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權(quán)威:初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

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權(quán)威:初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)-----函數(shù)

1.常量和變量

在某變化過程中可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.在某變化過程中保持同一數(shù)值的量或數(shù),叫常量或常數(shù).2.函數(shù)

設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x在某一范圍的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).3.自變量的取值范圍

(1)整式:自變量取一切實數(shù).(2)分式:分母不為零.

(3)偶次方根:被開方數(shù)為非負數(shù).

(4)零指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)冪:底數(shù)不為零.4.函數(shù)值

對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個確定的值,如當x=a時,函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值,這個對應(yīng)值,叫做x=a時的函數(shù)值.5.函數(shù)的表示法

(1)解析法;(2)列表法;(3)圖象法.6.函數(shù)的圖象

把自變量x的一個值和函數(shù)y的對應(yīng)值分別作為點的橫坐標和縱坐標,可以在平面直角坐標系內(nèi)描出一個點,所有這些點的集合,叫做這個函數(shù)的圖象.由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象的步驟:

(1)寫出函數(shù)解析式及自變量的取值范圍;

(2)列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值;

(3)描點:以表中對應(yīng)值為坐標,在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點;

(4)連線:用平滑曲線,按照自變量由小到大的順序,把所描各點連接起來.7.一次函數(shù)(1)一次函數(shù)

如果y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù).

特別地,當b=0時,一次函數(shù)y=kx+b成為y=kx(k是常數(shù),k≠0),這時,y叫做x的正比例函數(shù).(2)一次函數(shù)的圖象

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條經(jīng)過(0,b)點和點的直線.特別地,正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過原點的直線.需要說明的是,在平面直角坐標系中,“直線”并不等價于“一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象”,因為還有直線y=m(此時k=0)和直線x=n(此時k不存在),它們不是一次函數(shù)圖象.(3)一次函數(shù)的性質(zhì)

當k>0時,y隨x的增大而增大;當k<0時,y隨x的增大而減。本y=kx+b與y軸的交點坐標為(0,b),與x軸的交點坐標為.(4)用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式①任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0),當y=0時,求相應(yīng)的自變量的值,從圖象上看,相當于已知直線y=kx+b,確定它與x軸交點的橫坐標.

②二元一次方程組對應(yīng)兩個一次函數(shù),于是也對應(yīng)兩條直線,從“數(shù)”的角度看,解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)值相等,以及這兩個函數(shù)值是何值;從“形”的角度看,解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標.

③任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化ax+b>0或ax+b<0(a、b為常數(shù),a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:當一次函數(shù)值大于0或小于0時,求自變量相應(yīng)的取值范圍.8.反比例函數(shù)(1)反比例函數(shù)

如果(k是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的反比例函數(shù).(2)反比例函數(shù)的圖象

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.(3)反比例函數(shù)的性質(zhì)

①當k>0時,圖象的兩個分支分別在第一、三象限內(nèi),在各自的象限內(nèi),y隨x的增大而減。

②當k<0時,圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi),在各自的象限內(nèi),y隨x的增大而增大.

③反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=±x對稱,關(guān)于原點對稱.(4)k的兩種求法

①若點(x0,y0)在雙曲線上,則k=x0y0.②k的幾何意義:

若雙曲線上任一點A(x,y),AB⊥x軸于B,則S△AOB

(5)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題

若正比例函數(shù)y=k1x(k1≠0),反比例函數(shù),則當k1k2<0時,兩函數(shù)圖象無交點;

當k1k2>0時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,坐標分別為由此可知,正反比例函數(shù)的圖象若有交點,兩交點一定關(guān)于原點對稱.

1.二次函數(shù)

如果y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù).

幾種特殊的二次函數(shù):y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h(huán))2(a≠0).2.二次函數(shù)的圖象

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是對稱軸平行于y軸的一條拋物線.由y=ax2(a≠0)的圖象,通過平移可得到y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象.3.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)對應(yīng)在它的圖象上,有如下性質(zhì):

(1)拋物線y=ax2+bx+c的頂點是,對稱軸是直線,頂點必在對稱軸上;(2)若a>0,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,因此,對于拋物線上的任意一點(x,y),當x<時,y隨x的增大而減小;當x>時,y隨x的增大而增大;當x=,y有最小值;

若a<0,拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,因此,對于拋物線上的任意一點(x,y),當x<,y隨x的增大而增大;當時,y隨x的增大而減小;當x=時,y有最大值;

(3)拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點為(0,c);

(4)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,令y=0可得到拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的情況:

<0時,拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有公共點.=0時,拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點,即為此拋物線的頂點;當=b2-4ac>0,拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的公共點,它們的坐標分別是和,這兩點的距離為;當當4.拋物線的平移

拋物線y=a(x-h(huán))2+k與y=ax2形狀相同,位置不同.把拋物線y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到拋物線y=a(x-h(huán))2+k.平移的方向、距離要根據(jù)h、k的值來決定.

