高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解題技巧總結(jié)
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解題方法總結(jié)
一、見(jiàn)“給角求值”問(wèn)題,運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式
一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間(-90o,90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、見(jiàn)“sinα±cosα”問(wèn)題,運(yùn)用三角“八卦圖”
1.sinα+cosα>0(或0(或|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內(nèi);4.|sinα|“化弦為一”:已知tanα,求sinα與cosα的齊次式,有些整式情形
還可以視其分母為1,轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α.
六、見(jiàn)“正弦值或角的平方差”形式,啟用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
七、見(jiàn)“sinα±cosα與sinαcosα”問(wèn)題,起用平方法則:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、見(jiàn)“tanα+tanβ與tanαtanβ”問(wèn)題,啟用變形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???九、見(jiàn)三角函數(shù)“對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題,啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系:(A≠0)
1.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象,關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且平行于y軸的直線分別成軸對(duì)稱(chēng);2.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象,關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱(chēng);3.同樣,利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+φ)和函數(shù)y=Acot(wx+φ)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。十、見(jiàn)“求最值、值域”問(wèn)題,啟用有界性,或者輔助角公式:1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.十一、見(jiàn)“高次”,用降冪,見(jiàn)“復(fù)角”,用轉(zhuǎn)化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.
擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)實(shí)用版[1]
三角函數(shù)
1.①與(0°≤<360°)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合):
|k360,kZ
3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②終邊在x軸上的角的集合:|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合:|k18090,kZ
xcosx4sinx2sinx3④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合:|k18045,kZ⑥終邊在yx1SIN\\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域軸上的角的集合:|k18045,kZ
⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則角與角的關(guān)系:360k⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則角與角的關(guān)系:360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上,則角與角的關(guān)系:180k⑩角與角的終邊互相垂直,則角與角的關(guān)系:360k902.角度與弧度的互換關(guān)系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式:1rad=180°≈57.30°=57°18.1°=
180≈0.01745(rad)
3、弧長(zhǎng)公式:l||r.扇形面積公式:s扇形12lr12||r
y24、三角函數(shù):設(shè)是一個(gè)任意角,在的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離為r,則sincosxryr;rya的終邊P(x,y);tanyx;cotxy;secrx;.csc.rox5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào):(一全二正弦,三切四余弦)++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx
6、三角函數(shù)線
正弦線:MP;余弦線:OM;正切線:AT.
7.三角函數(shù)的定義域:三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcostan8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sintancot1cscsin1
222
cossincot
16.幾個(gè)重要結(jié)論:
2seccos1
22sincos1sectan1csccot1
(1)y(2)y9、誘導(dǎo)公式:
把k2|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x的三角函數(shù)化為的三角函數(shù),概括為:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”
三角函數(shù)的公式:(一)基本關(guān)系
cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o(二)角與角之間的互換
公式組一公式組二
coscos()coscossinsinsin22sincos()coscossinsinsin()sincoscossin2222cos2cossin2cos112sin
tan22tan1tan1cos22
sin()sincoscossintantan1tantantantan1tantansin2tan()
cos21cos2
sin1cos1cossintan()tan
21cos1cos公式組三公式組四公式組五2tansin1tan22sincos121212sinsincossinsincos(sin(tan(121212)sin)cos)cot2
cossincoscos1tancos1tan22cos22
sinsin12coscoscos(tan(sin(sinsin2sinsinsin2cos22cossin22121212)sin22tantan1tan22)cot)cos264
coscos2coscoscos2sin22cossinsin15cos75,,tan152cot7523,.
2tan75cot15223
sin75cos1564
10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxycosxytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxyAsinx(A、>0)RR[1,1]R[1,1]x|xR且xk,kZRRA,A22奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,奇函數(shù)k,k22奇函數(shù)當(dāng)當(dāng)0,0,非奇非偶奇函數(shù)[2k,2k];k,k1上為減函數(shù)(kZ)22k]上為增函上為增函數(shù)數(shù)(kZ)[2k,上為增函數(shù)[;2k,2k]2k1]數(shù)2k2(A),12k2(A)22上為減函(kZ)上為增函數(shù);2k2(A),32k2(A)3上為減函數(shù)(kZ)上為減函數(shù)(kZ)
注意:①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反;ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上遞增(減),則yf(x)在[a,b]上遞減(增).
▲②ysinx與ycosx的周期是.
cos(x)y③ysin(x)或yytanx2(0)的周期T2.
