù)問題要注意特殊賦值法的應(yīng)用，通過(guò)特殊賦值可以找到函數(shù)的不變性質(zhì)，這個(gè)不變性質(zhì)往往是進(jìn)一步解決問題的突破口。抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉一些條件，更不要臆造條件，推理過(guò)程要層次分明，書寫規(guī)范。易錯(cuò)點(diǎn)10函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)致誤

錯(cuò)因分析：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也是方程f(c)=0的根，這個(gè)結(jié)論我們一般稱之為函數(shù)的零點(diǎn)定理。函數(shù)的零點(diǎn)有“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，對(duì)于“不變號(hào)零點(diǎn)”，函數(shù)的零點(diǎn)定理是“無(wú)能為力”的，在解決函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)要注意這個(gè)問題。易錯(cuò)點(diǎn)11混淆兩類切線致誤錯(cuò)因分析：曲線上一點(diǎn)處的切線是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線的切線，這樣的切線只有一條；曲線的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線是指過(guò)這個(gè)點(diǎn)的曲線的所有切線，這個(gè)點(diǎn)如果在曲線上當(dāng)然包括曲線在該點(diǎn)處的切線，曲線的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線可能不止一條。因此求解曲線的切線問題時(shí)，首先要區(qū)分是什么類型的切線。

易錯(cuò)點(diǎn)12混淆導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系致誤

錯(cuò)因分析：對(duì)于一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，如果認(rèn)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大于0，就會(huì)出錯(cuò)。研究函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系時(shí)一定要注意：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（�。┯诘扔�0，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為零。易錯(cuò)點(diǎn)13導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清致誤

錯(cuò)因分析：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的原因是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清�？蓪�(dǎo)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為零只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)處取到極值的必要條件，在此提醒廣大考生在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)一定要注意對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)。三、數(shù)列

易錯(cuò)點(diǎn)14用錯(cuò)基本公式致誤

錯(cuò)因分析：等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1、公差為d，則其通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1、公比為q，則其通項(xiàng)公式an=a1pn－1，當(dāng)公比q≠1時(shí)，前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，當(dāng)公比q=1時(shí)，前n項(xiàng)和公式Sn=na1。在數(shù)列的基礎(chǔ)性試題中，等差數(shù)列、等比數(shù)列的這幾個(gè)公式是解題的根本，用錯(cuò)了公式，解題就失去了方向。易錯(cuò)點(diǎn)15an,Sn關(guān)系不清致誤

錯(cuò)因分析：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn之間存在關(guān)系：

這個(gè)關(guān)系是對(duì)任意數(shù)列都成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn)。當(dāng)題目中給出了數(shù)列{an}的an與Sn之間的關(guān)系時(shí)，這兩者之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，知道了an的具體表達(dá)式可以通過(guò)數(shù)列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解題時(shí)要注意體會(huì)這種轉(zhuǎn)換的相互性。易錯(cuò)點(diǎn)16對(duì)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)理解錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和在公差不為0時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)。一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差數(shù)列。解決這類題目的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給以證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數(shù)列中公比等于-1時(shí)是一個(gè)很特殊的情況，在解決有關(guān)問題時(shí)要注意這個(gè)特殊情況。易錯(cuò)點(diǎn)17數(shù)列中的最值錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，或即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n取何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸遠(yuǎn)近而定。易錯(cuò)點(diǎn)18錯(cuò)位相減求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)致誤

錯(cuò)因分析：錯(cuò)位相減求和法的適用環(huán)境是：數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，求其前n項(xiàng)和�；�本方法是設(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減，得到的和式要分三個(gè)部分：（1）原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)；（2）一個(gè)等比數(shù)列的前(n-1)項(xiàng)的和；（3）原來(lái)數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比后在作差時(shí)出現(xiàn)的。在用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)一定要注意處理好這三個(gè)部分，否則就會(huì)出錯(cuò)。

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數(shù)學(xué)

高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

集合

（）元素與集合的關(guān)系：屬于（）和不屬于（）1（集合與元素2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性（3）集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無(wú)限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語(yǔ)言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n-1)個(gè)。2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA注關(guān)系3、對(duì)于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質(zhì)：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質(zhì)：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運(yùn)算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CUAx/xU且xAA補(bǔ)集性質(zhì)：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

