初三數(shù)學圓的總結(1)

圓的全章復習

1.圓的基礎知識(1)圓的有關概念：

弦，弧，半圓，弓形，弓形高，等�。�隱含同圓等圓），弦心距，直徑等。(2)圓的確定

圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小，不共線的三點確定一個圓。注意：作圖（兩邊中垂線找交點），外心的位置，外心到三角形各頂點距離等

③圓的對稱性：軸對稱，中心對稱，旋轉不變性

2.圓與其它圖形（1）點與圓三種（2）直線與圓

相離dr①一條直線與圓三種相切dr

相交dr②兩條直線與圓有關的角：圓周角，弦切角，圓外角等比例線段：圓冪定理等

③三條直線與圓即三角形與圓

三角形“四心”的區(qū)別：垂心意義三條高的交點性質等式積：位置銳角三角形：內(nèi)部直角三角形：直角頂點鈍角三角形：外部必在三角形內(nèi)部ahabhbchc重心三條中線的交點同一中線上重心到頂點的距離是它到該頂點的對邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點到三角形三頂點距離相等銳角三角形：內(nèi)部直角三角形：斜邊中點鈍角三角形：外部到三角形三邊距離相等與頂點連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心

④四條直線與圓為180內(nèi)切四邊形：對角之和

的和相等外切四邊形：兩組對邊（3）兩圓與直線

兩圓外切時連心線過內(nèi)公切線切點與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時連心線過切點，垂直于過切點的切線。

兩圓相交時，連心線垂直于公共弦，并且平分公共弦。

3.圓與圓的位置關系：

(1).掌握圓與圓的五種位置關系，類比于點與圓，直線與圓的位置關系，能通過兩圓半徑r1，r2及圓心距d三者的數(shù)量關系，判斷兩圓位置關系，或通過位置關系，判斷數(shù)量關系。(2).在數(shù)軸上表示當d在不同位置時，兩圓的位置關系。

(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時，常加的輔助線：公共弦、公切線；圓心距，連心線。(4).當兩圓相交時，連心線垂直平分公共弦。當兩圓內(nèi)切時，連心線垂直于公切線。當兩圓外切時，連心線垂直于內(nèi)公切線。

(5).公切線是指兩個圓公共的切線，如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線，如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點間線段的長叫公切線長。

(Rr)（外離時）(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)（外離、外切、相交時）外公切線長dd圓心距

R大圓半徑

r小圓半徑

R≥r

2222

內(nèi)公切線Rr夾角一半sin

d的正弦值

外公切線Rr夾角一半sin

d的正弦值(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含0條0dRr②內(nèi)切1條dRr③相交2條RrdRr④外切3條dRr⑤外離4條dRr4.定理

（1）垂徑定理及推論：過圓心；垂直弦；平分弦（非直徑）；平分優(yōu)弧；平分劣弧；知2求3。

（2）圓心角，弦，弦心距，弧之間關系：同圓等圓中知1得3。

（3）與圓有關的角：圓心角，圓周角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角，圓內(nèi)接四邊形外角，內(nèi)對角，對角

1.一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一它所對弧度數(shù)的一半半，圓周角的度數(shù)等于角相等；同圓或等圓中2.同弧或等弧所對的圓周圓周角的性質

相等的圓周角所對的弧也相等3.直徑所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直角（4）切線的判定、性質：

①判定：常見的證法連半徑，證垂直，判斷切線，“連垂切”

或作垂直證d＝r

②性質：若一條直線滿足過圓心、過切點，垂直于切線中任意兩條，可得另外一條。常見“切連垂”（5）和圓有關的比例線段：

相交弦定理及推論，切割線定理及推論

5.和圓有關的計算（1）求線段①直徑、半徑

②垂徑定理：求弦長、弦心距、拱高

③切線長、公切線長（外公切線長，內(nèi)公切線長）④直角三角形內(nèi)切圓半徑

⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑：外接圓半徑=1：2⑦與圓有關的比例線段、弦長、切線長等（2）求角

圓心角，圓周角，弦切角，兩切線夾角，公切線夾角6.常見輔助線

半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形

直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形

8.正多邊形和圓

(n2)180正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個相等的內(nèi)角，每個內(nèi)角的度數(shù)為

n注意：正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式：lnR

180nR210.扇形面積公式：3

擴展閱讀：初三數(shù)學圓的總結(1)[1]

