關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分求解總結(jié)
關(guān)于求積分的各種方法的總結(jié)
摘要:函數(shù)的積分問(wèn)題是復(fù)變函數(shù)輪的主要內(nèi)容,也是其基礎(chǔ)部分,因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法.其主要方法有:利用柯西積分定理,柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法.現(xiàn)將這些方法逐一介紹.關(guān)鍵詞:積分,解析,函數(shù),曲線
1.利用定義求積分
例1、計(jì)算積分xyix2dz,積分路徑C是連接由0到1i的直線段.
c解:yx0x1為從點(diǎn)0到點(diǎn)1i的直線方程,于是
xyixdz2cxyixdxiy
201ixxixdxix
201*011iixdx1i3.
2.利用柯西積分定理求積分
柯西積分定理:設(shè)fz在單連通區(qū)域
D內(nèi)解析,C為D內(nèi)任一條周線,則
fzdzc0.
D柯西積分定理的等價(jià)形式:設(shè)C是一條周線,
DDC上解析,則fzdz0.
c為C之內(nèi)部,fz在閉域
例2、求coszzidz,其中C為圓周z3i1,
c解:圓周C為z3z1,被積函數(shù)的奇點(diǎn)為i,在C的外部,
于是,
coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析,
coszzidz0.
故由柯西積分定理的等價(jià)形式得c如果D為多連通區(qū)域,有如下定理:
設(shè)D是由復(fù)周線CC0C1C2Cn所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域,fz在D內(nèi)解析,在DDC上連續(xù),則fzdz0.
c例3.計(jì)算積分dzz16z3z1.
1分析:被積函數(shù)Fzz3z1在C上共有兩個(gè)奇點(diǎn)z0和z,在z1內(nèi)
31作兩個(gè)充分小圓周,將兩個(gè)奇點(diǎn)挖掉,新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個(gè)復(fù)周線,可應(yīng)用上定理.
解:顯然,
1z3z11z33z1
為心,充分小半徑r16任作以z0與以z12:zr313的圓周1:zr及
,將二奇點(diǎn)挖去,新邊界構(gòu)成復(fù)周線C12C:z1.
dzz3z1z1z3z12dz
12z3z1z3z1
1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12
dzdzz1dz1z31dz221z3
0.3.利用柯西積分公式求積分
設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C,函數(shù)fz在D內(nèi)解析,在DDC上連續(xù),則有fz12icfz2dzD,即fcd2ifz.
z例4.計(jì)算積分2zz1z1cdz的值,其中C:z2
解:因?yàn)閒z2z2z1在z2上解析,
z1z2,由柯西積分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.
設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C,函數(shù)fz在D內(nèi)解析,在DDC上連續(xù),則函數(shù)fz在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.計(jì)算積分coszdzdn1zf2in!fnz.
czi3,其中C是繞i一周的周線.
解:因?yàn)閏osz在z平面上解析,
所以e1coszczii.
dz32i2!cosz|ziicosi
e2例6.求積分c921d,其中C為圓周2.
解:
c921didc92
5另外,若a為周線C內(nèi)部一點(diǎn),則dzdz2icza
zacn0(n1,且n為整數(shù)).
4.應(yīng)用留數(shù)定理求復(fù)積分
fz在復(fù)周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi),除a1,a2,an外解析,在閉域DDC上除a1,a2,an外連續(xù),則fzdz2iResfz.
ck1zakn設(shè)a為fz的n階極點(diǎn),fzzzan,其中z在點(diǎn)a解析,a0,則
Resfzzaa.
n1!5z2z2n1例7.計(jì)算積分zz12dz
解:被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z0及z1,
Resfzz05z2z22|z02
25z2Resfz||2z12z1z1zz因此,由留數(shù)定理可得
5z2z2zz12dz2i220.
例8.計(jì)算積分解:fzz13coszz1z3dz.
cosz只以z0為三階極點(diǎn),
12Resfzz02!coszz0
由留數(shù)定理得coszz1z31dz2ii.
25.用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分
某些實(shí)的定積分可應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算,尤其是對(duì)原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分,常是一個(gè)有效的辦法,其要點(diǎn)是將它劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分.5.1計(jì)算Rcos,sind型積分
02令ze,則cos2izz21,sinzz2i1,ddziz,
此時(shí)有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1
12解:令zei,則cosI2izz,d1dziz,
zzz1dz,其中aa21,aa21,
1,1,1,
應(yīng)用留數(shù)定理得I2a12.
