電子書庫 高中數(shù)學函數(shù)知識總結

高中數(shù)學函數(shù)知識點梳理

1..函數(shù)的單調(diào)性

(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

注：對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xabab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.22a注：若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

3.多項式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對稱.2m(x)的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y1[fk1(x)b],并不是

y[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y6.幾個常見的函數(shù)方程

1[f(x)b]的反函數(shù).k(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分數(shù)指數(shù)冪

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性質(zhì)（1）(na)na.（2）當n為奇數(shù)時，nana；a,a0當n為偶數(shù)時，a|a|.

a,a0nn10.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga注：設函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為

2R,則a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要

單獨檢驗.

12.對數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11(2)(2)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.

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高中數(shù)學函數(shù)知識點梳理

1..函數(shù)的單調(diào)性

(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是減函數(shù).

x1x2(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

注：對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xabab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.22a注：若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

3.多項式函數(shù)P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對稱.2m(x)的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是k1y[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函數(shù).

k6.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分數(shù)指數(shù)冪

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性質(zhì)n（1）(na)a.（2）當n為奇數(shù)時，aa；

nna,a0當n為偶數(shù)時，a|a|.

a,a0nn10.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga2注：設函數(shù)f(x)logm(axbxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為

2R,則a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要

單獨檢驗.

12.對數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11(2)(2)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.

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