二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目201*.12.8

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

一．基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線(xiàn)yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為yax2（a0）.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線(xiàn).4.二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；

a相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線(xiàn)記作xh.特別地，y軸記作直線(xiàn)x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，頂點(diǎn)是（2a，4a），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xb2a.

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為yaxh2k的形式，得到頂點(diǎn)為

(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xh.

（3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂

直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).9.拋物線(xiàn)yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)

xb2a，故：①b0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②b

a

0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；③

ba0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).（3）c的大小決定拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當(dāng)a0時(shí)xh(h,0)yaxh2k開(kāi)口向上x(chóng)h(h,k)yax2bxc當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a(chǎn),b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號(hào)的確定

12．二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：

恒正的條件：a＜0且0；恒負(fù)的條件：a＞0且0。

13．拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：①在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上---“左加右減，上加下減”。

②在一般式的基礎(chǔ)上---

14．兩拋物線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的條件：

拋物線(xiàn)yaxh2k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：

拋物線(xiàn)yaxh2k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：

15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxh2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.

16．二次函數(shù)的最值問(wèn)題

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當(dāng)a>0時(shí),x=___________,y最小=___________;當(dāng)a0,當(dāng)x=___________,y最小=___________;若a17.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線(xiàn)yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

（2）與y軸平行的直線(xiàn)xh與拋物線(xiàn)yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bhc).（3）拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線(xiàn)與x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相離.（4）平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，

由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有

兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

（6）拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線(xiàn)yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型題目一、選擇題

1．拋物線(xiàn)y=x2+2x-3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2．二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫(xiě)成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是()

A.m=23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-2

4．關(guān)于x的一元二次方程x2-x-n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則拋物線(xiàn)y=x2-x-n的頂點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5．拋物線(xiàn)y12(x2)21可由拋物線(xiàn)y12x2（）而得到。A．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位；

B．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位；C．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位；D．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位。

6．已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論：①a+b+cy3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y22D.y3>y2>y112．由于被墨水污染,一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字:“已知二次函數(shù)y=x+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)求證:這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).”根據(jù)現(xiàn)有信息,題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是()

A.過(guò)點(diǎn)(3,0)B.頂點(diǎn)為(2,-2)

C.在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)是2D.與y軸的交點(diǎn)是(0,3)13．如圖函數(shù)y=ax2-bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),則

abcbccaab的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

14．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下面結(jié)論:

(1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正確的結(jié)論有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

15．二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象在x軸的上方的條件是（）

A．a(chǎn)＞0，b2－4ac＞0B．a(chǎn)＞0，b2－4ac＜0C．a(chǎn)＜0，b2－4ac＞0D．a(chǎn)＜0，b2－4ac＜016．如圖，如果函數(shù)y=kx＋b的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=kx2＋bx－1的大致圖象是（）

17．已知拋物線(xiàn)y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則x的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（）

A．有兩個(gè)不相等的正實(shí)根B．有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根

18．下列四個(gè)函數(shù)：①y=x＋1；②y=

3x；③y=－x2；④y=2x（－1≤x≤2）．其中圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)的共有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

19．已知函數(shù)y=ax2

＋bx＋c的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c有下列不等式：①a＜0；②b＜

0；③c＞0；④2a＋b＜0；⑤a＋b＋c＞0．其中正確個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

20．已知二次函數(shù)y=ax2

＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）

A．a(chǎn)bc＞0B．b2

－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

21．如圖，二次函數(shù)y=x2

－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則△ABC的面積為（）

A．6B．4C．3D．1

22．函數(shù)y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

23．一臺(tái)機(jī)器原價(jià)為60萬(wàn)元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)位為y萬(wàn)元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）

A．y=60（1－x）2B．y=60（1－x）

C．y=60－x2

D．y=60（1＋x）224．拋物線(xiàn)y=x2＋ax＋b向左平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到拋物線(xiàn)y=x2－2x＋1，則（）

A．a(chǎn)=2，b=－2B．a(chǎn)=－6，b=6C．a(chǎn)=－8，b=14D．a(chǎn)=－8，b=18二、填空題

1．拋物線(xiàn)y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.2．已知拋物線(xiàn)y=x2＋（m－1）x－

14的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則m的值是．

3．二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是

．

4．拋物線(xiàn)y=x2－2ax＋a2的頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=2上，則a的值是．

5．二次函數(shù)y=－x2

＋6x－5，當(dāng)x時(shí)，y0，且y隨x的增大而減小。6．已知二次函數(shù)y=x2

＋（a－b）x＋a的圖象如圖所示，那么化簡(jiǎn)

a22abb2ab的

結(jié)果是

7．若一拋物線(xiàn)y=ax2與四條直線(xiàn)x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．

8．把拋物線(xiàn)y=2x2－4x－5向左又向上分別移動(dòng)4個(gè)單位，再繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得新的圖象的表達(dá)式是．

9．請(qǐng)你寫(xiě)出函數(shù)y=3（x－1）2

與y=x2－1具有的一個(gè)共同性質(zhì)．10．拋物線(xiàn)y=x2－（2m－1）x－2m與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，0），B（x2，0），且

x1x=1，2則m的值為．

11．拋物線(xiàn)與直線(xiàn)在同一直角坐標(biāo)系中，如圖所示．點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P3（x3，y3）在直線(xiàn)上，其中－2＜x1＜x2，x3＜－2，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為．

12．如圖，已知一次函數(shù)y=－2x＋3的圖象與x軸交于A點(diǎn)，則y軸交于C點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2＋bx＋c的圖象過(guò)點(diǎn)C，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點(diǎn)B．若AC：CB=1：2，那么這個(gè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．三、解答題

