高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章三角函數(shù)（初等函數(shù)二）

正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

例1．已知900900,900900,求2的范圍。

解：9090,450002450,900900,

2(2)，135021350

例2．若集合Ax|kxk,kZ，Bx|2x2，3則AB=_______________________________________。解[2,0][2,2]Ax|kxk,kZ...[333,0]3[,]...3、與角終邊相同的角的集合為k360,k例3．與201*0終邊相同的最大負(fù)角是_______________。

-1-

解.202201*253060(0202)04、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等n*份，再?gòu)膞軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)

是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．

n例4．設(shè)角屬于第二象限，且cos2cos2，則

角屬于（）2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解.C2k22k,(kZ),k42k2,(kZ),

當(dāng)k2n,(nZ)時(shí)，

在第一象限；當(dāng)k2n1,(nZ)時(shí)，在第三象限；220，而cos2cos2cos22在第三象限；

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是l．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，

11則lr，C2rl，Slrr2．

22例5如果1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）

1A．B．sin0.5C．2sin0.5D．tan0.5

sin0.5111,lr解4.A作出圖形得sin0.5,r

rsin0.5sin0.59、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx例6．若角6000的終邊上有一點(diǎn)4,a，則a的值是（）

解:tan6000a,a4tan60004tan60043410、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

-2-

正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．

y17的正弦線和余弦線，則給出的以下18不等式：①M(fèi)POM0；②OM0MP；③OMMP0；④MP0OM，

例7．設(shè)MP和OM分別是角

PTOMAx其中正確的是_____________________________。解.②sin1717MP0,cosOM0181812、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21

sin21cos2,cos21sin2；2sinsintancos,cos．

tansintancos4，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）513、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

例8．已知sin1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．例9．滿足sinx3的x的集合為_________________________________。214、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮

-3-

短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的得到函數(shù)

1倍（縱坐標(biāo)不變），

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單

位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

例10．將函數(shù)ysin(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），

3再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是（）

3111A．ysinxB．ysin(x)C.ysin(x)D.ysin(2x)

222266111解ysin(x)ysin(x)ysin[(x)]ysin(x)

32323326函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：相：．

函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．2222；③頻率：f1；④相位：x；⑤初2例11．如圖，某地一天從6時(shí)到11時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b

(1)求這段時(shí)間最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式

解（1）20°；（2）y10sin(x-5)20

84

-4-

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosx數(shù)ysinx性質(zhì)ytanx圖象定義域值域RRxxk,k2R1,1當(dāng)x2k1,1k當(dāng)x2kk時(shí)，2最值時(shí)，ymax1；當(dāng)x2kymax1；當(dāng)x2k2k時(shí)，ymin1．既無(wú)最大值也無(wú)最小值k時(shí)，ymin1．周期性奇偶性22奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在2k,2k22在2k,2kk在k,k上是增函數(shù)；在k單上是增函數(shù)；在22調(diào)2k,2k3性2k,2kk上是增函數(shù)．22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)k,0kk,0k稱2對(duì)稱軸性對(duì)稱軸xkkxkk2-5-

對(duì)稱中心k,0k2無(wú)對(duì)稱軸例12．（1）求函數(shù)ylog211的定義域。sinx（2）設(shè)f(x)sin(cosx),(0x)，求f(x)的最大值與最小值。

111110,log21,2,0sinxsinxsinxsinx25,x2k,kZ2kx2k或2k665k,k2]k[2k,2k),Z(為所求。)(266.解：（1）log2，是f(t)sint的遞增區(qū)間（2）當(dāng)0x時(shí),1cosx1，而[11]x時(shí)，1當(dāng)cosf(x)n(1)minsix時(shí)，1當(dāng)cos。f(x)1maxsin例13．已知tan，且3；sin1122是關(guān)于x的方程xkxk30的兩個(gè)實(shí)根，tan7，求cossin的值．2解：tan117k231,k2，而3，則tank2,tantan2得tan1，則sincos2，cossin2。2例14．已知函數(shù)yf(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，然后把所得的圖象沿x軸向左平移

，這樣得到的曲線和y2sinx的圖象2相同，則已知函數(shù)yf(x)的解析式為_______________________________.

右移個(gè)單位12xy解．ysin(2x)y2sin222sinx(2橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的2倍)x2y2sin(

1)總坐標(biāo)縮小到原來(lái)的4倍ysin(x2)222-6-

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第一章 三角函數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是l．r1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

228、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是

rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrxyPTO系

：MAx9、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

10、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．11、角三角函數(shù)的基本關(guān)

1sin2cos212sintancossin21cos2,cos21sin2；

sinsintancos,cos．

tan12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．

5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

1ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

②數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．14、函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．222

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk,k2值域當(dāng)1,1x2k1,1當(dāng)x2kk時(shí)，時(shí)，R2k最值ymax1；當(dāng)x2k2ymax1；當(dāng)x2k既無(wú)最大值也無(wú)最小值k時(shí)，ymin1．周期性奇偶性在k時(shí)，ymin1．2偶函數(shù)2奇函數(shù)奇函數(shù)2k,2k22單調(diào)性在2k,2kkk上是增函數(shù)；在32k,2k22上是增函數(shù)；在2k,2k在k2,k2k上是減函數(shù)．k上是增函數(shù)．k上是減函數(shù)．對(duì)對(duì)稱性稱中心對(duì)稱中心k,0k對(duì)稱軸對(duì)稱中心k,0k2對(duì)稱軸xkkxk2k,0k2無(wú)對(duì)稱軸k

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：abcabc；③a00aa．

C

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

ab

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2y,1y2．

abCC

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0．

⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基

底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是x1x2y1y2時(shí)，就為中點(diǎn)公式。）（當(dāng)1,．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a與b反22向時(shí)，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22222若ax,y，則axy，或axy．設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則ab1x2x1．y20y設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y2第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

222⑴sin22sincos．1sin2sincos2sincos(sincos)

⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

2,1cos2sin2升冪公式1cos2cos22

降冪公式cos2⑶tan2cos211cos22，sin．222tan．21tan萬(wàn)能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsinα1cosα

tan21cosα1cosαsinα（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）

x)B27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的yAsin(形式。sincos22sin，其中tan．28、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是

的二倍；是的二倍；22430o；cos；②1545306045；問(wèn)：sin12122ooooo③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常

化切為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的

代換變形有：1sincostancotsin90tan45

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用

降冪公式有：；。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式

22oo1cos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan_______________；______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中

tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見(jiàn)切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，特殊值

與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

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