高一數(shù)學函數(shù)、函數(shù)與方程知識點總結(jié)

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『知識梳理』

映射定義：設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A

中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合到集合的一個映射

定義傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的

每一個確定的值，按照某個對應關系f，y都有唯一確定的值和它對應。那么y就是x的函數(shù)。記作y=fx

函數(shù)及其表示函數(shù)三要素函數(shù)的表示方法近代定義：函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射

值域

定義域?qū)�應法則

解析法圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間[a，b]上，若a≤x1x2≤b，如果fx1fx2，則

fx在[a，b]上遞增，[a，b]是遞增區(qū)間；如果fx1fx2，則fx在[a，b]上遞減，[a，b]是遞減區(qū)間。列表法

單調(diào)性導數(shù)定義：在區(qū)間[a，b]上，若fx0，則fx在[a，b]上遞增，[a，b]

是遞增區(qū)間；若f

減區(qū)間。

x0，則fx在[a，b]上遞減，[a，b]是遞

函數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)最值最小值：設函數(shù)y=fx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意

的xI，都有fx≥M；②存在x0I，使得fx0=M，則稱

M是函數(shù)y=fx的最大值。

f①-x=-fx，x定義域D，則fx叫做奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱。奇偶②f-x=fx，x定義域D，則fx叫做偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱。性

周期性：在函數(shù)fx的定義域上恒有fxT=fx（T≠0的常數(shù)）則fx

叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，簡稱

最大值：設函數(shù)y=fx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的

xI，都有fx≤M；②存在x0I，使得fx0=M，則稱M是函數(shù)y=fx的最大值。

周期。

⑴描點連線法：列表、描點、連線

平移變換向左平移a個單位：y1=y，x1-a=xy=fxa向右平移a個單位：y1=y，x1+a=xy=fx-a向上平移b個單位：x1=x，y1-a=yy-b=fx向下平移b個單位：x1=x，y1-b=yy+b=fx

函數(shù)圖像的畫法⑵變換法伸縮變換橫坐標變換：把各點的橫坐標x1縮短（當w1時）或伸長（當0w

1時）到原來的1/w倍（縱坐標不變），即x1=wxy=fwx

橫坐標變換：把各點的縱坐標y1伸長（當A1時）或縮短（當0A

1時）到原來的A倍（橫坐標不變），即y1=y/Ay=fx

關于點（x0，y0）對稱：=2y2y0y1=2y0-yy+y10x+x1=2x0

0-xx1=2x

-yf2x0-x

x=x1x1=x

y+y1=2y0y1=2y0-y2y0-y=fxx=x1-1第1頁共6頁

關于直線y=x對稱y=yy=fx

1對稱變關于直線x=x0對稱換

0-xx+x1=2x0x1=2x

關于直線x=x0對稱y=yy1=yy=f2x0-x

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『例題精講』

例1.(1)設A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

①若映射f滿足f(a)>f(b)≥f(c),則映射f的個數(shù)為。（4）解：①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根據(jù)映射的定義,以f(a)取值從大到小的次序列表考察:

f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合條件的映射是4個.

例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;2

(2)已知

2

,求f(x＋1)的解析式.

解:(1)∵f(x)=x+2x-1(x>2)

∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)+2(2x+1)-1(2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x+8x+2(x>1/2)(2)由已知得

∴以x替代上式中的

2222

得f(x)=x-1(x≥1)

2

∴f(x+1)=(x＋1)-1(x+1≥1)即f(x+1)=x+2x(x≥0)例3.(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(

)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，則a=________。

(2)已知函數(shù)f(x)的最小正周期為2T，且f(T+x)=f(T-x)對一切實數(shù)x都成立，則對f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(

f(-x)=f(x)(x

)=-f(x)知f(x)是周期函數(shù)，且3是f(x)的一個周期，又f(x)為偶函數(shù)R)，在此基礎上，尋覓已知條件中的f(2)與f(1)的聯(lián)系:

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期為2T得f(x+2T)=f(x)①又這里f(x+T)=f(T-x)②為了靠攏①，在②中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)③∴由①，③得f(-x)=f(x)∴f(x)為偶函數(shù).