函數(shù)

映射定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：B為從集合A到集合B的一個(gè)映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,y,并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，定義按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作yf(x).近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素值域?qū)��?yīng)法則解析法函數(shù)的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；函數(shù)（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數(shù)yf(x)的最大值函數(shù)的基本性質(zhì)最值最小值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)N滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線向左平移個(gè)單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個(gè)單位：yy,xaxyf(xa)平移變換向上平移b個(gè)單位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b個(gè)單位：xx,y11byybf(x)橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1縮短（當(dāng)w1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0w1時(shí)）到原來(lái)的1/w倍（縱坐標(biāo)不變），即x1wxyf(wx)伸縮變換縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)（A1)或縮短（0A1)到原來(lái)的A倍1函數(shù)圖象的畫法（橫坐標(biāo)不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x2x0x2）變換法12y0yf(2x0x)關(guān)于點(diǎn)(x0,y0)對(duì)稱：yy12y0y12y0yxx12x0x2x0x關(guān)于直線xx0對(duì)稱：1yf(2x0x)yy1y1y對(duì)稱變換xx1xx關(guān)于直線yy0對(duì)稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1關(guān)于直線yx對(duì)稱：yf1(x)yy1附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx中

xk2(kZ)；余切函數(shù)ycotx中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)

自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)

2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則f(x)為減（增）函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則yf[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x0處有定義，則f(0)0，如果一個(gè)函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)可以表示為

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶

22函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)yf（x）,我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)。定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,零點(diǎn)與根的關(guān)系那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點(diǎn)。即存在c(a,b),使得f(c)0,這個(gè)c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)(1)確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定精確度；函數(shù)與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;函數(shù)的應(yīng)用(3)計(jì)算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)0,則令b（此時(shí)零點(diǎn)cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,則令a（此時(shí)零點(diǎn)cx(c,b)）；0(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若a-b,則得到零點(diǎn)的近似值a(或b);否則重復(fù)24。幾類不同的增長(zhǎng)函數(shù)模型函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題建立實(shí)際問題的函數(shù)模型mna,n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)根式：nmana分?jǐn)?shù)指數(shù)冪arasars(a0,r,sQ)指數(shù)的運(yùn)算rs指數(shù)函數(shù)rs性質(zhì)(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1對(duì)數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)logaMlogaMlogaN;.N對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)nnlogaM;(a0,a1,M0,N0)logaM對(duì)數(shù)函數(shù)logcblogab(a,c0且a,c1,b0)換底公式：logca對(duì)數(shù)函數(shù)定義：一般地把函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，x是自變量，是常數(shù)。冪函數(shù)性質(zhì)：見表2

表1定義域值域指數(shù)函數(shù)yaa0,a1x對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,yRxRy0,圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(1,0)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)x(,0)時(shí)，y(0,1)x(0,1)時(shí)，y(0,)x(0,1)時(shí)，y(,0)x(0,)時(shí)，y(0,1)x(0,)時(shí)，y(1,)x(1,)時(shí)，y(,0)x(1,)時(shí)，y(0,)性質(zhì)ab表2ababab冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)

p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)第一象限性質(zhì)減函數(shù)增函數(shù)偶函數(shù)（0，1）過(guò)定點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)0,90時(shí)，k0；當(dāng)90,180時(shí)，k0；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)

x2x1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1x2時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：④截矩式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1xy1ab其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：

A0xB0yC0（C為常數(shù)）

（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：（）過(guò)兩條直線l1:yy0kxx0，直線過(guò)定點(diǎn)x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時(shí)，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn)

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。A2xB2yC20方程組無(wú)解l1//l2；方程組有無(wú)數(shù)解l1與l2重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，（是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，Bx2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

A2B2（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

22（2）一般方程x2y2DxEyF0

DE，半徑為r1D2E24F當(dāng)DE4F0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為,222當(dāng)DE4F0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)DE4F0時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為

dAaBbC，則有dA2B22222rl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

22（2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：

2①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)dRr時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距

離與高的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)

矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

""""""""""""""""3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；

②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，l為母線）

"

S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積1ch"S圓錐側(cè)面積rl

2S正棱臺(tái)側(cè)面積S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺(tái)表r2rlRlR2

（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

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1(c1c2)h"S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)lwenku_11({"font":{"f21bf9f2fab069dc502201*8001000b":"TimesNewRoman","f21bf9f2fab069dc502201*8004000b":"宋體","f21bf9f2fab069dc502201*8005000b":"TimesNewRomanItalic","f21bf9f2fab069dc502201*8006000b":"Symbol","f21bf9f2fab069dc502201*8008000b":"TimesNewRomanBold","f21bf9f2fab069dc502201*8009000b":"Arial","f21bf9f2fab069dc502201*800c000b":"MTExtra","f21bf9f2fab069dc502201*800d000b":"TimesNewRoman"},"style":[{"t":"style","c":[2,4,11,22,23,25,28,32,39,43,67,0],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8001000b"}},{"t":"style","c":[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,1],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[2],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[4,18,3],"s":{"font-size":"16.024"}},{"t":"style","c":[4],"s":{"font-size":"16.024"}},{"t":"style","c":[6,5],"s":{"font-size":"18.665"}},{"t":"style","c":[6],"s":{"font-size":"18.665"}},{"t":"style","c":[6,14,18,20,29,33,50,54,65,72,7],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8005000b"}},{"t":"style","c":[6,7,14,17,18,20,29,33,50,51,54,56,65,68,72,8],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[37,38,41,45,46,47,49,52,57,59,60,61,62,63,69,70,75,76,9],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004000b"}},{"t":"style","c":[16,17,31,34,51,55,56,58,66,68,73,10],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006000b"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[11,35,36,37,38,45,46,47,48,49,50,52,57,59,60,61,62,63,69,70,75,76,77,12],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[14,16,13],"s":{"font-size":"18.86"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"font-size":"18.86"}},{"t":"style","c":[15],"s":{"font-size":"10.917"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-size":"18.86"}},{"t":"style","c":[51,56,68,17],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006000b"}},{"t":"style","c":[18],"s":{"font-size":"16.024"}},{"t":"style","c":[20,22,19],"s":{"font-size":"15.387"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"font-size":"15.387"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"font-size":"8.957"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"font-size":"15.387"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-size":"18.512"}},{"t":"style","c":[23,33,34,24],"s":{"font-size":"18.512"}},{"t":"style","c":[25],"s":{"font-size":"10.743"}},{"t":"style","c":[25,26],"s":{"font-size":"10.743"}},{"t":"style","c":[28,29,31,27],"s":{"font-size":"16.661"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"16.661"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"16.661"}},{"t":"style","c":[32,30],"s":{"font-size":"9.669"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"16.661"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"9.669"}},{"t":"style","c":[33],"s":{"font-size":"18.512"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"18.512"}},{"t":"style","c":[35],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8008000b"}},{"t":"style","c":[35,37,45,36],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[45,37],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004000b"}},{"t":"style","c":[37,45,46,47,49,52,57,59,60,61,62,63,69,70,75,76,38],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[39],"s":{"font-size":"21.06"}},{"t":"style","c":[39,40],"s":{"font-size":"21.06"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-size":"10.642"}},{"t":"style","c":[43,42],"s":{"font-size":"13.826"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"font-size":"13.826"}},{"t":"style","c":[44],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"letter-spacing":"-0.024"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"letter-spacing":"-0.104"}},{"t":"style","c":[47],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8009000b"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"letter-spacing":"-0.082"}},{"t":"style","c":[50],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[51],"s":{"font-size":"19.707"}},{"t":"style","c":[52],"s":{"letter-spacing":"-0.058"}},{"t":"style","c":[54,55,53],"s":{"font-size":"17.46"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"font-size":"17.46"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"17.46"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"18.461"}},{"t":"style","c":[57],"s":{"letter-spacing":"-0.116"}},{"t":"style","c":[58],"s":{"font-size":"18.783"}},{"t":"style","c":[59],"s":{"letter-spacing":"-0.18"}},{"t":"style","c":[60],"s":{"letter-spacing":"-0.078"}},{"t":"style","c":[6

