總結(jié)列方程解應(yīng)用題的方法

列方程解應(yīng)用題的好方法

結(jié)構(gòu)分析法

數(shù)學(xué)組顏佩華201*.5

列方程解應(yīng)用題歷來(lái)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)難點(diǎn)，但又是一個(gè)重點(diǎn)，在教這部分內(nèi)容時(shí)，老師教得吃力，學(xué)生學(xué)得頭疼，許多學(xué)生不會(huì)或不能合理建模是解題受阻的主要原因，其癥結(jié)則是對(duì)應(yīng)用問(wèn)題情節(jié)結(jié)構(gòu)的不理解，由此導(dǎo)致不能合理擺脫情節(jié)結(jié)構(gòu)的束縛，有效地搞清問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型�？梢�(jiàn)，充分理解問(wèn)題的背景，搞清問(wèn)題中的已知與未知間的關(guān)系，既是解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的起點(diǎn)又是建模的關(guān)健。

教學(xué)實(shí)踐表明，結(jié)構(gòu)列表分析法是一條行之有效的好方法，其基本思路是摒棄數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題以情節(jié)(如行程、工程、儲(chǔ)蓄、稅收問(wèn)題等)分類的傳統(tǒng)模式，將數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中的情節(jié)與數(shù)量關(guān)系兩個(gè)基本要素直觀地列在表格內(nèi)(表1)，并由此從紛繁復(fù)雜的情節(jié)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，該法簡(jiǎn)單明了，易于掌握。

表1

對(duì)應(yīng)量對(duì)象對(duì)象1對(duì)象2……對(duì)象n對(duì)應(yīng)量1對(duì)應(yīng)量2……對(duì)應(yīng)量n事實(shí)上，只要學(xué)生掌握了一些問(wèn)題中的基本關(guān)系，能認(rèn)真列出

上述表格，再配上簡(jiǎn)單的線段圖等，學(xué)生也就是把各類量間的分類搞清了，對(duì)大多數(shù)的列方程解應(yīng)用題的問(wèn)題是能解決的了。對(duì)一些更為復(fù)雜的問(wèn)題，則應(yīng)配以相應(yīng)的結(jié)構(gòu)分析圖解決起來(lái)更為方便�，F(xiàn)以下列一道應(yīng)用題為例。

在車站開(kāi)始檢票時(shí)，有a(a>0)名旅客等候檢票進(jìn)站，檢票開(kāi)始后，仍有旅客繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站。設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的。若開(kāi)放一個(gè)檢票口，則需30分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢;若開(kāi)放二個(gè)檢票口，則只需10分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來(lái)到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？

這是一道動(dòng)態(tài)應(yīng)用題問(wèn)題，旅客不斷涌進(jìn)，每個(gè)檢票口的檢票速度，題目中雖然假定其固定不變，但卻是未知的，還有檢票口的個(gè)數(shù)與檢票時(shí)間亦在變動(dòng)……，涉及未知量不少，以至于許多學(xué)生閱讀完這185個(gè)字的題目后，不知所措，分不清情節(jié)結(jié)構(gòu)與數(shù)量關(guān)系，找不到解決問(wèn)題的辦法。

事實(shí)上，只要將題目中的情節(jié)通過(guò)如圖所示，理清情節(jié)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而列出分析表(表2)，即可迅速解決。

需30分鐘時(shí)：退需10分鐘時(shí)：

退進(jìn)退進(jìn)退退進(jìn)需5分鐘時(shí)：退表2進(jìn)站旅客所需時(shí)進(jìn)站檢票速度檢票檢票(人/分)y口數(shù)人數(shù)12n30ya+30x=30y20ya+10x=20y5nya+5x≤5ny關(guān)系速度(人/分)間(分)人數(shù)x30105a+30xa+10xa+5x這里，x是檢票開(kāi)始后每分鐘新增加的旅客人數(shù)，y是每個(gè)檢票口每分鐘檢票人數(shù)，n是在5分鐘內(nèi)檢票完畢需同時(shí)開(kāi)放的檢票口數(shù)，依表2，列不等式組。

a30x30ya10x20ya5xny123a30a15,yaa50a6由(1)、(2)，易得x從而有a5a305n

na3n216,n

取最小正整數(shù)

是4，即需同時(shí)開(kāi)放4個(gè)檢票口。

綜上所述，在解應(yīng)用題時(shí)，若能抓住情節(jié)與數(shù)量?jī)蓚�(gè)基本要素，運(yùn)用圖示、列表、列式的方法，不失為一種行之有效的解答應(yīng)用題的方法。