Ox的周期為2(TT2,如圖,翻折無(wú)效).
2④ysin(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是x對(duì)稱(chēng)軸方程是x原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)k(kZ),對(duì)稱(chēng)中心(k,0);y12(socx)的
k(kZ),對(duì)稱(chēng)中心(k;y,0)
(nat(x)的對(duì)稱(chēng)中心
k2.,0)
ycos2xycos(2x)cos2x
tan⑤當(dāng)tan
1,k2(kZ)tan;tan
1,k2(kZ).
⑥ycosx與ysin2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù),則x212y(x)sin(xk)cos(x).
⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).(×)[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域,ytanx為增函數(shù),同樣也是錯(cuò)誤的].
⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個(gè)條件:一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(奇偶都要),二是滿足奇偶性條件,偶函數(shù):f(x)f(x))
f(x)f(x),奇函數(shù):
奇偶性的單調(diào)性:奇同偶反.例如:ytanx是奇函數(shù),ytan(x1)是非奇非偶.(定
3義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))
奇函數(shù)特有性質(zhì):若0x的定義域,則f(x)一定有質(zhì))
▲f(0)0.(0x的定義域,則無(wú)此性
⑨ysinx不是周期函數(shù);ysinx為周期函數(shù)(T);y▲yx1/2xycosx是周期函數(shù)(如圖);ycosx為周期函數(shù)(T);y=cos|x|圖象ycos2x12的周期為(如圖),并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如:
y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.
⑩yacosbsinab22sin()cosba有a2b2y.
三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2||,頻率f1T||2,相位x;初相(即當(dāng)x=0時(shí)的相位).(當(dāng)A>0,ω>0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)),
由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)|A|>1)或縮短(當(dāng)0<|A|<1)到原來(lái)的|A|倍,得到y(tǒng)=Asinx的圖象,叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.(用y/A替換y)
由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<|ω|<1)或縮短(|ω|>1)到原來(lái)的|1|倍,得到y(tǒng)=sinωx的圖象,叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.(用ωx
替換x)
由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0)或向右(當(dāng)φ<0)平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位,得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象,叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+φ替換x)由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上(當(dāng)b>0)或向下(當(dāng)b<0)平行移動(dòng)|b|個(gè)單位,得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.(用y+(-b)替換y)
由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的圖象,要特別注意:當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí),原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見(jiàn)習(xí)題類(lèi)型及解法
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
(1)常值代換:特別是用“1”的代換,如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。
(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng):sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配湊角:α=(α+β)-β,β=-
22等。
(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入輔助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+),這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定,角的值由tan=
ba確定。
2.證明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。
(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
(1)發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異,即進(jìn)行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系:運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。
四、例題分析例1.已知tan的值.
解:(1)
cossincossin1sin22322;
1tan1cossin1tan11cos222cossin2,求(1);(2)sin2sin.cos2cos2cossin(2)sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos22
cos2cossin12cossin222221432.
說(shuō)明:利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備,通過(guò)構(gòu)造的辦法得到),進(jìn)行弦、切互化,就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。
例2.求函數(shù)y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。
解:設(shè)tsinxcosx1232ytt1(t)242sin(xπ4)[2,2],則原函數(shù)可化為
,因?yàn)閠[2,2],所以
12當(dāng)t2時(shí),ymax32,當(dāng)t34時(shí),ymin34,
所以,函數(shù)的值域?yàn)閥[,32]。
例3.已知函數(shù)f(x)4sin2x2sin2x2,xR。
(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此時(shí)x的集合;(2)證明:函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xπ8對(duì)稱(chēng)。
解:f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sinx22coxs22π2xsin(24)(1)所以f(x)的最小正周期Tπ,因?yàn)閤R,所以,當(dāng)2xπ42kππ2,即xkπ3π8時(shí),f(x)最大值為22;
π8(2)證明:欲證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x有f(π8x)f(π8π8π8π8x)成立,
π8π8x)x)π4π4對(duì)稱(chēng),只要證明對(duì)任意xR,
因?yàn)閒(f(x)22sin[2(x)22sin[2(x)f(π8]22sin(]22sin(π2π22x)22cos2x,
2x)22cos2x,
π8所以f(x)成立,從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x12對(duì)稱(chēng)。
例4.已知函數(shù)y=cos2x+
32sinxcosx+1(x∈R),
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?