『易錯題』

例4.已知函數(shù)f(x)=

1-2x

1x

，y=g(x)的圖象與y=的圖象關于直線y=x對稱，求

g1的值.2第2頁共6頁

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互為反函數(shù)①∴

典型錯解:由題設知g(x)與=

②

∴g(x)=f(x+1)③由此得g()=f()=-

錯因分析:上面①②正確，由②導出③出現(xiàn)錯誤.在這里

的反函數(shù)是g(x)，但

的反函數(shù)卻不是f(x+1).認知:由求反函數(shù)的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函數(shù)不是

y=

，而是y=

-1；y=

的反函數(shù)不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

的解析式):由已知得

=

正確解法:(著力于尋求

=-

1-x2x(x≠-2)∴

x(x≠-3)x3，∴

=∴

又由題設知g(x)的反函數(shù)為

x①x31令g()=b，則

21g()=-1.2=-

=

12②∴由①②得-

b1=b32，解得b=-1，∴

『當堂檢測』

1.設函數(shù)

x3,(x10)，則f(5)＝．f(x)f(x5),(x10)22.已知f(x)的定義域為［－2，2］，求f(x3.已知f(x)+2f(

1)的定義域______________

1)=3x,求f(x)的解析式____________________.x4.設f(x)是在(－∞,+∞)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間［2，3］上時，

f(x)=－2(x－3)2+4，求當x∈［1,2］時f(x)的解析式___________________________.5.已知函數(shù)（1）若（2）求

f(x)2ax1,x(0,1],2xf(x)在x(0,1]是增函數(shù)，求a的取值范圍;f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值.

第3頁共6頁

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『直擊高考』

1.函數(shù)y=

(x≤0)的反函數(shù)是(B)

A.y=(x≥-1)B.y=－(x≥-1)C.y=(x≥0)D.y=－(x≥0)

2.(201*北京卷)函數(shù)f(x)=-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是(D)

A.a∈(-∞，1]B.a∈[2，+∞)C.a∈[1，2]D.a∈(-∞，1]∪[2，+∞]3.設函數(shù)f(x)的圖象關于點(1，2)對稱，且存在反函數(shù)f5.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=

，f(4)=0，則f

=_-2__

-1.設f(x)的反函數(shù)是y=g(x)，則g(-8)=__-2______

6.若存在常數(shù)p>0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(px－

p2)(x∈R)，則f(x)的一個正周期為___p/2_

『知識梳理』

零點：對于函數(shù)y=f定理：如果函數(shù)y=f

x，我們把使fx=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=fx的零點

x在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb

x在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點。即存在c（a，b），使得fc=0.

零點與根的關系0，那么，函數(shù)y=f這個c也是方程f

關系：方程f

交點

x=0的根。

函數(shù)與方程x=0有實數(shù)根函數(shù)y=fx有零點函數(shù)y=fx的圖像與x軸有

二分法求方程的近似解⑴確定區(qū)間[a，b]，驗證f

afb0，給定精確度；

⑶計算f

⑵求區(qū)間[a，b]的中點c；

c；

c=0，則c就是函數(shù)的零點；

若fafb0，則令b=c（此時零點x0（a，b））；若fcfb0，則令a=c（此時零點x0（c，b））；

；否則重復以上a-b，則得到零點的近似值a（或b）

①若f②③

⑷判斷是否達到精確度，即若步驟。

第4頁共6頁

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『例題精講』

1.已知函數(shù)

一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍。f(x)x2(a21)xa2的一個零點比1大，

2解：設方程x(a21)xa20的兩根分別為x1,x2(x1x2)，1)0，所以x1x2(x1x2)10

2則(x11)(x2由韋達定理得a2(a即a21)10，

a20，所以2a1f(x)4xx223x在區(qū)間[1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由。327213f1410，f1410

33332.判斷函數(shù)解：因為所以

fx在區(qū)間[1,1]上有零點

2又

91f"x42x2x22x22x1時，0f"x

當192所以在[1,1]上單調(diào)遞增函數(shù)，所以

fx在[1,1]上有且只有一個零點。

『易錯題』

3.設

fx3x3x8,用二分法求方程3x3x80在x1,2內(nèi)近似解的過程中得

f10,f1.50,f1.250,則方程的根落在區(qū)間（B）

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能確定

『當堂檢測』

1.如果二次函數(shù)yxmx(m3)有兩個不同的零點，則m的取值范圍是（）A．2,6B．2,6C．2,6D．,26,2.已知函數(shù)f(x)x21，則函數(shù)f(x1)的零點是__________3.若方程axa0有兩個實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(0,)

x2第5頁共6頁

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4.函數(shù)f(x)x5x3的實數(shù)解落在的區(qū)間是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]5.求函數(shù)f(x)2x33x1零點的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4