擴(kuò)展閱讀：【歸納】小學(xué)列方程解應(yīng)用題步驟與方法

新杰睿新數(shù)學(xué)

列方程解應(yīng)用題

1、列方程解應(yīng)用題的意義

★用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。2、列方程解答應(yīng)用題的步驟

★弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；★找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；

★列方程，解方程；

★檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。3、列方程解應(yīng)用題的方法

★綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思考方向是從已知到未知�！锓治龇ǎ合日页龅攘筷P(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知。

4、列方程解應(yīng)用題的范圍

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問(wèn)題；

c幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e比和比例應(yīng)用題。

以總量為等量關(guān)系建立方程以相差數(shù)為等量關(guān)系建立方程以題中的等量為等量關(guān)系建立方程以較大的量或幾倍數(shù)為等量關(guān)系建立方程根據(jù)題目中條件選擇解題方法5、常見(jiàn)的一般應(yīng)用題

一、以總量為等量關(guān)系建立方程

例1：兩列火車同時(shí)從距離536千米的兩地相向而行，4小時(shí)相遇，慢車每小時(shí)行60千米，快車每小時(shí)行多少小時(shí)？

解：設(shè)快車小時(shí)行X千米

解法一：快車4小時(shí)行程+慢車4小時(shí)行程=總路程解法二：快車的速度+慢車的速度）4小時(shí)=總路程4X+60×4=536(X+60)×4=5364X+240=536X+60=536÷44X=296X=134一60X=74X=74答：快車每小時(shí)行駛74千米。

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練一練：

①降落傘以每秒10米的速度從18000米高空下落，與此同時(shí)有一熱汽球從地面升起，20分鐘后傘球在

空中相遇，熱汽球每秒上升多少米？

②甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管往一個(gè)可裝8噸水的池里注水，甲管每分鐘注水400千克，要想在8分鐘注滿水池，

乙管每分鐘注水多少千克？

③兩城相距600千米，客貨兩車同時(shí)從兩地相向而行，客車每小時(shí)行70千米，貨車每小時(shí)行80千米，

幾小時(shí)兩車相遇？

④兩地相距249千米，一列火車從甲地開(kāi)往乙地，每小時(shí)行55。5千米，行了多少小時(shí)還離乙地有27千

米？

⑤買5個(gè)本子和3支鉛筆一共用去10.4元，已知鉛筆每支0.9元，每本子多少元？

⑥服裝廠要做984套衣服，已經(jīng)做了120套，剩下的要在12天內(nèi)完成平均每天做多少套？

⑦某生產(chǎn)小組9個(gè)工人要生產(chǎn)1926個(gè)零件，每人每小時(shí)可生產(chǎn)20個(gè)，工作5.5小時(shí)后，要求剩下的任

務(wù)必須在4小時(shí)內(nèi)完成，每人每小時(shí)必須生產(chǎn)多少？

⑧電機(jī)廠計(jì)劃生產(chǎn)1980臺(tái)電動(dòng)機(jī)，已經(jīng)生產(chǎn)了4天，每天生產(chǎn)45臺(tái)，由于改進(jìn)了技術(shù)，以后每天比原來(lái)增產(chǎn)15臺(tái)，實(shí)際完成任務(wù)需幾天？

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二、以總量為等量關(guān)系建立方程

例2：甲、乙兩個(gè)糧倉(cāng)一共有糧6800包，甲是乙的3倍，兩倉(cāng)各有多少包？解：設(shè)乙倉(cāng)有糧X包，那么甲倉(cāng)有糧3X包

甲糧倉(cāng)的包數(shù)+乙糧倉(cāng)的包數(shù)=總共的包數(shù)

X+3X=6800

4X=6800X=1700

3X=3×1700=5100

檢驗(yàn)：1700+5100=6800包(甲乙兩倉(cāng)總共的包數(shù))或5100÷1700=3(甲倉(cāng)是乙倉(cāng)的3倍)答：甲原有糧5100包，乙原有糧1700包。

練一練：

①學(xué)校買來(lái)乒乓球和藍(lán)球一共135個(gè)，買來(lái)的乒乓球是藍(lán)球的8倍，兩種球各多少個(gè)？

②有一個(gè)上下兩層的書(shū)架一共放了240書(shū)，上層放的書(shū)是下層的2倍，兩層書(shū)架各放書(shū)多少本？

③圖書(shū)館買來(lái)文藝科技書(shū)共235本，文藝書(shū)的本數(shù)比科技書(shū)的2倍多25本，兩種書(shū)各買了多少本？

④甲、乙、丙三人為災(zāi)區(qū)捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的兩倍，三人各捐多少元？