解:(1)y=+1
==141212cos2x+
32sinxcosx+1=
1412(2cos2x-1)+
14+
34(2sinxcosx)
cos2x+sin(2x+
346
sin2x+)+
5454=(cos2xsin
6+sin2xcos
6)+
54所以y取最大值時(shí),只需2x+
6=2+2kπ,(k∈Z),即x=
66+kπ,(k∈Z)。
所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移
6+kπ,k∈Z}
6,得到函數(shù)y=sin(x+
12)的圖像;
(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的函數(shù)y=sin(2x+
6倍(縱坐標(biāo)不變),得到
)的圖像;
12(iii)把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=
12sin(2x+
6)的圖像;
54(iv)把得到的圖像向上平移的圖像。
綜上得到y(tǒng)=
12個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=
12sin(2x+
6)+
54cos2x+
32sinxcosx+1的圖像。
說(shuō)明:本題是201*年全國(guó)高考試題,屬中檔偏容易題,主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類(lèi)題一般有兩種解法:一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式,降冪后最終化成y=a2b2sin(ωx+)+k的形式,二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題(1)還可以解法如下:當(dāng)cosx=0時(shí),y=1;當(dāng)cosx≠0時(shí),
1y=
2cos2x23sin2xcossinxcosx21x+1=
221tan3tanx2x+1
化簡(jiǎn)得:2(y-1)tan2x-3tanx+2y-3=0
∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3)≥0,解之得:∴ymax=
7434≤y≤
74,此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+
x3cosx33cos26,k∈Z}
例5.已知函數(shù)f(x)sinx3.
(Ⅰ)將f(x)寫(xiě)成Asin(x)的形式,并求其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo);(Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對(duì)的角為x,試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.
解:
f(x)12sin2x332(1cos2x3)12sin2x332cos2x332sin(2x33)32
(Ⅰ)由sin(2x33)=0
即對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為(Ⅱ)由已知b2=ac
33k12即
2x3k(kz)得xkz3k12kz
,cosx|12acb2ac222acac2ac222acac2ac2x32x312,593sin(2x3cosx1,0x3,3332||592|,32sin].
3sin(3)1,3)132,即f(x)的值域?yàn)?3,1綜上所述,x(0,],f(x)值域?yàn)?3,1332].
說(shuō)明:本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí),還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決函數(shù)值域的問(wèn)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。
例6.在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且(1)求sinB的值;
(2)若b42,且a=c,求ABC的面積。解:(1)由正弦定理及
cosCcosB3acbcosCcosB3acb,
,有
cosCcosB3sinAsinCsinB,
即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,所以sin(BC)3sinAcosB,
又因?yàn)锳BCπ,sin(BC)sinA,所以sinA3sinAcosB,因?yàn)閟inA0,所以cosB13,又0Bπ,所以sinB1cos2B23ac32223。
(2)在ABC中,由余弦定理可得a2c243,又ac,
所以有a232,即a224,所以ABC的面積為
S12acsinB12asinB822。
三角函數(shù)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.已知點(diǎn)P(tanα,cosα)在第三象限,則角α的終邊在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限kππkπ2.集合M={x|x=±,k∈Z}與N={x|x=,k∈Z}之間的關(guān)系是()
244A.MNB.NMC.M=ND.M∩N=
3.若將分針撥慢十分鐘,則分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度是()
A.60°角
()A.(1)(2)2A.
5B.(2)(3)C.(1)(3)21B.-C.
55B.-60°C.30°
D.-30°
4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的
是D.(2)(4)
5.設(shè)a<0,角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于()
1D.-
5136.若cos(π+α)=-,π<α<2π,則sin(2π-α)等于()
223313B.C.D.±2222
7.若α是第四象限角,則π-α是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()
A.-A.2
B.2C.2sin1sin1
D.sin2
19.如果sinx+cosx=,且0<x<π,那么cotx的值是()
54A.-
3433B.-或-C.-
344
43D.或-
34D.9
10.若實(shí)數(shù)x滿足log2x=2+sinθ,則|x+1|+|x-10|的值等于()A.2x-9B.9-2xC.11
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)11.tan300°+cot765°的值是_____________.12.若sinα+cosα
=2,則sinαcosα的值是_____________.
sinα-cosα
2cosx
13.不等式(lg20)>1,(x∈(0,π))的解集為_(kāi)____________.
114.若θ滿足cosθ>-,則角θ的取值集合是_____________.