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)；α∥β

相交有一條公共直線。α∩β＝b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這．．．．．兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角

7、空間直角坐標(biāo)系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OA,,OB的方向?yàn)檎�方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過(guò)每?jī)蓚�(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）

（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)

式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時(shí),

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具

有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明書是空調(diào)使用的

算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（本書指?jìng)未�碼）.2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一

個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無(wú)意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在一定時(shí)

間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu):

順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及程序結(jié)構(gòu)

的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。

算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)AA

pAYNNppY

BABYN

直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)

Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)

移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨

界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中

的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語(yǔ)句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。

Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）和

當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語(yǔ)句：本書中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語(yǔ)言編寫

的,是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用xy，也可以用xy;

表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語(yǔ)句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，

其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“xy”，但此時(shí)

的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。

注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式�！�=”具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*51,a=2a+3都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxpxxyxy,同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值:

yzypzpⅡ.輸入語(yǔ)句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語(yǔ)句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果x,y注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開！2.Read語(yǔ)句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式3.Print語(yǔ)句不能起賦值語(yǔ)句，意旨不能在Print語(yǔ)句中用“=”4.Print語(yǔ)句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語(yǔ)句在一行書寫時(shí)用“；”隔開.例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5Ⅲ.條件語(yǔ)句（conditionalstatement）：

1.行If語(yǔ)句:IfAThenB注：沒有EndIf

2.塊If語(yǔ)句：注：①不要忘記結(jié)束語(yǔ)句EndIf，當(dāng)有If語(yǔ)句嵌套使用時(shí)，有

幾個(gè)If，就必須要有幾個(gè)EndIf②.ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：

IfAThenIfAThen

BB

ElseElseIfCThen

CD

EndIfEndIf

例題:用條件語(yǔ)句寫出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同樣的你可以寫出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。Printc2.也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù)

IfEnd

EndIf

Ⅳ.循環(huán)語(yǔ)句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).WhileAForIFrom初值to終值Step步長(zhǎng)……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說(shuō)明：1.While循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問題時(shí)，可以寫成While循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗�的條件相對(duì)好判斷.2.凡是能用While

循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定.

135...99的一個(gè)算法.（見課本P21）例題：設(shè)計(jì)計(jì)算S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99SSI

I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSII2EndWhilePrintS

S1S1I1DoSSIII2LoopUntilI100(或者I99)PrintSI1DoII2

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顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡(jiǎn)單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來(lái)，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒有見過(guò)的語(yǔ)言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再n*從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)

應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．

n5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

l6、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是．

r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則

11lr，C2rl，Slrr2．

229、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx-18-

10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

1倍（縱坐標(biāo)不變），得

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函

ycosxytanxysinx數(shù)性

為ymax，則質(zhì)

圖象定

義域值

域當(dāng)

x2k

R1,1

R1,1

xxk,k

2R

2k當(dāng)x2kk時(shí)，ymax1；當(dāng)x2k

k時(shí)，ymin1．既無(wú)最大值也無(wú)最小值

時(shí)，ymax1；當(dāng)

最值

x2k2

，

k時(shí)

ymin1．

周

期性奇

偶性

在單

調(diào)性

22

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在

2k,2k222k,2kk在k,k

22上是增函數(shù)；在k上是增函數(shù)．

-20-

k上是增函數(shù)；

在

2k,2k

k上是減函數(shù)．

32k,2k

22

k上是減函數(shù)．

稱中

心對(duì)

稱中心對(duì)稱中心

k,0k2對(duì)

k,0k對(duì)

k,0k稱2對(duì)稱軸性

xkk對(duì)稱軸xkk

2無(wú)對(duì)稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；②結(jié)合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

C

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2y,1y2．

ab

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

abCC

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，

a0．

⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共

線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所

有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)

xx2y1y2,12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是1．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a22與b反向時(shí)，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y224、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（

cos2cos212sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．

26、sincos22sin，其中tan．

-23-

，

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

222徑，則有

4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．10、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．

