高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第三章 三角恒等變換

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

,1cos2sin2升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin．降冪公式cos222⑶tan2

2tan．21tan萬(wàn)能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsin1cosααtan21cosα1cosαsinα（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）

x)B27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的yAsin(形式。sincos22sin，其中tan．28、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，

倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是

的二倍；是的二倍；22430o；cos；②1545306045；問(wèn)：sin12122ooooo

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱(chēng)變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱(chēng)為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常

化切為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的

代換變形有：1sincostancotsin90tan45

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用

降冪公式有：；。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式

22oo1cos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan_______________；______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中

tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見(jiàn)切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，特殊值

與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

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第三章三角恒等變換

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan；1tantan）

⑹tan（tantantan1tantan）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cossin2cos112sin

2cos升冪公式1cos降冪公式cos2222222,1cos2sin22．

cos22，sin121cos22⑶tan2

2tan1tan2．

萬(wàn)能公式:2tanα23、半角公式

cosα21tan2sinα;cosα2α1tan1tan2:1cosα2;sinα21cosα2α22α2α1cossincosααα1tan21cosα1cosαsinα（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加用）

4、合一變形

把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的yAsin(x)B形式。sincos

sin，其中tan22．

5、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，

可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是②1545306045ooooo2的二倍；

2是

4的二倍；

302o；③()；

4)(④

42(4)；⑤2()()(4)；等等

（2）函數(shù)名稱(chēng)變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱(chēng)為同名函數(shù)。如在三角

函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角

函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般

采用降冪處理的方法。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式1cos常用升冪化為有理式。

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及

變形應(yīng)用

（6）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見(jiàn)切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化

低次，無(wú)理化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

鞏固練習(xí)

一．選擇題1.已知cosA.

52131213,(32,2)，則cos(4)（）

B.

7213C.

17262D.

72

2.若均,為銳角，sin255,sin()35,則cos（）

A.25或255B.

252525C.

525D.255

3.(cossin1212)(cos12sin12)（）A.31132B.2C.

2D.

2

4.tan700tan5003tan700tan500（）

A.3B.

33C.33D.3

5.

2sin2cos2）

1cos2cos2（A.tanB.tan2C.1D.

12

6.已知x為第三象限角，化簡(jiǎn)1cos2x（）

A.

2sinxB.2sinxC.

2cosxD.2cosx

7.已知等腰三角形頂角的余弦值等于

45,則這個(gè)三角形底角的正弦值為（A．1010B．10C．310D．3101010108.若3sinx3cosx23sin(x),(.)，則（）

A.6B.

6C.

56D.56

9.已知sincos13，則sin2（）

A．89B．12C．

12D．

89

10.已知cos22，則cos43sin4的值為（）

A．223B．

3C．

49D．1

）

11.求cosA.

1115cos211cos124311cos411cos511（）

2B.

x2C.1D.0

x212.函數(shù)ysinA．x1133cos的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（）

53B．xC．x53D．x3

二．填空題

13．已知,為銳角，cos110,cos15,則的值為．

14．在ABC中，已知tanA,tanB是方程3x27x20的兩個(gè)實(shí)根，則tanC．15.若sin235,cos245，則角的終邊在象限．

16.代數(shù)式sin15ocos75ocos15osin105o．三．解答題

17．△ABC中，已知cosA

18．已知

19．已知α為第二象限角，且sinα=

35,cosB513,求sinC的值．

234,cos()1213,sin()35,求sin2．

154)4,求的值．

sin2cos21sin(

20.已知(0,),(0,),且tan()412,tan17，

求tan(2)的值及角2．

21．已知函數(shù)f(x)cos2x3sinxcosx1，xR.（1）求證f(x)的小正周期和最值；（2）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

22.已知A、B、C是ABC三內(nèi)角，向量m(1)求角A;(2)若

1sin2BcosBsinB22n(cosA,sinA),且(1,3),m.n=1

3,求tanC.

23.已知函數(shù)f(x)sinxsin(x(1)求(2)求(3)若

f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2),xR.

f(x)的的最大值和最小值；

f()34，求sin2的值.

24.已知

34,tancot103

(1)求tan的值；

5sin228sin2cos211cos228(2)求

2sin2的值.

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