『直擊高考』

1.設二次函數(shù)

f(x)x2axa，方程f(x)x0的兩根x1和x2滿足0x1x21；

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）試比較

f0f1f0與

1的大小，并說明理由。16解：令g(x)則由題意可得：

f(x)xx2(a1)xa

01aa01021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求實數(shù)a的取值范圍是(0,322.函數(shù)f

0a

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函數(shù)

學優(yōu)教育

朋友式相處快樂式學習

傳

定義函近代定義：函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射數(shù)三定義域要值域素函對應法則數(shù)的解析法表列表法示方圖象法

法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間[a，b]上，若a≤x1x2≤b，如果fx1fxx2，則

f在單[a，b]上遞增，[a，b]是遞增區(qū)間；如果fx在[a，b]上遞減，[a，b]是遞減區(qū)間。1fx2，則fx調(diào)性導數(shù)定義：在區(qū)間[a，b]上，若fx0，則fx在[a，b]上遞增，[a，b]

是遞增區(qū)間；若fx0，則fx在[a，b]上遞減，[a，b]是遞減區(qū)間。最大值：設函數(shù)y=fx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的

xI，都有fx≤M；②存在x函最y=fx的最大值。0I，使得fx0=M，則稱M是函數(shù)數(shù)值的最小值：設函數(shù)y=fx的定義域為基I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意

的xI，都有fx≥M；②存在x0I，使得fx0=M，則稱本M是函數(shù)y=fx的最大值。

性質(zhì)①f-x=-fx，x定義域D，則fx叫做奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱。奇偶性②f軸對稱。

-x=fx，x定義域D，則fx叫做偶函數(shù)，其圖像關于y周期性：在函數(shù)fx的定義域上恒有fxT=fx（T≠0的常數(shù)）則fx叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，簡稱周期。⑴描點連線法：列表、描點、連線

向左平移a個單位：y1=y，x1-a=xy=fxa平向右平移a個單位：y移1=y，x1+a=xy=fx-變a向上平移b個單位：x1=x，y1-a=yy-b=fx換向下平移b個單位：x1=x，y1-b=yy+b=fx

函橫坐標變換：把各點的橫坐標x1縮短（當w1時）或伸長（當0w

數(shù)伸1時）到原來的1/w倍（縱坐標不變），即x縮1=wxy=fwx

圖變橫坐標變換：把各點的縱坐標y像的⑵換A1伸長（當A1時）或縮短（當0A

1時）到原來的倍（橫坐標不變），即y1=y/Ay=fx

畫變法換x+x1=2x0x=2x0-x

法關于點（x12y0，y0）對稱：y+y=2yy0-yf2x101=2y0-y

0-x關于直線x=xx+x=2xx101=2x0-x

0對稱y=y對1y1=y

y=f2x0-x稱x=x1變關于直線x=x0對稱換y+y1x=x

1=2y0y1『例題精講』=2y0-y2y0-y=fxx=x1

關于直線y=x對稱

y=y1y=f-1x第1頁共6頁

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例1.(1)設A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

①若映射f滿足f(a)>f(b)≥f(c),則映射f的個數(shù)為。（4）解：①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根據(jù)映射的定義,以f(a)取值從大到小的次序列表考察:

f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合條件的映射是4個.

例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;2

(2)已知,求f(x＋1)的解析式.

解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x>2)

∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x>1/2)(2)由已知得

∴以x替代上式中的

2

得f(x)=x-1(x≥1)

∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)例3.(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(

)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，則a=________。

(2)已知函數(shù)f(x)的最小正周期為2T，且f(T+x)=f(T-x)對一切實數(shù)x都成立，則對f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(

f(-x)=f(x)(x

)=-f(x)知f(x)是周期函數(shù)，且3是f(x)的一個周期，又f(x)為偶函數(shù)R)，在此基礎上，尋覓已知條件中的f(2)與f(1)的聯(lián)系:

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期為2T得f(x+2T)=f(x)①又這里f(x+T)=f(T-x)②為了靠攏①，在②中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)③∴由①，③得f(-x)=f(x)∴f(x)為偶函數(shù).

『易錯題』

例4.已知函數(shù)f(x)=

1-2x1x，y=g(x)的圖象與y=的圖象關于直線y=x對稱，求

g1的值.2互為反函數(shù)①∴

典型錯解:由題設知g(x)與

第2頁共6頁=

學優(yōu)教育

②

朋友式相處快樂式學習

∴g(x)=f(x+1)③由此得g()=f()=-

錯因分析:上面①②正確，由②導出③出現(xiàn)錯誤.在這里

的反函數(shù)是g(x)，但

的反函數(shù)卻不是f(x+1).認知:由求反函數(shù)的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函數(shù)不是

y=

，而是y=

-1；y=

的反函數(shù)不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

的解析式):由已知得

=

正確解法:(著力于尋求

=-

1-x2x(x≠-2)∴

xx3(x≠-3)

又由題設知g(x)的反函數(shù)為=-

，∴=∴

xx3①

令g(

12)=b，則=

12②∴由①②得-

bb3=

12，解得b=-1，∴

g(

12)=-1.