14、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式．

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．

17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

222222222，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，18、由三個(gè)數(shù)a，則稱為a與b的等差中項(xiàng)．若

bac，則稱b為a與c的等差中項(xiàng)．2-24-

19、若等差數(shù)列

an的首項(xiàng)是a，公差是d，則a1na1n1d．

；

ana120、通項(xiàng)公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則aman是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；若anapaq．

na1annn1SSnad．22、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①n；②n122*23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn，則

S2nnanan1，且

S奇anS偶S奇nd，

S偶an1．

*②若項(xiàng)數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

G，b成等比數(shù)列，25、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項(xiàng)．

26、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通項(xiàng)公式的變形：①n；②1；③mn2qn1an；④a1qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

wenku_26({"font":{"f21bf9f2fab069dc502201*8001001a":"TimesNewRoman","f21bf9f2fab069dc502201*8004001a":"宋體","f21bf9f2fab069dc502201*8005001a":"TimesNewRomanItalic","f21bf9f2fab069dc502201*8006001a":"Symbol","f21bf9f2fab069dc502201*801201*a":"Arial","f21bf9f2fab069dc502201*8013001a":"Wingdings"},"style":[{"t":"style","c":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,0],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[2,9,11,13,42,48,52,56,61,75,81,83,88,1],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8001001a"}},{"t":"style","c":[2],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[5,6,11,3],"s":{"font-size":"18.042"}},{"t":"style","c":[5,10,17,24,27,28,32,37,43,47,51,55,57,60,63,66,71,77,82,84,87,4],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006001a"}},{"t":"style","c":[5],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006001a"}},{"t":"style","c":[6],"s":{"font-size":"18.042"}},{"t":"style","c":[6,18,20,22,23,26,29,34,36,39,41,46,50,53,54,59,62,68,70,74,78,80,85,7],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8005001a","font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[9,23,8],"s":{"font-size":"10.434"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-size":"10.434"}},{"t":"style","c":[10],"s":{"font-size":"23.622"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"18.042"}},{"t":"style","c":[13,14,15,44,64,65,69,73,12],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[13],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[15,44,69,73,14],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004001a"}},{"t":"style","c":[15],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[14,15,31,44,69,73,16],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004001a"}},{"t":"style","c":[17],"s":{"font-size":"24.19"}},{"t":"style","c":[18],"s":{"font-size":"18.444"}},{"t":"style","c":[18,55,56,19],"s":{"font-size":"18.444"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"font-size":"10.667"}},{"t":"style","c":[20,83,21],"s":{"font-size":"10.667"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"font-size":"18.704"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-size":"10.434"}},{"t":"style","c":[24],"s":{"font-size":"28.441"}},{"t":"style","c":[26,27,25],"s":{"font-size":"17.612"}},{"t":"style","c":[26],"s":{"font-size":"17.612"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"font-size":"17.612"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"27.835"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"18.141"}},{"t":"style","c":[29,32,30],"s":{"font-size":"18.141"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"10.493"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"18.141"}},{"t":"style","c":[34,37,33],"s":{"font-size":"22.029"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"22.029"}},{"t":"style","c":[36,35],"s":{"font-size":"12.736"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-size":"12.736"}},{"t":"style","c"

解集

axbxc0

2xx1xx2

a0

35、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．36、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

40、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．41、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則均數(shù)．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

22ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平2abab．2a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

