高一數(shù)學初等函數(shù)知識點與題型總結(jié)
基本初等函數(shù)
一、知識導學
1.二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).(1)注意解題中靈活運用二次函數(shù)的一般式二次函數(shù)的頂點式二次函數(shù)的坐標式
f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)
(a0)
(2)解二次函數(shù)的問題(如單調(diào)性、最值、值域、二次三項式的恒正恒負、二次方程根的范圍等)要充分利用好兩種方法:配方、圖像,很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.
①f(x)ax2bxc(a0),當b24ac0時圖像與x軸有兩個交點.
M(x1,0)N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=
.|a|②二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值,它只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點處取得.2.指數(shù)函數(shù)
①amyax(a0,a1)和對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,a1)的概念和性質(zhì).
(1)有理指數(shù)冪的意義、冪的運算法則:
anamn;②(am)namn;③(ab)nanbn(這時m,n是有理數(shù))
MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM;logab
nlogcaloga對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)、換底公式.
loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan(2)指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點.對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點.
①指數(shù)函數(shù)圖像永遠在x軸上方,當a>1時,圖像越接近y軸,底數(shù)a越大;當0錯解:∵18
5,∴l(xiāng)og185b
log1845log185log189ba∴l(xiāng)og3645log1836log184log189log184a5,∴l(xiāng)og185b
log1845log185log189∴l(xiāng)og3645log1836log184log189bb錯因:因?qū)π再|(zhì)不熟而導致題目沒解完.正解:∵18
bababa
182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0(a0)的兩個根都大于1的充要條件.
2錯解:由于方程f(x)axbxc0(a0)對應的二次函數(shù)為
f(x)ax2bxc的圖像與x軸交點的橫坐標都大于1即可.
f(1)0f(1)0故需滿足b,所以充要條件是b
112a2a錯因:上述解法中,只考慮到二次函數(shù)與x軸交點坐標要大于1,卻忽視了最基本的的前題條件,應讓二次函數(shù)圖像與x軸有
交點才行,即滿足△≥0,故上述解法得到的不是充要條件,而是必要不充分條件.
f(1)0b正解:充要條件是12a2b4ac0y36x126x5的單調(diào)區(qū)間.
x2xx錯解:令6t,則y361265=t12t5
[例3]求函數(shù)
∴當t≥6,即x≥1時,y為關(guān)于t的增函數(shù),當t≤6,即x≤1時,y為關(guān)于t的減函數(shù)∴函數(shù)
y36x126x5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6],單調(diào)遞增區(qū)間為[6,)
x錯因:本題為復合函數(shù),該解法未考慮中間變量的取值范圍.正解:令6∴函數(shù)
t,則t6x為增函數(shù),y36x126x5=t212t5=(t6)241
∴當t≥6,即x≥1時,y為關(guān)于t的增函數(shù),當t≤6,即x≤1時,y為關(guān)于t的減函數(shù)
y36x126x5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1],單調(diào)遞增區(qū)間為[1,)
[例4]已知yloga(2ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍是錯解:∵yloga(2ax)是由ylogau,u2ax復合而成,又a>0∴u2ax在[0,1]上是x的減函數(shù),由復合函數(shù)關(guān)系知,ylogau應為增函數(shù),∴a>1
錯因:錯因:解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復合關(guān)系,卻忽視了數(shù)定義域的限制,單調(diào)區(qū)間應是定義域的某個子區(qū)間,即函數(shù)應在[0,1]上有意義.
yloga(2ax)是由ylogau,u2ax復合而成,又a>0∴u2ax在[0,1]上是x的減函數(shù),
由復合函數(shù)關(guān)系知,ylogau應為增函數(shù),∴a>1
又由于x在[0,1]上時yloga(2ax)有意義,u2ax又是減函數(shù),∴x=1時,u2ax取最小值是
正解:∵
umin2a>0即可,∴a<2,綜上可知所求的取值范圍是1<a<2[例5]已知函數(shù)f(x)loga(3ax).
(1)當x[0,2]時f(x)恒有意義,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)是否存在這樣的實數(shù)a使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為
存在,請說明理由.分析:函數(shù)
1,如果存在,試求出a的值;如果不
f(x)為復合函數(shù),且含參數(shù),要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路,是否存在性問題,分析時一
0,a1
般先假設(shè)存在后再證明.