圓的全章復習

1.圓的基礎知識(1)圓的有關概念：

弦，弧，半圓，弓形，弓形高，等�。�隱含同圓等圓），弦心距，直徑等。(2)圓的確定

圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小，不共線的三點確定一個圓。

注意：作圖（兩邊中垂線找交點），外心的位置，外心到三角形各頂點距離等

③圓的對稱性：軸對稱，中心對稱，旋轉不變性

2.圓與其它圖形（1）點與圓三種（2）直線與圓

相離dr①一條直線與圓三種相切dr

相交dr有關的角：圓周角，弦切角，圓外角等②兩條直線與圓

比例線段：圓冪定理等③三條直線與圓即三角形與圓

三角形“四心”的區(qū)別：

垂心意義三條高的交點性質等式積：ahabhbchc位置銳角三角形：內(nèi)部直角三角形：直角頂點鈍角三角形：外部必在三角形內(nèi)部重心三條中線的交點同一中線上重心到頂點的距離是它到該頂點的對邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點到三角形三頂點距離相等銳角三角形：內(nèi)部直角三角形：斜邊中點鈍角三角形：外部到三角形三邊距離相等與頂點連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心

1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點

內(nèi)切四邊形：對角之和④四條直線與圓外切四邊形：兩組對邊為180的和相等

（3）兩圓與直線

兩圓外切時連心線過內(nèi)公切線切點與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時連心線過切點，垂直于過切點的切線。

兩圓相交時，連心線垂直于公共弦，并且平分公共弦。

3.圓與圓的位置關系：

(1).掌握圓與圓的五種位置關系，類比于點與圓，直線與圓的位置關系，能通過兩圓半徑r1，r2及圓心距d三者的數(shù)量關系，判斷兩圓位置關系，或通過位置關系，判斷數(shù)量關系。(2).在數(shù)軸上表示當d在不同位置時，兩圓的位置關系。

(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時，常加的輔助線：公共弦、公切線；圓心距，連心線。(4).當兩圓相交時，連心線垂直平分公共弦。當兩圓內(nèi)切時，連心線垂直于公切線。

當兩圓外切時，連心線垂直于內(nèi)公切線。

(5).公切線是指兩個圓公共的切線，如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線，如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點間線段的長叫公切線長。(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)（外離時）

(Rr)（外離、外切、相交時）外公切線長d2222d圓心距R大圓半徑r小圓半徑R≥r

內(nèi)公切線Rrd

外公切線Rrd

夾角一半sin的正弦值夾角一半sin的正弦值

(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含②內(nèi)切③相交

0條

1條dRrRrdRr2條0dRr④外切⑤外離

dRrdRr

3條4條

4.定理

（1）垂徑定理及推論：過圓心；垂直弦；平分弦（非直徑）；平分優(yōu)�。黄椒至踊�；知2求3。

（2）圓心角，弦，弦心距，弧之間關系：同圓等圓中知1得3。

（3）與圓有關的角：圓心角，圓周角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角，圓內(nèi)接四邊形外角，內(nèi)對角，對角

1.一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一它所對弧度數(shù)的一半半，圓周角的度數(shù)等于角相等；同圓或等圓中2.同弧或等弧所對的圓周也相等相等的圓周角所對的弧。3.直徑所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直角圓周角的性質

（4）切線的判定、性質：

①判定：常見的證法連半徑，證垂直，判斷切線，“連垂切”

或作垂直證d＝r

②性質：若一條直線滿足過圓心、過切點，垂直于切線中任意兩條，可得另外一條。常見“切連垂”

（5）和圓有關的比例線段：

相交弦定理及推論，切割線定理及推論

5.和圓有關的計算（1）求線段①直徑、半徑

②垂徑定理：求弦長、弦心距、拱高

③切線長、公切線長（外公切線長，內(nèi)公切線長）④直角三角形內(nèi)切圓半徑

⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑：外接圓半徑=1：2⑦與圓有關的比例線段、弦長、切線長等（2）求角

圓心角，圓周角，弦切角，兩切線夾角，公切線夾角6.常見輔助線

半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形

直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形

8.正多邊形和圓

正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個相等的內(nèi)角，每個內(nèi)角的度數(shù)為

(n2)180n

注意：正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式：lnR

180101圓是定點的距離等于定長的點的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的**103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的**104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和⊙O相交d＜r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d＞r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上135①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓139正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正n邊形的周長142正三角形面積√3a／4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4144弧長計算公式：L=n兀R／180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

210.扇形面積公式：

nR360

101圓是定點的距離等于定長的點的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的**103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的**104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條�、谙业拇怪逼椒志�經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和⊙O相交d＜r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d＞r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上135①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓139正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正n邊形的周長142正三角形面積√3a／4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4144弧長計算公式：L=n兀R／180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)11.

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