2

a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

22s2⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2p．

wenku_29({"font":{"f21bf9f2fab069dc502201*8001001d":"TimesNewRoman","f21bf9f2fab069dc502201*8004001d":"宋體","f21bf9f2fab069dc502201*8005001d":"TimesNewRomanItalic","f21bf9f2fab069dc502201*8006001d":"Symbol","f21bf9f2fab069dc502201*8008001d":"TimesNewRomanBold","f21bf9f2fab069dc502201*800b001d":"宋體","f21bf9f2fab069dc502201*800c001d":"MTExtra"},"style":[{"t":"style","c":[2,4,22,37,46,49,50,51,54,62,64,67,69,74,75,79,81,85,87,88,89,93,94,95,98,103,107,108,0],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8001001d"}},{"t":"style","c":[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,1],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[2],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[4,10,18,19,20,21,25,48,65,70,83,104,3],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[4],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[6,5],"s":{"font-size":"32.94"}},{"t":"style","c":[6],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8008001d"}},{"t":"style","c":[6,7],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8008001d"}},{"t":"style","c":[5,6,7,8],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[10,20,25,48,65,70,83,104,9],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004001d"}},{"t":"style","c":[20,25,48,65,70,83,104,10],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8004001d"}},{"t":"style","c":[12,14,22,23,52,53,54,71,82,11],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[52,71,82,12],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[12,16,27,32,35,36,40,41,44,45,52,55,58,61,68,71,73,78,82,92,99,106,13],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8005001d","font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006001d"}},{"t":"style","c":[14,29,31,39,43,56,59,63,76,80,84,86,90,96,97,101,102,109,110,15],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*8006001d"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-size":"10.496"}},{"t":"style","c":[16,50,17],"s":{"font-size":"10.496"}},{"t":"style","c":[19,21,18],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*800b001d"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"overflow":"hidden"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"letter-spacing":"-0.179"}},{"t":"style","c":[54,22],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*800c001d"}},{"t":"style","c":[23,28,33,38,47,24],"s":{"font-family":"f21bf9f2fab069dc502201*800c001d"}},{"t":"style","c":[25],"s":{"letter-spacing":"-0.058"}},{"t":"style","c":[27,28,29,26],"s":{"font-size":"17.677"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"font-size":"17.677"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"17.677"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"17.677"}},{"t":"style","c":[31,32,33,49,30],"s":{"font-size":"18.16"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"18.16"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"18.16"}},{"t":"style","c":[33],"s":{"font-size":"18.16"}},{"t":"style","c":[35,36,37,38,39,40,41,34],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[36,40,41,35],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"letter-spacing":"-0.402"}},{"t":"style","c":[37],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[39],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[40],"s":{"letter-spacing":"-0.41"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"letter-spacing":"-0.403"}},{"t":"style","c":[43,44,45,46,47,42],"s":{"font-size":"17.878"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"font-size":"17.878"}},{"t":"style","c":[45,44],"s":{"font-size":"17.878"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"letter-spacing":"-0.441"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"17.878"}},{"t":"style","c":[47],"s":{"font-size":"17.878"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"letter-spacing":"-0.633"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"18.16"}},{"t":"style","c":[50],"s":{"font-size":"10.496"}},{"t":"style","c":[51],"s":{"font-size":"17.713"}},{"t":"style","c":[52],"s":{"letter-spacing":"-0.635"}},{"t":"style","c":[52,53],"s":{"letter-spacing":"-0.635"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"letter-spacing":"-0.46"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"10.236"}},{"t":"style","c":[56]

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0或

mpn2f(m)0f(n)0或；af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

c0b4ac012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論是不是至少有一個(gè)都是不都是至多有一個(gè)大于不大于至少有n個(gè)小于不小于至多有n個(gè)對(duì)所有x，存在某x，p或q成立不成立對(duì)任何x，不成立存在某x，p且q成立反設(shè)詞一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n1）個(gè)至少有（n1）個(gè)p且qp或q

14.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ

互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函

(x1x2)f(x1)f(x2)0數(shù).

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則

f(xa)f(xa).

20.對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)ababx;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.

22a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若f(x)f(xa),

2則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱.2m(3)函數(shù)yf(x)和yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則f(x)的周

1f(x1)f(x2)或f(xa)期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a

31．根式的性質(zhì)

（1）(na)na.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan|a|32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

a,a0.

a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga236.設(shè)函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域?yàn)镽,則

a0，且0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).，(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga38.平均增長(zhǎng)率的問題

x如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有yN(1p).39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

2mn.2n1s1,(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2an).ansnsn1,n2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項(xiàng)的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項(xiàng)公式為

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項(xiàng)和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)144．常見三角不等式（1）若x(0,(2)若x(0,2)，則sinxxtanx.

2(3)|sinx||cosx|1.

)，則1sinxcosx2.45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

sin，tancot1.cos

nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,

47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=

b定,tan).

a48.二倍角公式

a2b2sin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的

.51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2（1）S54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).22255.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).