215.若cos130°=a,則tan50°=_____________.-16.已知f(x)=
1-xπ
,若α∈(,π),則f(cosα)+f(-cosα)可化簡(jiǎn)為_(kāi)__________.1+x三、解答題(本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)設(shè)一扇形的周長(zhǎng)為C(C>0),當(dāng)扇形中心角為多大時(shí),它有最大面積?最大面積是多少?
18.(本小題滿分14分)設(shè)90°<α<180°,角α的終邊上一點(diǎn)為P(x,5),且cosα=
2x,求sinα與tanα的值.4
m-34-2mπ
19.(本小題滿分14分)已知≤θ≤π,sinθ=,cosθ=,求m的值.
2m+5m+5
20.(本小題滿分15分)已知0°<α<45°,且lg(tanα)-lg(sinα)=lg(cosα)-lg(cotα)+2lg33
-lg2,求cos3α-sin3α的值.2
721.(本小題滿分15分)已知sin(5π-α)=2cos(π+β)和3cos(-α)=-2cos(π+β),
2且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
三角函數(shù)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.下列函數(shù)中,最小正周期為π的偶函數(shù)是()
A.y=sin2xC.y=sin2x+cos2x
xB.y=cos
21-tanxD.y=
1+tan2x
22.設(shè)函數(shù)y=cos(sinx),則()
A.它的定義域是[-1,1]B.它是偶函數(shù)
C.它的值域是[-cos1,cos1]D.它不是周期函數(shù)3.把函數(shù)y=cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩
π倍,然后把圖象向左平移個(gè)單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為
4()
A.y=2sin2x
B.y=-2sin2x
xπ
D.y=2cos(+)
24πC.y=2cos(2x+)
4π4.函數(shù)y=2sin(3x-)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是()
4πA.
3B.2π
C.π3
D.4π
35.若sinα+cosα=m,且-2≤m<-1,則α角所在象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.函數(shù)y=|cotx|sinx(0<x≤
3π
且x≠π)的圖象是()2
cos2x
7.設(shè)y=,則下列結(jié)論中正確的是()
1+sinx
A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無(wú)最小值
C.y有最小值但無(wú)最大值D.y既無(wú)最大值又無(wú)最小值π
8.函數(shù)y=sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間是()
4A.[kπ-
3πππ5π,kπ+](k∈Z)B.[kπ+,kπ+](k∈Z)8888
π3π3π7π
C.[kπ-,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)
8888
1
9.已知0≤x≤π,且-<a<0,那么函數(shù)f(x)=cos2x-2asinx-1的最小值是()
2A.2a+1
B.2a-1C.-2a-1
D.2a
π10.求使函數(shù)y=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)為奇函數(shù),且在[0,]上是增函數(shù)的θ的一
4個(gè)
()A.
5π
3B.值4π2π
C.33
為πD.3二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)11.函數(shù)y=
cosx
的值域是_____________.
1+2cosx
cosx
的定義域是_____________.
lg(1+tanx)
13.如果x,y∈[0,π],且滿足|sinx|=2cosy-2,則x=___________,y=___________.14.已知函數(shù)y=2cosx,x∈[0,2π]和y=2,則它們的圖象所圍成的一個(gè)封閉的平面圖形12.函數(shù)y=
的面積是_____________
15.函數(shù)y=sinx+cosx+sin2x的值域是_____________.π
16.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命題:
3①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍;π②y=f(x)的表達(dá)式可改為y=4cos(2x-);
6π
③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱(chēng);
6π
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱(chēng).
6其中正確的命題的序號(hào)是_____________.
三、解答題(本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)如圖為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的一部分,試求該函數(shù)的一個(gè)解析式.
18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)y=(sinx+cosx)+2cosx.(x∈R)
(1)當(dāng)y取得最大值時(shí),求自變量x的取值集合.
(2)該函數(shù)圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?
219.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=log12(sinx-cosx)
(1)求它的定義域和值域;(2)求它的單調(diào)減區(qū)間;
(3)判斷它的奇偶性;(4)判斷它的周期性,如果是周期函數(shù),求出它的一個(gè)周期.
20.(本小題滿分15分)某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠(如圖),為降低成本,必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.若水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值m,渠深3米,則水渠側(cè)壁的傾斜角α應(yīng)為多少時(shí),方能使修建的成本最低?
21.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其3ππ
圖象關(guān)于點(diǎn)M(,0)對(duì)稱(chēng),且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值.
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