擴展閱讀:初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納

學(xué)大教育

初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的知識點總結(jié)與歸類學(xué)習方法

初中數(shù)學(xué)知識大綱中,函數(shù)知識占了很大的知識體系比例,學(xué)好了函數(shù),掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,真正精通了函數(shù)的每一個模塊知識,會做每一類函數(shù)題型,就讀于中考中數(shù)學(xué)成功了一大半,數(shù)學(xué)成績自然上高峰,同時,函數(shù)的思想是學(xué)好其他理科類學(xué)科的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)從性質(zhì)上分,可以分為:一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù),下面介紹各類函數(shù)的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)圖象及函數(shù)應(yīng)用思維方式方法。

一、一次函數(shù)

1.定義:在定義中應(yīng)注意的問題y=kx+b中,k、b為常數(shù),且k≠0,x的指數(shù)一定為1。2.圖象及其性質(zhì)(1)形狀、直線

k0時,y隨x的增大而增大,直線一定過一、三象限(2)

k0時,y隨x的增大而減小,直線一定過二、四象限(3)若直線l1:yk1xb1l2:yk2xb2

當k1k2時,l1//l2;當b1b2b時,l1與l2交于(0,b)點。

(4)當b>0時直線與y軸交于原點上方;當b學(xué)大教育

(1)是中心對稱圖形,對中稱心是原點(2)對稱性:是軸直線yx和yx(2)是軸對稱圖形,對稱k0時兩支曲線分別位于一、三象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而減。3)

k0時兩支曲線分別位于二、四象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大(4)過圖象上任一點作x軸與y軸的垂線與坐標軸構(gòu)成的矩形面積為|k|。

P(1)應(yīng)用在u3.應(yīng)用(2)應(yīng)用在(3)其它F上SS上t其要點是會進行“數(shù)結(jié)形合”來解決問題二、二次函數(shù)

1.定義:應(yīng)注意的問題

(1)在表達式y(tǒng)=ax2+bx+c中(a、b、c為常數(shù)且a≠0)(2)二次項指數(shù)一定為22.圖象:拋物線

3.圖象的性質(zhì):分五種情況可用表格來說明表達式(1)y=ax2頂點坐標對稱軸(0,0)最大(小)值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0,0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x-(h,0)h)2直線x=hy最小=0y最大=0y隨x的變化情況隨x增大而增大隨x增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小直線x=0(y軸)①若a>0,則x=0時,若a>0,則x>0時,y②若a0,則x=0時,①若a>0,則x>0時,y②若a0,則x=h時,①若a>0,則x>h時,y②若a學(xué)大教育

表達式h)2+k頂點坐標對稱軸直線x=h最大(。┲祔最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay隨x的變化情況隨x的增大而增大隨x的增大而減小b2a時,①若a>0,則x>b2a(4)y=a(x-(h,k)①若a>0,則x=h時,①若a>0,則x>h時,y②若a0,則x=4acb24ay最小=4acb24ab時,y隨x的增大而增大時,②若a2a2a時,y隨x的增大而減小b②若a學(xué)大教育

一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1.正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k≠0),一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過(3.一次函數(shù)ykxb的圖象與性質(zhì)

圖像的大致位置經(jīng)過象限第象限第象限第象限第象限y隨x的增大y隨x的增大而y隨x的增大y隨x的增大性質(zhì)而而而而

【思想方法】數(shù)形結(jié)合

k、b的符號k>0,b>0k>0,b<0k<0,b>0k<0,b<0b,0)和(0,b)兩點的一條直線.k反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1.反比例函數(shù):一般地,如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=或(k為常數(shù),k≠0)的形式,那么稱y是x的反比例函數(shù).2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

k的符號k>0yoxk<0yox

圖像的大致位置經(jīng)過象限性質(zhì)

第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而3.k的幾何含義:反比例函數(shù)y=的幾何意義,即過雙曲線y=

k(k≠0)中比例系數(shù)kxk(k≠0)上任意一點P作x4

x軸、y軸垂線,設(shè)垂足分別為A、B,則所得矩形OAPB

函數(shù)學(xué)習方法學(xué)大教育

的面積為.

【思想方法】數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1.二次函數(shù)ya(xh)2k的圖像和性質(zhì)

圖象開口對稱軸頂點坐標最值增減性

在對稱軸左側(cè)在對稱軸右側(cè)當x=時,y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而a>0yOa<0x當x=時,y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而銳角三角函數(shù)

【思想方法】

1.常用解題方法設(shè)k法2.常用基本圖形雙直角

【例題精講】例題1.在△ABC中,∠C=90°.(1)若cosA=

14,則tanB=______;(2)若cosA=,則tanB=______.255

函數(shù)學(xué)習方法學(xué)大教育

例題2.(1)已知:cosα=

23,則銳角α的取值范圍是()A.0°

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