若Rcos,sin為的偶函數(shù),則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之,
0因?yàn)榇藭r(shí)Rcos,sind01Rcos,sind,仍然令ze.2i例10.計(jì)算taniad(a為實(shí)數(shù)且a0)
0分析:因?yàn)閠ania1eie2iai2iai11,
直接令e2iaiz,則dze2iai2id,
于是tania解:I11z1iz1.
iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應(yīng)用留數(shù)定理,當(dāng)a0時(shí),Ii當(dāng)a0時(shí),Ii.5.2計(jì)算PxQxdx型積分
例11.計(jì)算xdx423xz24.
23424解:函數(shù)fz2323z在上半平面內(nèi)只有zi一個(gè)四階極點(diǎn),
令ia,zat則fzz3444z4223z44
zaza
ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att
211tt4423t168a32aResfzza1332a43
i5766即Resfzz23i133242i33
故xdx423x242ii57662886.
擴(kuò)展閱讀:復(fù)變函數(shù)柯西積分總結(jié)
第三章復(fù)變函數(shù)的積分
能力要求
會(huì)通過(guò)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)實(shí)變函數(shù)第一型曲線積分的方法來(lái)計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分。
知道復(fù)變函數(shù)積分的四條性質(zhì),特別注意前三條線性性質(zhì)。
知道在什么時(shí)候可以用實(shí)變函數(shù)中的牛頓萊布尼茨公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)
積分。
會(huì)用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式(n=1,2,……)計(jì)算積分。會(huì)用復(fù)合閉路原理和閉路變形原理簡(jiǎn)化積分計(jì)算。會(huì)判定一個(gè)復(fù)變函數(shù)是不是某一區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。會(huì)用偏積分法和不定積分法求共軛調(diào)和函數(shù)。
重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)講解
一、復(fù)變函數(shù)積分的基本計(jì)算法
復(fù)變函數(shù)的積分是轉(zhuǎn)化成實(shí)變函數(shù)的第一型曲線積分來(lái)計(jì)算的,因此我們要先回顧第一型曲線積分的計(jì)算步驟。例題:沿計(jì)算積分的值第一步:化參數(shù)
積分路徑是一條拋物線,它在復(fù)平面上的方程是,則。
第二步:把原積分式中的x、y和dz都代掉。注意積分上下限的變化。
二、積分的性質(zhì)
最重要的是積分的線性性質(zhì)(書P74性質(zhì)前三條),第四條估值不等式能力要求稍高。
三、用性質(zhì)、定理計(jì)算積分、定理回顧
柯西-古薩基本定理
如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析,那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C域B內(nèi)處處解析,那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零。
關(guān)鍵詞:處處解析封閉曲線積分為零注意:該定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線。閉路變形原理
在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)不解析的點(diǎn)。
關(guān)鍵詞:解析函數(shù)連續(xù)變形不經(jīng)過(guò)不解析點(diǎn)基本定理的推廣復(fù)合閉路定理
設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線,C1,C2,……,Cn是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線,它們互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,……,Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果在D內(nèi)解析,那么
i),其中C及Ck均取正方向;
ii)積分路徑為C及Ck所組成的符合閉路,C取逆時(shí)針,Ck取順時(shí)針。復(fù)合閉路定理告訴了我們被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)的情況下積分的計(jì)算方法:圍繞每個(gè)奇點(diǎn)畫一個(gè)小圓作為積分路徑,把原積分拆成多個(gè)積分的和。雖然書上那一部分要求我們用73頁(yè)上的那個(gè)結(jié)果,但其實(shí)我們完全可以用后面的柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式來(lái)解決,那是更具一般性的。
柯西積分公式
如果在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,為C內(nèi)的任一點(diǎn),那么|f(z0)1f(z)dz2iCzz0關(guān)鍵詞:處處解析正向簡(jiǎn)單閉曲線
柯西積分公式的功效是把一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分和它在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)話的次序不可顛倒!
接下來(lái)重點(diǎn)講共軛調(diào)和函數(shù)的兩種求法。1、偏積分法
求解過(guò)程(以知v求u為例):①求出和
②由柯西-黎曼方程中的得到,這就是偏積分。當(dāng)然,也可以用,對(duì)y求偏積分。
③代入,確定。求積分過(guò)程中出現(xiàn)的常數(shù)c則要根據(jù)題給信息確定。2、不定積分法求解過(guò)程:
①根據(jù)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式(見P42)寫出的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。②把它還原成z的函數(shù),得到與。③將它們對(duì)z積分,即得到
當(dāng)已知實(shí)部時(shí)可用上一式,已知虛部時(shí)可用下一式。
題目講解
1、,C為正向圓周|z|=2.解:
柯西積分公式2、求
高階導(dǎo)數(shù)公式3、求解:
高階導(dǎo)數(shù)公式
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