初中數學函數專題總結

一次函數

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：y=kx+b（k，b為常數，k≠0）則稱y是x的一次函數,特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。2、一次函數的性質：

y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數的圖象及性質：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個點）；（2）描點；（3）連線，可以

作出一次函數的圖象。（用平滑的直線連接）2)性質：在一次函數圖象上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。3)k，b與函數圖象所在象限。

當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b＜0時，直線必通過三、四象限。

當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點

k>0，b>0k>0，b

反比例函數的圖像為雙曲線。

2.反比例函數的概念需注意以下幾點：(1)(k為常數，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實數．

3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數，

a≠0，則稱y為x的二次函數。2.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P（h，k）]對于二次函數y=ax^2+bx+c其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數的圖像

3.在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

二次函數可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。二次函數標準畫法步驟（在平面直角坐標系上）

（1）列表（2）描點（3）連線4.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

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一次函數

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：y=kx+b（k，b為常數，k≠0）則稱y是x的一次函數,特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。2、一次函數的性質：

y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數的圖象及性質：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個點）；（2）描點；（3）連線，可以

作出一次函數的圖象。（用平滑的直線連接）2)性質：在一次函數圖象上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。3)k，b與函數圖象所在象限。

當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b＜0時，直線必通過三、四象限。

當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點

k>0，b>0k>0，b

反比例函數的圖像為雙曲線。

2.反比例函數的概念需注意以下幾點：(1)(k為常數，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實數．

3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數，

a≠0，則稱y為x的二次函數。2.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P（h，k）]對于二次函數y=ax^2+bx+c其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數的圖像

3.在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，二次函數可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。二次函數標準畫法步驟（在平面直角坐標系上）（1）列表（2）描點（3）連線4.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

二次函數公式：頂點式、交點式、兩根式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0),則稱y為x的二次函數。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數，a≠0).

(3)交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)

(4)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.說明：

(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點.

(2)當拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程ax2+bx+c＝0有實數根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數y＝ax2+bx+c可轉化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).

二次函數對稱軸及解法

設二次函數的解析式是y=ax^2+bx+c對稱軸為：直線x=-b/2a,頂點橫坐標為：-b/2a頂點縱坐標為：(4ac-b^2)/4a求解方法：

1如果題目只給個二次函數的解析式的話，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b2)/4a，則對稱軸為x=-b/2a

2.如果題目有f(a-x)=f(b+x)的已知條件，那對稱軸是x=(a+b)/23.如果題目給出了2個零點(a,0)、(b,0)，則對稱軸是x=(a+b)/2

4.如果題目給出了定義在R上的拋物線最大值或最小值(a,b),則對稱軸為x=a

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