初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)

初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

a0）b，c是常數(shù)，1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上00，00，性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．

2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上c0，c0，性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減��；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．

3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上0h，0h，性質(zhì)xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨X=hx的增大而減小；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸第1頁共6頁性質(zhì)a0向上h，kh，kX=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axhk，確定其頂點坐標h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減��；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系

1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．⑴在a0的前提下，

當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)．2a第3頁共6頁

總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說就是“左同2a右異”總結(jié)：

3.常數(shù)項c

⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲�，一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱

yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；2.關于y軸對稱

yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關于原點對稱

yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）

2222b2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．n對稱5.關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，第4頁共6頁

22

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.

a2②當0時，圖象與x軸只有一個交點；③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；

2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

0拋物線與x軸有兩個交點0二次三項式的值可正、可零、可負二次三項式的值為非負二次三項式的值恒為正一元二次方程有兩個不相等實根一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根一元二次方程無實數(shù)根.0拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函數(shù)圖像參考：

y=3x2y=3(x-2)2y=x22第5頁共6頁

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函數(shù)的應用

剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤

最大面積是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2第6頁共6頁

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初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這a0）里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上性質(zhì)x0

0，00，0y軸時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y有最小值0．時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x0x的增大而增大；x0時，y有最大值0．2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上性質(zhì)x0

0，c0，cy軸時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y有最小值c．a(chǎn)0向下y軸x0時，y隨x的增大而減�。粁0時，y隨x的增大而增大；x0時，y有最大值c．3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

a的符號a02開口方向頂點坐標對稱軸向上性質(zhì)xhh，0h，0X=h時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減�。粁h時，y有最小值0．時，y隨x的增大而減�。粁h時，y隨a0向下X=hxhx的增大而增大；xh時，y有最大值0．

第1頁共14頁

4.yaxhk的性質(zhì)：

a的符號a02開口方向頂點坐標對稱軸向上性質(zhì)xhh，kh，kX=h時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y有最小值k．時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值k．a(chǎn)0向下X=hxh

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axhk，確定其頂點坐標h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

五、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0，c、以及0，c關于對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

2b4acb1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

2a2a4ab當x值

b2a2時，y隨x的增大而減��；當x．

b2a時，y隨x的增大而增大；當xb2a時，y有最小

4acb4a2b4acbb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a2a2a4abx的增大而增大；當xb2a時，y隨x的增大而減小；當xb2a時，y有最大值

4acb4a2．

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系

1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．⑴在a0的前提下，

當b0時，當b0時，b2ab2a00，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；，即拋物線的對稱軸就是y軸；

第3頁共14頁

當b0時，b2a0，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)．

⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，b2ab2ab2a0，即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；，即拋物線的對稱軸就是y軸；，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)．

00總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸xb2a在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說就是

“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項c

⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲�，一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱

2ya2xbx關于cx軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

yaxhk2關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

22.關于y軸對稱

2xbx關于cy軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc；ya2yaxhk2關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

23.關于原點對稱

2xbx關于原點對稱后，得到的解析式是cyaxbxc；ya2kyaxhk；yaxh關于原點對稱后，得到的解析式是

22第4頁共14頁

4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）

yaxbxyaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是c22b22a；

yaxhk2關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．

25.關于點m，n對稱

yaxhk2關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

2根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b4aca2方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x12.

②當0時，圖象與x軸只有一個交點；③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；

2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

第5頁共14頁0拋物線與x軸有兩個交點拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根0二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.0交點

二次函數(shù)圖像參考：

y=2x2

y=x2y=2x2y=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2

十一、函數(shù)的應用

剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤

最大面積是多少

第6頁共14頁

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)

二次函數(shù)考查重點與常見題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點，則m的值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查

兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x53，求這條拋物線的解析式。

4．考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：3

已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－

2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題�！纠�題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點M(b,)在（）

acA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個

(1)(2)

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1

例3.已知：關于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸是直線

22

x=2，則拋物線的頂點坐標為()

A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)

答案：C

例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設

2

x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym．（1）寫出y與x的關系式；

（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸.

125例5、已知拋物線y=x+x-．

22（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸．

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．

【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系．

例6、“已知函數(shù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點A（c，－2），

2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3�！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。

（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。

（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。

點評：對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。

[解答]（1）根據(jù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，

2122cbcc2,得b3,122b3,解得

c2.所以所求二次函數(shù)解析式為y（2）在解析式中令y=0，得

12122x3x2.圖象如圖所示。

5,x235.

2x3x20，解得x13第8頁共14頁

所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+5,0)”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是

(35,0).

令x=3代入解析式，得y所以拋物線y12252,

52),

x3x2的頂點坐標為(3,52所以也可以填拋物線的頂點坐標為(3,)等等。

函數(shù)主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與相關知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間．

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？【解析】（1）設此一次函數(shù)表達式為y=kx+b．則15kb25,2kb20解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達

式為y=-x+40．

（2）設每件產(chǎn)品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元

22

w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數(shù)在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最�。�”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

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二次函數(shù)對應練習試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)yx24x7的頂點坐標是()

A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把拋物線y2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是（）

A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函數(shù)ykx2k和ykx(k0)在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()

4.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號;②當x1和x3時,函數(shù)值相等;③4ab0④當y2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關于x的一元二次方程ax2bxc0的兩個根分別是x11.3和x2（）

Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象如圖所示，則點(ac,bc)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7.方程2xx222x的正根的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個.3個

8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為

A.yxx2B.yxx2

C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2

222222

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二、填空題

9．二次函數(shù)yx2bx3的對稱軸是x2，則b_______。

10．已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______.

11．一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點（－1，2），②當x＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可）。

12．拋物線y2(x2)26的頂點為C，已知直線ykx3過點C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為。

13.二次函數(shù)y2x24x1的圖象是由y2x2bxc的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b=,c=。

14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).

三、解答題：

15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x30,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點為(0,(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)當x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?

(3)當x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大?

16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關系式hv0t2

52).

第15題圖

12gt（0

17.如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過直線yx3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使SAPC：SACD5：4的點P的坐標。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．

（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？

（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．

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練習試題答案

一，選擇題、

1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C

二、填空題、

9．b410．x＜-311．如y2x24,y2x4等（答案不唯一）12．113．-8714．15

三、解答題

15．(1)設拋物線的解析式為yax2bxc,由題意可得b2a3abc65c2

解得a

12,b3,c52所以y12x3x252

(2)x1或-5(2)x3

16．（1）由已知得，1520t1210t，解得t13,t221當t3時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃

后1秒離地15米．（2）由題意得，h5t220t＝5(t2)220，可知頂點的橫坐標t2，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升．

93bc0b217．（1）直線yx3與坐標軸的交點A（3，0），B（0，－3）．則解得

c3c3所以此拋物線解析式為yx2x3．（2）拋物線的頂點D（1，－4），與x軸的另一個交點C（－

21，0）.設P(a,a2a3)，則(4a2a3):(44)5:4.化簡得a22a35

212122當a2a3＞0時，a2a35得a4,a2∴P（4，5）或P（－2，5）

當a2a3＜0時，a2a35即a2a20，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（－2，5）．

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222

18．（1）45y34226024010．（2）y(x100)(457.5=60（噸）

34x315x240002260x107.5)，化簡得：

（3）yx315x24000．

34(x210)90752．

紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元．

（4）我認為，小靜說的不對．理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額

Wx(45260x107.5)3(x160)219200來說，4當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當月利潤最大時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．

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