選修4-4知識點及題型總結
一、選考內(nèi)容《坐標系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求:
“參數(shù)方程與極坐標”主要內(nèi)容是參數(shù)方程和普通方程的互化,極坐標系與普通坐標系的互化,參數(shù)方程和極坐標的簡單應用三塊
1.坐標系:①理解坐標系作用.②了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形變化情況.③在極坐標系中用極坐標表示點位置,理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點位置區(qū)別,進行極坐標和直角坐標互化.④在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點直線、過極點或圓心在極點圓)方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中方程,理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系2.參數(shù)方程:①了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.②能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.
xx,(0),1.伸縮變換:設點P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點,在變換:yy,(0).作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中坐標伸縮變換,簡稱伸
縮變換。
2.極坐標系的概念:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系。
3.點M的極坐標:設M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角,記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標,記為M(,).
極坐標(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標為(0,)(R).4.若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關于極點對稱,即(,)與(,)表示同一點。如果規(guī)定0,02,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(,)表示;同時,極坐標(,)表示的點也是唯一確定的。
222xcos,5.極坐標與直角坐標的互化:xy,yysin,tan(x0)x6。圓的極坐標方程:
在極坐標系中,以極點為圓心,r為半徑的圓的極坐標方程是r;
在極坐標系中,以C(a,0)(a0)為圓心,a為半徑的圓的極坐標方程是2acos;在極坐標系中,以C(a,2)(a0)為圓心,a為半徑的圓的極坐標方程是2asin;
7.在極坐標系中,(0)表示以極點為起點的一條射線;(R)表示過極點的一條直線.在極坐標系中,過點A(a,0)(a0),且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是
cosa.
8.參數(shù)方程的概念:在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)
xf(t),t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值,由這個方程所確定的點M(x,y)都在這
yg(t),條曲線上,那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),
簡稱參數(shù)。
相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。
xarcos,222(為參數(shù)).9.圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程可表示為ybrsin.第1頁共4頁
橢圓
xa222yb221(ab0)的參數(shù)方程可表示為xacos,ybsin.(為參數(shù)).
拋物線yx2px2,2px的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù)).
y2pt.xotcos(,tx經(jīng)過點MO(xo,yo),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為為參數(shù)).
yyotsin.10.在建立曲線的參數(shù)方程時,要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的
互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致.
,下列所給出的不能表示點M的坐標的是()1.已知M5,34C.2D.5A5,B.5,5,5,33332.點P1,3,則它的極坐標是()
B.4CA.D.42,2,2,2,33333.極坐標方程cos表示的曲線是(
4)
A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D圓4.圓2(cossin)的圓心坐標是
2,B.1C.A1,,424
4D.2,
45.在極坐標系中,與圓4sin相切的一條直線方程為
A.sin2Bcos2C.cos4D.cos46.若直線的參數(shù)方程為xsin2x12t(t為參數(shù)),則直線的斜率為()
y23tA.2/3B.-2/3C.3/2D-3/27.下列在曲線1ycossin(為參數(shù))上的點是()
A.(,2)B(231,)C.(2,3)D.(1,3)421點M的直角坐標是(1,3),則點M的極坐標為2化極坐標方程
cos0為直角坐標方程3直線xcosysin0的極坐標方程為
24.極坐標方程4sin225表示的曲線是5.圓錐曲線8sincos2的準線方程
6.在極坐標系中,定點A(1,
2),點B在直線cossin0上運動,當線段AB最短
時,點B的極坐標是_________.
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8.已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+π/4)=2/2,求點A(2,7π/4)到這條直線的距離。
9.⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為4cos,4sin.(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程;(II)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點的直線的直角坐標方程.