1．已知拋物線(xiàn)y=x2－（a＋2）x＋12的頂點(diǎn)在x=－3上，求a的值及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

2．已知二次函數(shù)y=x2－x－6．

（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫(huà)出函數(shù)圖象；

（3）觀察圖象，指出方程x2－x－6=0的解及使不等式x2－x－6＜0成立的x的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積．

3．如圖所示，一單杠高2．2m，兩立柱之間的距離為1．6m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線(xiàn)狀．

（1）一身高0．7m的小孩站在離立柱0．4m處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離；

（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長(zhǎng)為0．4m的木板，除掉系木板用去的繩子后，兩邊的繩子長(zhǎng)正好各為2m，木板與地面平行，求這時(shí)木板到地面的距離．（供選用數(shù)據(jù)：3.36=1．8，3.64≈1．9，4.36≈2．1）

4．已知拋物線(xiàn)y=x2－2mx＋m＋2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=3x＋b經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，求直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸圍成的面積．5．已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2.

(1)求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點(diǎn);

(2)若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B,且A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),求B點(diǎn)坐標(biāo).

6．如圖1是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線(xiàn)形狀,拋物線(xiàn)兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m,拱橋的跨度為10m,橋洞與水面的最大距離是5m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈.若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中.(如圖2)

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離.

7．如圖,直線(xiàn)y=2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到△A1OB1.

(1)在圖中畫(huà)出△A1OB1;

(2)求經(jīng)過(guò)A、A1、B1三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式.

8．已知拋物線(xiàn)L：y=ax+bx+c（其中a、b、c都不等于0）它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-b/2a，4ac-b/4a），與y軸的交點(diǎn)是M（0、c）。我們稱(chēng)以M為頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸且過(guò)點(diǎn)P的拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)L的伴隨拋物線(xiàn)，直線(xiàn)PM為L(zhǎng)的伴隨直線(xiàn)。

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)y=2x2-4x+1的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)的解析式：伴隨拋物線(xiàn)的解析式：。伴隨直線(xiàn)的解析式：。

（2）若一條拋物線(xiàn)的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)分別是y=-x2-3和y=-x-3。則這條拋物線(xiàn)的解析式是：

（3）求拋物線(xiàn)L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不為0）的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)的解析式。（4）利用（3）的結(jié)論直接寫(xiě)出y=-x2+4x+2的伴隨拋物線(xiàn)和伴隨直線(xiàn)。86

9.如圖直線(xiàn)y=－x＋3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=－x2

＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)4與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)；C（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；2P（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，且S1△PAC=2S△PAB，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

AB-10-5D5-2

-4-6

-8

10.已知直線(xiàn)y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線(xiàn)的解析式為

y＝x2

－(b＋10)x＋c.

⑴若該拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線(xiàn)的解析式；⑵過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線(xiàn)y＝－2x＋b的解析式.

11．二次函數(shù)yax2bxc（a≠0）的圖像如圖所示．

（1）試判斷a、b、c及b24ac的范圍．（2）若|OA|＝|OB|，試證：ac＋b＋1＝0．1012．已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）且與直線(xiàn)y34x3相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上；（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如果P（x，y）是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求POA的面積SPOA與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量取

值范圍；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使PO=AO？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

一．基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線(xiàn)yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為yax2（a0）.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線(xiàn).4.二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；

a相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線(xiàn)記作xh.特別地，y軸記作直線(xiàn)x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，頂點(diǎn)是（2a，4a），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xb2a.

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為yaxh2k的形式，得到頂點(diǎn)為

(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xh.

（3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂

直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).9.拋物線(xiàn)yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)

xb2a，故：①b0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②ba0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；③

ba0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).（3）c的大小決定拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當(dāng)a0時(shí)xh(h,0)yaxh2k開(kāi)口向上x(chóng)h(h,k)yax2bxc當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a(chǎn),b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號(hào)的確定

12．二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：

恒正的條件：a＜0且0；恒負(fù)的條件：a＞0且0。

13．拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：①在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上---“左加右減，上加下減”。

②在一般式的基礎(chǔ)上---

14．兩拋物線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的條件：

拋物線(xiàn)yaxh2k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：

拋物線(xiàn)yaxh2k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：

15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxh2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.

16．二次函數(shù)的最值問(wèn)題

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當(dāng)a>0時(shí),x=___________,y最小=___________;當(dāng)a0,當(dāng)x=___________,y最小=___________;若a17.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線(xiàn)yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

（2）與y軸平行的直線(xiàn)xh與拋物線(xiàn)yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bhc).（3）拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線(xiàn)與x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相離.（4）平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，

由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有

兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).（6）拋物線(xiàn)與

x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線(xiàn)yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型題目

一、選擇題

1．拋物線(xiàn)y=x2+2x-3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2．二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫(xiě)成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是()

A.m=

23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-24．關(guān)于x的一元二次方程x2-x-n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則拋物線(xiàn)y=x2-x-n的頂點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5．拋物線(xiàn)y12(x2)21可由拋物線(xiàn)y12x2（）而得到。

A．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位；

B．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位；C．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位；D．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位。

6．已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論：①a+b+c20．已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）

2

A．a(chǎn)bc＞0B．b－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

2

21．如圖，二次函數(shù)y=x－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則△ABC的面積為（）

A．6B．4C．3D．1

2

22．函數(shù)y=ax與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

二、填空題

1．拋物線(xiàn)y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.2．已知拋物線(xiàn)y=x2＋（m－1）x－

3．二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是

1的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則m的值是4

．．

4．拋物線(xiàn)y=x2－2ax＋a2的頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=2上，則a的值是．

2

5．二次函數(shù)y=－x＋6x－5，當(dāng)x時(shí)，y0，且y隨x的增大而減小。

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