⑤A、B兩個(gè)碼頭相距379.4千米，甲船比乙船每小時(shí)快3.6千米，兩船同時(shí)在這兩個(gè)碼頭相向而行，出發(fā)后經(jīng)過(guò)三小時(shí)兩船還相距48.2千米，求兩船的速度各是多少？

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三、以相差數(shù)為等量關(guān)系建立方程

例3：化肥廠三月份用水420噸，四月份用水380噸，四月份比三月份節(jié)約水費(fèi)60元，這兩個(gè)月各付水費(fèi)多少元？

解：設(shè)每噸水費(fèi)X元

三月份的水費(fèi)一四月份的水費(fèi)=節(jié)約的水費(fèi)

420X一380X=60

40X=60X=1.5

三月份付水費(fèi)1.5×420=630(元)四月份付水費(fèi)1.5×380=570(元)答：三月份付水費(fèi)630元，四月份付水費(fèi)570元。練一練：

①新華書(shū)店發(fā)售甲種書(shū)90包，乙種書(shū)68包，甲種書(shū)比乙種書(shū)多1100本，每包有多少本？

②一籃蘋(píng)果比一籃梨子重30千克，蘋(píng)果的千克數(shù)是梨子的2.5倍，求蘋(píng)果和梨子各多少千克？

③兩塊正方形的地，第一塊地的邊長(zhǎng)比第二塊地的邊長(zhǎng)的2倍多2厘米，而它們的周長(zhǎng)相差56厘米，兩

塊地邊長(zhǎng)是多少？

④小亮購(gòu)買每支0.5元和每支1.2元的筆共20支，付20元找回4.4元，兩種筆各買了多少支？

⑤甲、乙兩數(shù)之差為100，甲數(shù)比乙數(shù)的3倍還多4，求甲、乙兩數(shù)？

⑥兩個(gè)水池共貯水60噸，甲池用去6噸，乙池又注入8噸水后，乙池的水比甲池的水少4噸，原來(lái)兩池

各貯水多少噸？

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⑦師徒兩人共同加工一批零件，徒弟每天做30個(gè)，師傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天還比徒弟

多做12個(gè)零件，師傅每天做幾個(gè)？

⑧食堂買的白菜比蘿卜的3倍少20千克，蘿卜比白菜少70千克，白菜、蘿卜食堂各買了多少千克？

四、以題中的等量為等量關(guān)系建立方程

例4：有兩桶油，甲桶油重量是乙桶油的2倍，現(xiàn)在從甲桶中取出25.8千克，從乙桶中取出5.2千克。剩下的兩桶油重量相等，兩桶油原來(lái)各有多少千克？解：設(shè)乙桶油為X千克，那么甲桶油為2X千克

甲桶剩下的油=乙桶剩下的油

2X一25.8=X一5.22X一X=25.8一5.2X=20.6

2X=20.6×2=41.2

答：甲桶油重41.2千克，乙桶油重20.6千克，練一練：

①甲廠有鋼材148噸，乙廠有112噸，如果甲廠每天用18噸，乙廠每天用12噸，多少天后兩廠剩下的

鋼材相等？

②一個(gè)兩層的書(shū)架，上層放的書(shū)是下層的3倍，如果把上層的書(shū)放90本到下層，則兩層的書(shū)相等，原來(lái)

上下層各有書(shū)多少本？

③甲車間有54人，乙車間有48人，在工作時(shí)，為了使兩車間人數(shù)相等，甲車間應(yīng)調(diào)多少人去乙車間？

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④超市存有大米的袋數(shù)是面粉的3倍，大米賣掉180袋，面粉賣掉50袋后，大米、面粉剩下的袋數(shù)相等，

大米、面粉原各多少袋？

⑤某校有苦于人住校。若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每一間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問(wèn)

有多少人住校？有幾間宿舍？

⑥甲倉(cāng)所存的面粉是乙倉(cāng)的3倍，如果從甲倉(cāng)運(yùn)走900千克，從乙倉(cāng)運(yùn)出80千克，則兩倉(cāng)所存的面粉相

等，兩倉(cāng)原有面粉各多少千克？

⑦有甲乙兩箱桔子，甲箱的重量是乙箱的1.8倍，如果從甲箱中取出1.2千克放入乙箱，那么兩箱的重

量相等了，原來(lái)甲乙兩箱各多少千克？

⑧一個(gè)通訊員騎自行車要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)把信件送到某地，他每小時(shí)15千米查以早到24分鐘，每小時(shí)