(一)、方程的伸縮變換
"x2x1、已知y2x,求經(jīng)過變換后的方程。"y3y2x"2x22、經(jīng)過變換后的方程為y2x,求"y3y變換前的方程。3、求將曲線y2sin3x變成ysinx的變換。
4.說說由曲線ytanx得到曲線y3tan2x的變化過程。
5.在平面直角坐標系中,方程x2y21所對應圖形經(jīng)過伸縮變換x2x,后圖形所對應方
y3yx3x,6.在同一平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C變?yōu)榍x29y29,yy則曲線C方程為
(二)、極坐標與直角坐標的互化利用兩種坐標的互化,可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題,這二者互化的前提條件是(1)極點與原點重合;(2)極軸與x軸正方向重合;(3)取相同的單位長度.設點P的直角坐標
2x2y2xcos為x,y,它的極坐標為,,則;若把直角坐標化或yysintgx為極坐標,求極角時,應注意判斷點P所在的象限(即角的終邊的位置),以便正確地
求出角.
2,則極點到該直線的距離是42211),(4,),(2,)化成直角坐標例2(1)把點M的極坐標(8,36例1:已知直線的極坐標方程為sin(2)把點P的直角坐標(6,2),(2,2)和(0,15)化成極坐標
21、已知點的極坐標分別為(3,),(2,)43求它們的直角坐標。2、已知點的直角坐標分別為(3,3),(2,2求它們的極坐標。3)3、把方程x22y23xy4x0化為極坐標方程。4、把方程2cos29,cos2sin2化為直角坐標方程。
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5、已知ABC的三個頂點的極坐標分別為A,判斷三角形5,,B5,,C43,623ABC的三角形的形狀,并計算其面積.
(三)、圓和直線的極坐標方程
1、圓心在(a,0)半徑為a的方程為:2、圓心在(a,)半徑為a的方程為:23、圓心在(a,)半徑為a的方程為:34、圓心在(a,)半徑為a的方程為:25、圓心在極點,半徑為a的方程為:6、經(jīng)過(a,0)且垂直于極軸的直線方程為:7、經(jīng)過(a,0)且與極軸所成角為的直線方程為:
練習2、按下列條件寫出圓的極坐標方程:(1)以A(3,0)為圓心,且過極點的圓;
(2)以B(8,)為圓心,且過極點的圓;2
(3)以極點O與點C(-4,0)連接的線段為直徑的圓;(4)圓心在極軸上,且過極點與點D(23,)的圓。56例題1:求過極點,傾斜角為4的射線的極坐標方程。2、求過極點,傾斜角為4直線的極坐標方程。
求直線的極坐標方程步驟1.根據(jù)題意畫出草圖;2.設點M(,)是直線上任意一點;3.連接MO;4.根據(jù)幾何條件建立關于,的方程,并化簡;5.檢驗并確認所得的方程即為所求.
(四)、極坐標系內(nèi)的距離問題
1、已知A(2,),B(3,),求|AB|26SAOB(o為極點)。2、曲線方程為sin(A到該曲線的距離。3、求曲線2cos上的點與定點(1,)2的最近距離和最遠距離。4)22,求
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選修44知識點及題型總結一、知識點
xx,(0),1.伸縮變換:設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換:yy,(0).的作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡
稱伸縮變換。
2.極坐標系的概念:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系。
3.點M的極坐標:設M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角,記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標,記為M(,).
極坐標(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標為(0,)(R).4.若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關于極點對稱,即(,)與(,)表示同一點。
如果規(guī)定0,02,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(,)表示;同時,極坐標(,)表示的點也是唯一確定的。5.極坐標與直角坐標的互化:2x2y2,xcos,y
ysin,tan(x0)
x6。圓的極坐標方程:
在極坐標系中,以極點為圓心,r為半徑的圓的極坐標方程是r;
在極坐標系中,以C(a,0)(a0)為圓心,a為半徑的圓的極坐標方程是2acos;在極坐標系中,以C(a,2)(a0)為圓心,a為半徑的圓的極坐標方程是2asin;
7.在極坐標系中,(0)表示以極點為起點的一條射線;(R)表示過極點的一條直線.