『當堂檢測』

1.設函數(shù)f(x)x3,(x10)f(x5),(x10)，則f(5)＝．2.已知f(x)的定義域為［－2，2］，求f(x3.已知f(x)+2f(

21)的定義域______________

1x)=3x,求f(x)的解析式____________________.

4.設f(x)是在(－∞,+∞)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間［2，3］上時，

f(x)=－2(x－3)2+4，求當x∈［1,2］時f(x)的解析式___________________________.5.已知函數(shù)f(x)2ax1x2,x(0,1],

（1）若f(x)在x(0,1]是增函數(shù)，求a的取值范圍;（2）求f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值.

『直擊高考』

第3頁共6頁

1.函數(shù)y=

學優(yōu)教育朋友式相處快樂式學習

(x≤0)的反函數(shù)是(B)

A.y=(x≥-1)B.y=－(x≥-1)C.y=(x≥0)D.y=－(x≥0)

2.(201*北京卷)函數(shù)f(x)=-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是(D)

A.a∈(-∞，1]B.a∈[2，+∞)C.a∈[1，2]D.a∈(-∞，1]∪[2，+∞]3.設函數(shù)f(x)的圖象關于點(1，2)對稱，且存在反函數(shù)f5.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=

，f(4)=0，則f

=_-2__

-1.設f(x)的反函數(shù)是y=g(x)，則g(-8)=__-2______

6.若存在常數(shù)p>0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(px－

p2)(x∈R)，則f(x)的一個正周期為___p/2_

『知識梳理』

零點：對于函數(shù)y=fx，我們把使fx=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=fx的零點

定理：如果函數(shù)y=fx在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb

零點與根的關系0，那么，函數(shù)y=fx在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點。即存在c（a，b），使得fc=0.這個c也是方程fx=0的根。

關系：方程fx=0有實數(shù)根函數(shù)y=fx有零點函數(shù)y=fx的圖像與x軸有

交點

⑴確定區(qū)間[a，b]，驗證fafb0，給定精確度；⑵求區(qū)間[a，b]的中點c；⑶計算fc；

①若fc=0，則c就是函數(shù)的零點；

②若fafb0，則令b=c（此時零點x0（a，b））；③若fcfb0，則令a=c（此時零點x0（c，b））；

⑷判斷是否達到精確度，即若a-b，則得到零點的近似值a（或b）；否則重復以上步驟。

函數(shù)與方程二分法求方程的近似解『例題精講』

第4頁共6頁

學優(yōu)教育

22朋友式相處快樂式學習

1.已知函數(shù)f(x)x(a1)xa2的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍。解：設方程x(a1)xa20的兩根分別為x1,x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韋達定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a12.判斷函數(shù)f(x)4xx解：因為f所以f2222223233x在區(qū)間[1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由。

141730，f141231330

x在區(qū)間[1,1]上有零點

21又fx42x2x2x

22"92當1x1時，0f"x92

所以在[1,1]上單調(diào)遞增函數(shù)，所以fx在[1,1]上有且只有一個零點。

『易錯題』

3.設fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2內(nèi)近似解的過程中得

xxf10,f1.50,f1.250,則方程的根落在區(qū)間（B）

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能確定

『當堂檢測』

1.如果二次函數(shù)yxmx(m3)有兩個不同的零點，則m的取值范圍是（）A．2,6B．2,6C．2,6D．,26,2.已知函數(shù)f(x)x21，則函數(shù)f(x1)的零點是__________

x3.若方程axa0有兩個實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(0,)4.函數(shù)f(x)xx3的實數(shù)解落在的區(qū)間是()

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學優(yōu)教育朋友式相處快樂式學習

A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]5.求函數(shù)f(x)2x33x1零點的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4

『直擊高考』

1.設二次函數(shù)f(x)xaxa，方程f(x)x0的兩根x1和x2滿足0x1x21；（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）試比較f20f1f0與

2116的大小，并說明理由。

解：令g(x)f(x)xx(a1)xa則由題意可得：

0a01a1021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求實數(shù)a的取值范圍是(0,32x0a

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