63.兩向量的夾角公式

(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

是實(shí)數(shù)，且PP設(shè)P12的分點(diǎn),1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP1PP2，則

x1x2xOPOP21OP1yy12y111t（）.(1t)OPOPtOP12167.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

G(x1x2x3y1y2y3,).3368.點(diǎn)的平移公式

"""xxhxxh"OPOPPP.""yykyyk""注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，且PP的坐標(biāo)為(h,k).

"""69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為

"""yf(xh)k.

(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

""(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為

""

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則

222OABC（1）為的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

abab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當(dāng)xy時(shí)積xy有最大值

12s.4推廣已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最小；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.

2273.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a與axbxc2同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與axbxc異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

2xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

75.無(wú)理不等式（1）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0.或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]276.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直線的五種方程

k（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).

（3）兩點(diǎn)式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,

A1B1C1；A2B2C2②l1l2A；1A2B1B20①l1||l280.夾角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(1)tan|

A1B2A2B1|.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時(shí)，直線l1與l2的夾角是.

281.l1到l2的角公式

kk1(1)tan2.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時(shí)，直線l1到l2的角是.

2(2)tan|82．四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

83.點(diǎn)到直線的距離

AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當(dāng)B與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.

若B0，當(dāng)A與AxByC同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(A，則1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20）

d|Ax0By0C|22(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)(yb)r.

22（2）圓的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222

xarcos.

ybrsin（4）圓的直徑式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圓的參數(shù)方程87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直線AB的方程,

λ是待定的系數(shù)．

(2)過(guò)直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

22(3)過(guò)圓C1:x2y2D1xE1yF與圓:CxyD","p":{"h":19.356,"w":13.649,"x":521.932,"y

切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2y2r2．

2①過(guò)圓上的P0(x0,y0)點(diǎn)的切線方程為x0xy0yr;

②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.xacosx2y292.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y293.橢圓221(ab0)焦半徑公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．橢圓的的內(nèi)外部

x2y2（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的內(nèi)部abx2y2（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的外部ab95.橢圓的切線方程

22x0y01.a2b222x0y01.a2b2xxyyx2y2(1)橢圓221(ab0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過(guò)橢圓221(ab0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）橢圓221(ab0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

abx2y296.雙曲線221(a0,b0)的焦半徑公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.雙曲線的內(nèi)外部

x2y2(1)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的內(nèi)部abx2y2(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的外部ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

22x0y021.2ab22x0y021.2abx2y2x2y2b(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

aababxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設(shè)為22.

abaabx2y2x2y20，(3)若雙曲線與221有公共漸近線，可設(shè)為22（0，焦點(diǎn)在x軸上，

abab焦點(diǎn)在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

xxyyx2y2(1)雙曲線221(a0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過(guò)雙曲線221(a0,b0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）雙曲線221(a0,b0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

ab100.拋物線y22px的焦半徑公式

p拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0.

2pp過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CDx1x2x1x2p.

222y2101.拋物線y2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2(a0)的圖象是拋物線：102.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)

2a4ab4acb2b4acb214acb21,)；,)；為(（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(（3）準(zhǔn)線方程是y.2a4a2a4a4a2103.拋物線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部y22px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外部y22px(p0).(2)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內(nèi)部y2px(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外部y22px(p0).(3)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部x22py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部x22py(p0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的外部x22py(p0).104.拋物線的切線方程

(1)拋物線y22px上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).

（2）過(guò)拋物線y2px外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y0yp(xx0).（3）拋物線y2px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB2AC.105.兩個(gè)常見的曲線系方程

(1)過(guò)曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點(diǎn)的曲線系方程是

2222222f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.當(dāng)(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程2akbkkmin{a2,b2}時(shí),表示橢圓;當(dāng)min{a2,b2}kmax{a2,b2}時(shí),表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

（弦端點(diǎn)

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去y得到axbxc0，0,為直線AB的

F(x,y)0傾斜角，k為直線的斜率）.

107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題

（1）曲線F(x,y)0關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)成中心對(duì)稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0關(guān)于直線AxByC0成軸對(duì)稱的曲線是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.2222ABAB2108.“四線”一方程

對(duì)于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中

222點(diǎn)方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點(diǎn)共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MPxMAyMB，

或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使OPOMxMAyMB.