解:(1)由假設(shè),3ax>0,對一切x[0,2]恒成立,a顯然,函數(shù)g(x)=3ax在[0,2]上為減函數(shù),從而g(2)=32a>0得到a<(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)a,由題設(shè)知∴a=
32∴a的取值范圍是(0,1)∪(1,
32)
f(1)1,即f(1)loga(3a)=1
32此時
f(x)loga(33x)當x2時,f(x)沒有意義,故這樣的實數(shù)不存在.2,
12x4xa[例6]已知函數(shù)f(x)=lg,其中a為常數(shù),若當x∈(-∞,1]時,f(x)有意義,求實數(shù)a的取值范圍.
a2a1xx3111xx解:124a>0,且a-a+1=(a-)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),當x∈(-∞,1]時,y=x與y=x都
24424x2xa2a1333是減函數(shù),∴y=(11)在(-∞,1]上是增函數(shù),(11)max=-,∴a>-,故a的取值范圍是(-,+∞).
4444x2x422
2xx[例7]若(a1)解:∵冪函數(shù)
13(32a)1313,試求a的取值范圍.
yx有兩個單調(diào)區(qū)間,
∴根據(jù)a1和32a的正、負情況,有以下關(guān)系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三個不等式組:①得
a10.③32a023,
23<a<
32,②無解,③a<-1,∴a的取值范圍是(-∞,-1)∪(
32)
[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=
a1(x-
xa21)
(1)求f(x);(2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性;
2(3)對于f(x),當x∈(-1,1)時,有f(1-m)+f(1-m)<0,求m的集合M.
分析:先用換元法求出f(x)的表達式;再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性;然后利用以上結(jié)論解第三問.解:(1)令t=logax(t∈R),則xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)為奇函數(shù).當a1時,20,a1a1u(x)axax為增函數(shù),當0a1時,類似可判斷f(x)為增函數(shù).綜上,無論a1或0a1,f(x)在R上都是增函數(shù).
(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型習題導練1.函數(shù)
f(x)axb的圖像如圖,其中a、b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0
x的值為()
yC.1或4C.2
22、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,則A.13、方程loga(x1)xA.04、函數(shù)f(x)與g(x)=(
2B.4B.1
xD.4或8D.3
()
2(0A.
0,nB.,0C.0,2
D.2,0
5、圖中曲線是冪函數(shù)y=x在第一象限的圖像,已知n可取±2,±
1四個值,則相應于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為()211111111A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-2,2,D.2,,-2,-
2222226.求函數(shù)y=log2
2(x-5x+6)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.7.若x滿足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.
8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2xa2x,a為常數(shù)(1)如果f(x)=f(x),求a的值;
(2)當
f(x)滿足(1)時,用單調(diào)性定義討論f(x)的單調(diào)性.
基本初等函數(shù)綜合訓練B組
一、選擇題
1.若函數(shù)
f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,則a的值為()
A.214B.22C.4D.12
2.若函數(shù)yloga(xb)(a0,a1)的圖象過兩點(1,0)
和(0,1),則()
A.a(chǎn)2,b2B.a(chǎn)2,b2
C.a(chǎn)2,b1D.a(chǎn)2,b23.已知f(x6)log2x,那么f(8)等于()
A.43B.8C.18D.12
4.函數(shù)ylgx()
A.是偶函數(shù),在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù),在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減
5.已知函數(shù)f(x)lg1x1x.若f(a)b.則f(a)()A.bB.bC.11bD.b
6.函數(shù)f(x)logax1在(0,1)上遞減,那么f(x)在(1,)上()
A.遞增且無最大值B.遞減且無最小值C.遞增且有最大值D.遞減且有最小值
二、填空題1.若
f(x)2x2xlga是奇函數(shù),則實數(shù)a=_________。
2.函數(shù)
f(x)log1x22x5的值域是__________.
23.已知log147a,log145b,則用a,b表示log3528。4.設(shè)
A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB,則x;y。5.計算:
322log325。
ex16.函數(shù)y的值域是__________.
xe1三、解答題
1.比較下列各組數(shù)值的大。海1)1.7
2.解方程:(1)9
3.已知
4.已知函數(shù)
參考答案
一、選擇題
x3.3和0.82.1;(2)3.30.7和3.40.8;(3)
3,log827,log9252231x27(2)6x4x9x
y4x32x3,當其值域為[1,7]時,求x的取值范圍。
f(x)loga(aax)(a1),求f(x)的定義域和值域;
1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2
3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x),即為偶函數(shù)
x,x0時,u是x的減函數(shù),即ylgx在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減
1x1xlgf(x).則f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6.A令ux1,(0,1)是u的遞減區(qū)間,即a1,(1,)是u的遞增區(qū)間,即f(x)遞增且無最大值。
二、填空題1.