騎12千米要遲到15分鐘，規(guī)定時(shí)間是多少？他去某地的路程有多遠(yuǎn)？

⑨一列火車從甲地開(kāi)往乙地每小時(shí)50千米，一小時(shí)后另一列火車也從甲地開(kāi)往乙地每小時(shí)行60千米，

結(jié)果兩列火車同時(shí)到達(dá)乙地，甲、乙兩地相距多少千米？

⑩甲級(jí)糖每千克16.60元，乙級(jí)糖每千克8.80元。商店用80千克甲級(jí)糖和若干乙級(jí)糖混合后平均每千克售價(jià)14.00元，乙級(jí)糖要多少千克？

五、以較大的量或幾倍數(shù)為等量關(guān)系建立方程

例5：兩筐蘋(píng)果，每筐的個(gè)數(shù)相等，從甲筐賣出150個(gè)，從乙筐賣出194個(gè)后，剩下的蘋(píng)果甲筐是乙筐的

3倍，原來(lái)每筐有多少個(gè)？解：設(shè)原來(lái)每筐X個(gè)

甲筐剩下的=乙筐剩下的3倍

X一150=(X一194)×3X一150=3X一5822X=432

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X=216

答：原來(lái)甲筐有蘋(píng)果216。練一練：

①修一條水渠計(jì)劃需70人挖土，50人運(yùn)土，而實(shí)際上挖土人數(shù)是運(yùn)土人數(shù)的3倍，問(wèn)從運(yùn)土的人中調(diào)

多少人去挖土？

②電力公司現(xiàn)有職工1240人，比五年前的6倍還多40人，五年前電力公司有多少人？

③有兩堆煤，甲堆有32噸，乙堆有57噸，以后甲堆每天增加4噸，乙堆每天增加9噸，幾天后乙堆的

煤是甲堆的2倍？

④甲乙兩廠用同樣的原料生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，甲廠有720噸，乙廠有540噸，兩廠同時(shí)生產(chǎn)并每天都用去

20噸，多少天后甲廠所剩的原料是乙廠所剩原料的2倍？

⑤甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)原有240人，乙隊(duì)原有168人，因工作需要將甲隊(duì)的人數(shù)調(diào)整到乙隊(duì)的2倍，

應(yīng)由乙隊(duì)抽調(diào)多少人到甲隊(duì)？

⑥兄妹兩人各有錢若干，如果兄給妹20元兩人錢數(shù)就相等，如果妹給兄25元，則兄的錢是妹的2倍，

問(wèn)兄妹兩人各有多少錢？

⑦兄妹有相等的存款，如果兄給妹160元，那么妹的存款是兄的3倍，求兄妹兩人存款之和？

⑧弟弟今年5歲，哥哥今年18歲，幾年后哥哥的年齡是弟弟的2倍？

⑨父親今年45歲，兒子今年15歲，幾年前父親的年齡是兒子的11倍？

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⑩甲原有的錢是乙的4倍，若甲給乙40元?jiǎng)t甲的錢是乙的3倍，甲、乙現(xiàn)有錢各多少？

六、根據(jù)題目中條件選擇解題方法

例6：桃樹(shù)有300棵，杏樹(shù)比桃樹(shù)的2倍多30棵，杏樹(shù)有多少棵？倍量已知300×2+30=600+30=630(棵)答：杏樹(shù)有630棵。

例7：桃樹(shù)有300棵比杏樹(shù)的2倍多30棵，杏有多少棵？倍量未知

解法一：(300一30)÷2=270÷2=135(棵)解法二：設(shè)：杏樹(shù)為X棵

2X+30=300

2X=270

X=135

練一練：

①地球繞太陽(yáng)一周要用365天，比水星繞太陽(yáng)一周要用的時(shí)間的4倍多13天，水星繞太陽(yáng)一周要用多少

天？

②某廠計(jì)劃今年生產(chǎn)機(jī)器480臺(tái)，比去年的2倍少30臺(tái)，去年生產(chǎn)機(jī)器多少臺(tái)？

③世界上最小的鳥(niǎo)是蜂鳥(niǎo)，一只蜂鳥(niǎo)重2.1克，一只麻雀的體重比蜂鳥(niǎo)的50倍多1克，一只麻雀重多少

克？

④我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星重173千克，比美國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的2倍還重0.38千克。

美國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星重多少千克？

⑤某廠今年燒煤50噸，去年燒的煤比今年的2倍少10噸，去年燒煤多少噸？

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友情提示：本文中關(guān)于《總結(jié)列方程解應(yīng)用題的方法》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，總結(jié)列方程解應(yīng)用題的方法：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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