在極坐標系中,過點A(a,0)(a0),且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是
cosa.
8.參數(shù)方程的概念:在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)
xf(t),t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值,由這個方程所確定的點M(x,y)都在這
yg(t),條曲線上,那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),
簡稱參數(shù)。
相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。
xarcos,222(為參數(shù)).9.圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程可表示為ybrsin.橢圓
xa22yb22xacos,(為參數(shù)).1(ab0)的參數(shù)方程可表示為ybsin.第1頁共4頁拋物線y2x2px2,(t為參數(shù)).2px的參數(shù)方程可表示為y2pt.xxotcos,經(jīng)過點MO(xo,yo),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為(t為
yyotsin.參數(shù)).
10.在建立曲線的參數(shù)方程時,要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致.
二、題型總結
(一)、方程的伸縮變換
"x2x1、已知y2x,求經(jīng)過變換后的方程。"y3y2x"2x22、經(jīng)過變換后的方程為y2x,求"y3y變換前的方程。3、求將曲線y2sin3x變成ysinx的變換。
(二)、極坐標與直角坐標的互化
21、已知點的極坐標分別為(3,),(2,)43求它們的直角坐標。2、已知點的直角坐標分別為(3,3),(2,23)求它們的極坐標。3、把方程x2y3xy4x0化為極坐標方程。4、把方程cos29,cos2sin2化為直角坐標方程。222
第2頁共4頁(三)、圓和直線的極坐標方程
1、圓心在(a,0)半徑為a的方程為:2、圓心在(a,)半徑為a的方程為:23、圓心在(a,)半徑為a的方程為:34、圓心在(a,)半徑為a的方程為:25、圓心在極點,半徑為a的方程為:6、經(jīng)過(a,0)且垂直于極軸的直線方程為:7、經(jīng)過(a,0)且與極軸所成角為的直線方程為:
8、圓心在(2,),半徑為1的圓的方程為:49、經(jīng)過(2,),且與極軸所成角為的36直線方程為:
(四)、極坐標系內(nèi)的距離問題
1、已知A(2,),B(3,),求|AB|26SAOB(o為極點)。2、曲線方程為sin(A到該曲線的距離。3、求曲線2cos上的點與定點(1,)2的最近距離和最遠距離。4)22,求
(五)、常見的參數(shù)方程
1、圓心在(a,b)半,徑為r的圓的方程為:2、中心在原點,焦點在x軸的橢圓的方程為:3、中心在原點,焦點在x軸的雙曲線的方程為:4、頂點在原點,焦點在x正半軸的拋物線的方程為:5、經(jīng)過(x0,y0)傾斜角為的直線方程為:
(六)、參數(shù)方程化為普通方程
第3頁共4頁1xtt1、yt1tx12sint3、y23cost1txete2、yet1tex3sint4cost4、y4sint3costxsin2t5、ycostsint
22(七)、參數(shù)方程的簡單應用
1、已知P(x,y)是曲線xy2y上的點(1)求2xy的取值范圍(2)求(x2)(y3)的取值范圍(3)求y1x2的取值范圍22(4)若xya0恒成立,求a的取值范圍2、點P在曲線x2
16y2121上,求它到直線x2y120的距離的最大值和最小值,并給出對應點的坐標。
3t(t為參數(shù))x1y2t3.已知直線L的參數(shù)方程是:
(1)求t=1時,對應的點P坐標(2)求點P到點M(-1,2)的距離(3)求直線L的傾斜角(4)求直線L被曲線
2xy322截得弦長及弦中點坐標
4、經(jīng)過拋物線y2x外一點M(2,4)且傾斜角為4的直線與其交于M1、M2(1)設M1M2中點為M0,求它的坐標(2)求|M1M2|、|MM1||MM2|和|MM1||MM2|(3)若線段M1M2上一點M3滿足求M3的坐標MM1MM2M1M3M2M3
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