119.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC（xyzk），則當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)k1時(shí)，若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．

A、B、C、D四點(diǎn)共面AD與AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，

118.共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使paxby．

z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

"已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點(diǎn)在l上的射影A，作B點(diǎn)在l上

"的射影B，則

""AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則124．空間的線線平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr設(shè)a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.

125.夾角公式

222dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

135.點(diǎn)Q到直線l距離

122Ph(|a||b|)(ab)(點(diǎn)在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|136.異面直線間的距離

|CDn|(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間d|n|的距離).

137.點(diǎn)B到平面的距離

|ABn|（n為平面的法向量，AB是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，A）.d|n|138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

dh2m2n22mncos.222"dhmn2mncosEA,AF.dh2m2n22mncos（EAA"F）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，

"A"Em,AFn,EFd).

139.三個(gè)向量和的平方公式

2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3，夾角分別為

1、2、3,則有

2l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.141.面積射影定理

S"S.

cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是l,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是c1和S1,則

①S斜棱柱側(cè)c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

-47-

"

VFE2(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E

1的關(guān)系：EnF；

21（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：EmV.

2146.球的半徑是R，則

4R3,32其表面積S4R．

其體積V147.球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)球與正四面體的組合體:

棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為148．柱體、錐體的體積

66a,外接球的半徑為a.1241V柱體Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

31V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

3149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列數(shù)公式

m=n(n1)(nm1)=Ann！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:規(guī)定0!1.152.排列恒等式

mm1(1）An;(nm1)AnnmAn1;nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAn1An;mmm1（5）An.AmA1nn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.組合數(shù)公式

Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！*

==(∈N，mN，且mn).nm12mm！(nm)！Am154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

mnm(1)Cn=Cn;mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.0注:規(guī)定Cn1.

155.組合恒等式

nm1m1Cn;mnmmCn（2）Cn1;nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm（4）

Cr0rrnrn=2;

nrr1（5）CCrr1Crr2CnCn1.

012rn(6)CnCnCnCnCn2n.135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1.123n(8)Cn2Cn3CnnCnn2n1.r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

mm.Anm！Cn157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”

mm1m11m1①某（特）元必在某位有An②某（特）元不在某位有AnAn1（補(bǔ)集思想）An1An11種；

m1m1（著眼位置）An1Am1An1（著眼元素）種.

（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）

kmk①定位緊貼：k(kmn)個(gè)元在固定位的排列有AkAnk種.

nk1k②浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有An此類問題常用捆綁k1Ak種.注：

法；

③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（kh1），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不

hk能挨近的所有排列數(shù)有AhAh1種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

nAmn1當(dāng)nm1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)nm1時(shí)，有nCm1種排法.

Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmn.

158．分配問題

（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個(gè)物件等分給m個(gè)人，各得n件，其分配方法數(shù)共

有NCmnCmnnCmn2nC2nCn數(shù)共有

(mn)!.(n!)m（2）(平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的mn個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的m堆，其分配方法

nnnnnnnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共

nmn1n2有NCpCpCnm!n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為任意的n1，n2，，nmp!件無(wú)記號(hào)的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個(gè)物體分為任意的n1，n2，，nm件無(wú)記號(hào)的m堆，且n1，n2，，nm這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)

p!有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的p（pn1+n2++nm）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等m個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，時(shí)，則無(wú)論n1，n2，，nm等m個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

則其分配方法數(shù)有Nnmn1n2NCpCpCnn1...mnmn1n2CpCp...Cn1nmm!p!.

n1!n2!...nm!159．“錯(cuò)位問題”及其推廣

貝努利裝錯(cuò)箋問題:信n封信與n個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為

f(n)n![1111(1)n].2!3!4!n!推廣:n個(gè)元素與n個(gè)位置,其中至少有m個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為

1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!(1)C(nm)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCmn![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的個(gè)數(shù)

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整數(shù)解有Cm1個(gè).(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非負(fù)整數(shù)解有Cnm1個(gè).

-50-

n1n

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