1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2(另法):xR,由2.
2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0,即lga10,a,2x22x5(x1)244,
而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528
ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a
log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴l(xiāng)g(xy)0,xy1
51,∴x1,而x1,∴x1,且y1
3215.
5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y,ex0,1y1ex11y三、解答題1.解:(1)∵1.71.701,0.82.10.801,∴1.73.30.82.1
0.70.80.70.80.80.8(2)∵3.33.3,3.33.4,∴3.33.4(3)log827log23,log925log35,
3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴l(xiāng)og925log827.
2x2xxxx2.解:(1)(3)63270,(33)(39)0,而330
3x90,3x32,
x22x4x22x2x(2)()()1,()()10
39332251()x0,則()x,332
xlog23512
3.解:由已知得14x32x37,
xxxx43237(21)(24)0,得x即
xxx43231(21)(22)0xx即021,或224∴x0,或1x2。
xx4.解:aa0,aa,x1,即定義域為(,1);
ax0,0aaxa,loga(aax)1,即值域為(,1)。
擴展閱讀:高一數(shù)學上冊 第二章基本初等函數(shù)之對數(shù)函數(shù)知識點總結(jié)及練習題(含答案)
〖2.2〗對數(shù)函數(shù)
【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算
(1)對數(shù)的定義
①若axN(a0,且a1),則x叫做以a為底N的對數(shù),記作xlogaN,其中a叫做底數(shù),
N叫做真數(shù).
②負數(shù)和零沒有對數(shù).③對數(shù)式與指數(shù)式的互化:xlogaNaxN(a0,a1,N0).
(2)幾個重要的對數(shù)恒等式:loga10,logaa1,logaabb.
N;自然對數(shù):lnN,即loge(3)常用對數(shù)與自然對數(shù):常用對數(shù):lgN,即log10…).e2.71828(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0,a1,M①加法:logaN(其中
0,N0,那么
MlogaNloga(MN)
M②減法:logaMlogaNlogaN③數(shù)乘:nlogaMlogaMn(nR)
④alogaNN
nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥換底公式:logaNlogbN(b0,且b1)
logba【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)a1yx10a1yx1ylogaxylogax圖象O(1,0)O(1,0)xx定義域值域過定點奇偶性(0,)R圖象過定點(1,0),即當x1時,y0.非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi),a越大圖象越靠低,越靠近x軸在第一象限內(nèi),a越小圖象越靠低,越靠近x軸在第四象限內(nèi),a越大圖象越靠高,越靠近y軸在第四象限內(nèi),a越小圖象越靠高,越靠近y軸(6)反函數(shù)的概念
設(shè)函數(shù)果對于
yf(x)的定義域為A,值域為C,從式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如
y在C中的任何一個值,通過式子x(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應,那么式子
x(y)表示x是y的函數(shù),函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù),記作xf1(y),習慣
上改寫成
yf1(x).
(7)反函數(shù)的求法
①確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域;②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y);
f1(y)改寫成yf1(x),并注明反函數(shù)的定義域.
(8)反函數(shù)的性質(zhì)
①原函數(shù)②函數(shù)
yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱.
yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域.
yf(x)的圖象上,則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上.
③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地,函數(shù)
yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).
一、選擇題:1.
log89的值是log23A.
()
23B.1C.
32D.2
2.已知x=2+1,則log4(x3-x-6)等于
A.()C.0
D.32B.
54123.已知lg2=a,lg3=b,則
lg12等于lg15()
A.
2ab
1abB.
a2b
1abC.
2ab
1abD.
a2b
1ab4.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,則x的值為
yA.1
B.4
()C.1或4C.(C.ln5
D.4或-1()
5.函數(shù)y=log1(2x1)的定義域為
2A.(
1,+∞)B.[1,+∞)2B.5e
1,1]2D.(-∞,1)()D.log5e()
y6.已知f(ex)=x,則f(5)等于
A.e5
7.若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,則f(x)的圖像是
yyyABCD
8.設(shè)集合A{x|x10},B{x|log2x0|},則AB等于
A.{x|x1}C.{x|x1}
B.{x|x0}D.{x|x1或x1}
2OxOxOxOx()
9.函數(shù)ylnx1,x(1,)的反函數(shù)為()x1ex1,x(0,)B.yxe1ex1,x(,0)D.yxe1ex1,x(0,)A.yxe1ex1,x(,0)C.yxe1二、填空題:
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